V. — Branches paraboliques
Pour étudier les types de branches paraboliques, il est plus commode de supposer (jue la direction asymptolique est celle de Ox.
Quand la droite à l'infini est tangente ordinaire en un point simple, on a comme parabole asymptotique
En coordonnées homogènes :
^«= axt\
sous cette forme, ou voit que t = o rencontre en deux points : c^esl la forme ordinaire des paraboles du second degré.
y^=zax^t donne un poini d'inflexion sur la droite à l'infini, f:=o, qui rencontre en trois points confondus. Les branches infinies ont la disposition de la
figure 6.
y^z=zaxt^ correspond à un point double à Pinfîni, avec rebroussement sur la droite à l'infini {fig» 7) qui doit élre considérée comme une tangente double. En général, le genre jP=^ axP~* t correspond à une Ann. de i^athëmat., 4* série, l. VI. (Juin 1906.) 17
branche simple du type des branches paraboliques du
second degré, ou du type de la ligure 6, suivant que jt;
est pair ou impair.
Fig. 7.
Le type y^= axP"^!^ correspond à un point double à l'infini; si p est impair, on a la disposition de la figure 7; si ^ est pair, par exemple,
Pour a^ o, on a quatre branches paraboliques
symétriques par rapport à Oy.
Pour y^ = ax*^ on aurait quatre branches du genre
• y^= kx*j
symétriques par rapport à Oy.
On voit aisément comment on étudie le cas général
correspondant à
yp=z axP-l.
Nous allons nous proposer d*étudier, pour une direction quelconque, le genre de la branche parabolique et son amplitude par la grandeur du coefficient a.
Le même procédé permettrait de trouver le plus souvent une parabole d'équalîon simple asymptote à la courbe proposée, et la position par rapport à cette parabole; mais ce procédé n*est pratique que dans le cas d^ine branche pai abolique du premier ou du second
( ^59) type. On peut, dans le cas général, placer exaclement la branche paiabolîque, sans qu'il soit nécessaire d*avoir une parabole asymplole.
Nous supposerons d'abord que dans une direction donnée, y — mx = o, la droite de l'infini est seule tangente à la courbe à l'infini, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de branche hyperbolique dans la même direction.
I. Droite de V infini tangente en un point simple. — L'équation de la courbe est de la forme
{y — nix)P ^n-p(3C, y) -+- cp«i(ar,^) -h ?„-j(a7, j^) -h. . .= o,
avec la condition ©;j i (i , m) ^ o. La droite de Tinfini rencontre la courbe en p points confondus; il y a inflexion graphique ou point méplat à l'infini suivant que p est impair ou pair et supérieur à 2, contact simple si /? = 2.
Toute courbe de la forme
(y — mx)P-{- \xP~^ = o
a en commun, avec la courbe donnée, p points à l'infini au point considéré; cherchons à déterminera par la condition qu'un (/?4-i)'*"* point commun s'éloigne à l'infini. La courbe ainsi obtenue aura, par rapport à la droite de l'infini, même position que la courbe donnée et servira de courbe auxiliaire pour caractériser la forme de la branche parabolique à étudier. On peut écrire
A étant un coefficient numérique non nuL Soit de même
i>/i-/,(.r,^) = {y- mx)xn-p-ii^,y) -+■ Bx»-P.
Uéqualion de la courbe donnée peut être remplacée par
— \xP-^ [{y - mx) xn-p-i(i^,r) -+- Bar«-P]
-f- (^ — mx) x«,(a?, j^) '-h Aar«--i -h. . . = o.
Déterminons X par la condition que
A = XB.
Cette équation devient
{y — mx) [— \xP-^ yn-p-i(x,y) ■+- XnM^^y)]
et la courbe donnée a bien, avec la courbe auxiliaire, p -{- I points au moins communs h Tintini.
Pratiquement, on remarque que Ax^~* et Rx'^~P sont les restes des divisions de Ç0/,| et de '^n-p par j^ — mx, c'est-à-dire le.s résultais de la substitution de mx à j dans ces pol)^noines et Ton obtient la courbe auxiliaire par le procédé dii résolution déjà employé pour les tangentes à l'origine et les asymptotes. On écrit
La courbe auxiliaii-e est alors
courbe nnicursale. Si ff est pair, il y a à Tinfini deux branches de courbe de part et d'autre de la di'oite y — mx = o et toutes deux du côté des x positifs ou du côté dus x négatifs. Si p est impair, il y a inflexion à l'infini, les deux branehes sont l'une du côté des X positifs, l'autre du côté des x négatifs, toutes deux d'un même côté par rapporta la droite^ — mx=o. La courbe aux i liai ri; piccédente fixe le genre di' la
(a6. ) branche parabolique considérée et permet de lui donner la même amplitude que celle de la parabole asymptolique. La recherche d*une parabole asymptote n'est possible pratiquement que dans les cas simples, par la détermination de la limite da (y — mx)P-\- Xjr^~* .
