I. On demande d'exprimer en Jonction du temps

( 272 ) t, les coordonnées x^ y du point P, sachant qvHà t époque ^ = o Les points C e^ P sont tous deux sur la partie positive de Ox,P à la distance a du point C.

II. Le point P est la projection d'un point M, mobile dans l'espace : on demande d'exprimer sa cote z en fonction du temps t, sachant qu'elle est nulle à V époque t = o, et que la vitesse v de^ fait avec l'axe Oz un angle constant 9 quelconque d'ailleurs.

On montrera que la trajectoire (K) du point M s'obtient en coupant le cylindre dont (E) est la section droite par un ellipsoïde de révolution autour

de Oz i f-- 4- .- = I, où la longueur b varie

avec 8.

On introduira, au lieu de 8, la constante b dans la représentation de la cote z du point M.

III. Calculer la grandeur et les cosinus directeurs cLy p, Y de la vitesse v du point M, ainsi que l'arc de la courbe (R) parcouru par ce mobile pendant le temps t. Exprimer, en jonction du temps, le rayon de courbure R de la courbe (K), et vérifier que la vitesse lui est proportionnelle.

IV. Après avoir formé l'équation du plan osculateur de la courbe (K), on démontrera que, à une époque t, tous ceux de ces plans qui correspondent aux diverses courbes (K) qu'on obtient en faisant varier b, passent par une même droite A du plan xOy.

V. Montrer que, lorsque t varie, cette' droite A enveloppe une épier cloïde (E') homo thé tique à celle que décrit le point P' diamétralement opposé au

(273) point P dans le cercle (G). — Faire voir que la courbe (E') a pour développée Vépicyloïde (E).

I. Au bout du temps t^ les coordonnées du centre C, rapporté aux axes fixes Ox et Oy, sont :

(i-hm)a (n-^>,/

cos(i — m){ùt et siq(i — m){ùt,

celles du point P, rapporté aux axes menés par C parallèlement à Ox et Oy^

(i — m)a , , (i — m)a . , co8(n-m)a)f et ^^ — s\n(\-\- m)iùt.

Les coordonnées de P rapportées à Oa? et Oy sont donc

lar = -[(i -i-m)cos(i— /n)u)f H-(i — m)cos(i -Hm)a)f],

(/ = - [(n-m) 8in(i — m)wf-H(i— /n)sin(i — m)wi|,

qu'on peut encore écrire

I X = a(cosa)/ cosmtof h- m sin a>/ sinmo)^),

(I bis) .

( y = a(sin(i>^cos/n(i>< — mcosoit sin mîxtt).