On peut trouver la position par rapport à la courbe auxiliaire de la manière suivante, si Ton a besoin d'étudier plus complètement la branche de courbe considérée, en opérant toujours d'une manière analogue à celle qu^on emploierait pour une courbe unicursale.
On peut écrire
Il résuke de la manière même dont X a été déterminé que ceci peut s'écrire
(y — mx)P'^ XxP-^
Pour les valeurs de x et de y infiniment grandes, si ^#i~s(i) ^) 7^ o, le second membre, donc aussi le premier^ sont du signe de
et Ton voit ainsi dans quelles régions du plan sont les branches de la courbe donnée par rapport à celles de la courbe auxiliaire. Si ^/2 2(* ? ''*) = o, on a
et le signe est celui de
Enfin, si ^«2(x,y) est identiquement nul, on opère de même sur le groupe suivant ^n-^i^'^y) du numérateur.
Exemple, — Soit la courbe
{y — sîar)«(a?— y)*-i-(a7*-f-^«){a?-hj^)-i-...= o, on a
"^ {^—yY
La courbe auxiliaire est
parabole ayant ses branches infinies du côté des x négatifs.
L'équation de la courbe peut s'écrire
__ {y — '^x){y^ — ^ixy -\- 'j x^) -^ . , .
Le second membre est du signe de i3(^ — 22?), ce qui fixe la position de la courbe au-dessus et au-dessous du diamètre y — 2^ = 0, par rapport a la parabole asjmpto tique.
II. Droite de V infini tangente en un point muU tiple. — {y — ax)P étant en facteur dans les termes du plus haut degré, supposons que le point correspondant soit de multiplicité q <Cp. Cela veut dire qu'en remplaçant y par ax -\-\j Féquatioii en x est de degré p — q.
Le genre de la branche parabolique est celui de
yp= XxP-9
( 263 ) et, dans le cas qui nous occupe,
{y — ax)P= kxP-*i,
Proposons- nous de déterminer le signe et la valeur nuinéri(|ue de A, quand x ut y augmentent indéfiniment, ^ prenant la valeur a.
Pour qu'il n'y ait pas de branches hyperboliques, il faut que, si l'on coupe par ^ = «jr -h )^, l'annulation du coefficient de la plus haute puissance de x ne donne pas de valeurs finies pour X, c'est-à-dire que ce coefficient se réduise à une constante.
y — ax peut être en facteur dans plusieurs groupes homogènes; il faut cependant que les groupes contenant ce facteur ne contiennent pas, en dehors de ce facteur, des termes de degré supérieur ou égal k p — ^, sans quoi il y aurait une ou plusieurs branches hyperboliques.
Nous allons le montrer sur un exemple :
Soit la courbe
x*{y --ixy — {y — %xY {y -\- xY
-\-{y — ix^x^ — xy^-{-y^ — :r* = o.
Si Ton coupe par y — 2 x = X, Téquation s'abaisse au quatrième tiegré; il y a point triple à l'infini.
Pour que Téquation aux x de rencontre ait une racine de plus infinie, ou annule le coefficient de la plus haute puissance de x, c'est-à-dire, dans ce cas, le coefficient de x*. Pour qu'il n'y ait pas de valeurs finies de X satisfaisant à cette condition, il faut que le coefficient de x^ soit une constante, ce qui a lieu parce que les facteurs multipliant j* — 2X ne sont pas de degré 4 \ il ^^^ évident que, si Ton mettait, par exemple, (^y — 2x)^x* au lieu de {y — 2x)*x', il y aurait une
asymptote à distance finie, donnée en annulant le coefficienl de x* :
Reprenons la courbe proposée. On peul écrire
^ iy — nxy (y -h sc)^ — {y — 2a')*x*-h ory* — ^*H-a?*
D'après un raisonnement déjà fait, pour x ely infinis, quand ^ tend vers a, le second membre se réduit au rapport des plus hautes puissances de x :
La branche parabolique a pour position et pour amplitude celle de la parabole
(y — 23?)*= — Sx.
Dans le cas général,
iy - ax)P = /^y> = kxP-l+ ^;
la parabole asymptotique est ainsi déterminée.
Pratiquement, on considère seulement les termes ■de plus haut degré ne contenant pas y — ax en facteur. On forme le rapport de ces ternies au coefficient de (y — ax)P; on cherche la valeur de ce rapport quand y est remplacé par ax, au numérateur ou au dénominateur, en ne conservant que les plus hautes puissances de x.
Cas de branches hyperboliques et paraboliques dans la même direction. — On cherche d^abord les
( 265 ) asymptotes des branches hyperboliques et la position de la courbe, comme il a été dit précédemmimt, sans s'occuper des branches paraboliques; connaissant la multiplicité du point à Tinfini et le nombre des points restant comnu! contacts avec la droite à Tinlini, on en conclut le genre des branches paraboliques à étudier, c'est-à-dire le type de la brauche parabolique asymptotique à déterminer.
Reprenons l'exemple précédent, modifié comme nous l'avons dit, pour qu'il y ait une branche hyperbolique,
-\-{y — ix)x^ -r^ xy^ -\- y^ — 0?* = o,
on étudierait, par les procédés employés pour les branches hyperboliques, la position par rapport à l'asymptote ordinaire
La droite à l'infini reste tangente double; il faut donc chercher une parabole asymptotique de la forme
(^ — aar)» = Xa?.
Posons X = A' pour simplifier l'écriture :
y = 2a? 4- Aar».
Il faut déterminer A pour que cette parabole rencontre la courbe en un point de plus à l'infini, en annulant le coefficient de la plus haute puissance de x dans l'équation aux x de rencontre.
Il est évident que ce coefficient ne pourra provenir que du premier terme x*{y' — 2X)* et du terme {y — qlx)x^\ dans le cas général, il est aisé de voir également le résultat de la substitution. Tout revient donc, dans la pratique, à considérer le groupe de termes
correspondant, soit ici
ce qui donne la parabole asyinptotique
{y — ix)^'>r X = o,
el permet de fixer la position de la courbe.
Le plus souvent, la simple inspection de Téquation permet de déterminer la parabole asymptotique, parce que Tétude des points sur la droite à T infini donne exactement le type de la branche parabolique étudiée. Le procédé est particulièrement simple dans le cas où la direction asymptotique est Ox ou Oj^.
SUR UN THÉORÈME DE CIIASLES ET D'ABBL; Par m. h. LAURENT.
On connaît ce théorème de Chasles :
Si à une sur/ace algébrique on mène des plans tangents parallèles à un plan donné P, le centre des moyennes distances des points de contact reste fixe quand on fait varier le plan P.
On sait que Chasles pensait que son théorème ne pourrait pas être démontré par Tanalyse, on sait aussi que Liouville en a donné une démonstration analytique, mais en imaginant une nouvelle méthode d'élimination qui d^aiileurs est très intéressante en ellemême. Je me propose dans ce qui suit de donner une nouvelle démonstration du théorème de Chasles : i" en
( ^67 ) retendant à Fh^rperespace ; 2° en montrant que, même dans Tespace à trois et à deux dimensions, il est en* core susceptible d'être considérablement généralisé ; 3® en montrant qu'il n'est qu'un cas particulier du théorème d'Abel.
Les quelques lignes qui suivent sont extraites d'un travail sur la pangéométrie que je me propose de pu> blier un jour quand les circonstances me le permettront.
Soit/(j?|, . . ., ^/3)un poljnome enlieren^Ti, . • .,^n. Considérons la surface représentée par l'équalion
dans l'espace à n dimensions, menons-lui les plans tangents parallèles au plan
l\X\-\- /ta?i -h ... -h In^n = O,
les points de contact seront donnés par la formule (1) et les suivantes :
Posons
enfin, désignons par s les rapports (2), les équations (i) et (2) pourront être remplacées par les suivantes :
Considérons les / comme des variables indépendantes et difTérentions ces équations, nous aurons :
/, dxi-^f^dxt 4-...-+-/» dxjt =0,
fwdxx-^fwcLxt-k-*, ^-^fxndxn-^ l\ds — 5^/1 = o,
( 268 ) d^où, en résolvant par rapport à dx^ et en appelant D le déterminant,
à(fji-lis fn-lns)^
à{Xij a^t, ..., Xn, s) Ton lire
le degré de D par rapport à 5, oti , . . ., ^n est, en appelant m le degré de /,
m — 1 -h(/n — iÀ)n = mn -h m — 2/1 — 1 = 8;
le degré du facteur de jr dans le second membre est
8 — (m — i), donc, en vertu d'un théorème bien connu de Jacobi, si Ton ajoute toutes les équations analogues à (4) et relatives à toutes les solutions des équations (3), on aura
Zdxi = Of de même Z€b?t = o. ....
On voit donc que le centre des moyennes distances des points de contact des plans parallèles au plan /i j?i -h . . . -♦- lnXR-= o ne dépend pas des coefficients /{, /a, . .., /y,. C^est le théorème de Ghasies qui se présente comme un cas particulier du célèbre théorème d'Abel.
Il y a plus, ce théorème de Chastes peut être considérablement généralisé, même pour l'espace à deux ou trois dimensions, et, en effet, de ce que dans la formule (4) le coefficient de g est de degré 8 — (m — i),
il en résulte, non seulement que "Ldx est nul, mais encore que ^)i,dx = o.
Pourvu que H soit un polynôme dont le degré ç tel
que
8 — (iw — i)-hi'<ô
( 269 ) OU que
Si
donc
m est au
moins
égal à 3,
^xl
2ar,a?,,
"Lx^Xx
h 2a:ja?8,
seront conslanls,c'esl-à-dire indépendants de /|, /21 •••) il en sera de même de
ce qui constitue autant de théorèmes de géométrie; en particulier, on voit que :
Si Von mène à une surface les plans parallèles à un plan donnée la somme des carrés des rayons vecteurs des points de contact issus dun point fixe sera constante quelle que soit (orientation des plans tangents. (Ce théorème n'est pas vrai pour les surfaces du second degré.)
Si m est au moins égal à 4? S^J, Yix\x^^ . . . seront également indépendants des quantités /|, l^^ . . ., mais ces théorèmes sont moins intéressants parce qu'ils sont moins susceptibles d'une interprétation géométrique.
Voici quelques énoncés de théorèmes qu'il serait peut-être difficile de démontrer par les pFocédés ordinaires de la géométrie :
i" Si l'on mène des plans tangents parallèles à une surface du troisième degré ou de degré supérieur, la somme des carrés des cordes qui joignent les points de contact deux à deux est indépendante de l'orientation de ces plans;
2® Si l'on considère une surface et les points où le produit des rayons de courbure principaux a une valeur donnée, ainsi que Fangle de sa normale avec une droite fixe, le centre des moyennes distances de ces points aura une position indépendante de ces valeurs données.
3^ Les mêmes choses étant posées, la somme des carrés des cordes joignant les points en question deux à deux sera constante.
4^ Si Ton considère des surfaces de même degré en nombre n — i dans un espace à n dimensions et si on leur mène des plans tangents passant par un point donné P, le centre des moyennes distaaces des points de contact sur chaque surface restera fixe quand ou fera varier le point P.
5° Si l'on considère une surface et les points où les deux paramètres
'•^ dx^ dy^ dz^
ont des valeurs données, le centre des moyennes distances de ces points ne variera pas quand on fera varier A|/ et A2/.
Le lecteur pourra inventer ainsi une foule de théorèmes, relatifs, par exemple, à des familles de courbes ou de surfaces. Ce qui précède suffit pour montrer tout le parti qu'on peut tirer de la méthode que nous venons d'indiquer.
GOKOlilS VADIISSION A L'ÉCOLE POLVTEGIINI«llB EN 1906.
GoinsrriOM n uboiétmb analytioiii kt ibcaniohb.
Solution par M. PHÏLBERT du PLESSIS.
On considère un système daxes rectangulaires fixes, Oj:, Oy^Oz^et,dansleplanxOyyUncercle{C)
de rayon a animé dun mouvement de translation^ dans lequel son centre G décrit dans le sens de la flèche F, et avec une vitesse angulaire
(i — m)(i>, un cercle de centre O et de rayon a.
En même temps que ce cercle (C) 5e déplace, un point P est mobile sur sa circonférence, et la parcourt dans le sens de la flèche f^ avec la vitesse angulaire (i-f-/n)a>. Il décrit ainsi une courbe (E) (Épicycloïde).
Fig. I.
Les quantités a, io^ m sont trois constantes positives, dont la dernière est moindre que l^ unité,
