IV. L'égalité donnée
dx
<f(x) = Kj-
revient à celle-ci
qui donne, par dérivation,
En prenant les dérivées logarithmiques des deux membres de Tégalité
F(ar)=/(ar)ç(a:), on a
^^ F{x) f(x) cp(ar)'
qui, en dérivant, donne
(AS p'(^) - r(^) . ?'(^) , p^v^) /''(^) 9"(^)
^^^ F(x) ■" /(x) ■*■ (p(ar) "^ F«(a7) /«(x) ^«(*)*
En remplaçant dans cette égalité „. par sa valeur
tirée de (3), simplifiant et tenant compte de régalité(i), on obtient la première égalité demandée
Dérivons, à leur tour, les deux membres de l'égalité (5) et nous obtenons
F'^ix) ^ f^(x) f^ix) ■F(.r) /(x) oix)
F''tx)F'(x) r(x)r(x) /(:r)(p\:r)
F*(ar) p{x) oHt)
'x¥.[f'(x)^{x)-^o'{x)f{xs] /«(ar)<p«(a;)
K* f r ) F' (x) Remplaçons, dans cette égalité, — ^^ — - — - par sa
valeur obtenue en multipliant membre à membre les égalités (3) et (5) et nous obtiendrons, toutes simplifications faites, la seconde des égalités demandées :
'F{x) f{x) <p(ar)'
CERTIFICATS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
Bordeanz.
ÉpRBUVB THÉORIQUE. — I. Dans le plan représentatif de la variable complexe Zy on trace une circonférence de rayon R, ayant pour centre l* origine et coupant en X et B l*axedes quantités imaginaires, et en G la partie positive de l'axe des quantités réelles. Calculer l'intégrale
z^ dz
\ r z^ dz
i^ Le long de la circonférence précédente ;
2* Le long du contour formé par la demi- circonférence ACB et le diamètre BA.
On supposera /5<R' <^-h i, p désignant un entier positif.
II. Donner l'expression de la fonction ««*'«*• — i sous forme cT un produit infini de facteurs primaires,
III. Si u et 9 désignent deux paramètres variables indépendantSf la droite ayant pour équations :
X ^ uz — 'àU — M» — 2 uv*,
( en coordonnées rectangulaires ) est normale à une inanité de surfaces qu'on propose de déterminer,
IV. Déterminer les surfaces S telles que, en un point quelconque de l'une de ces surfaces, ses deux tangentes principales, d'une part^ et ses deux directions principales ^ d'autre part, se projettent sur le plan des xy suivant deux angles ayant leurs bissectrices parallèles à Ox et Oy,
Lignes de courbure de ces surfaces,
Éphbuvk pratique. — On considère V intégrale définie
/•* dx
Cette intégrale a-t-elle une limite pour e = o ?
Si oui, calculer cette limite, (Juillet 1906.)
Marseille.
Épreuve théorique. — Parmi les surfaces qui satisfont à l'équation aux dérivées partielles
px^qy^ o, déterminer celles qui satisfont aussi à la condition
(3.9) 01^ K est une constante donnée, et déterminer leurs lignes de courbure.
Éprkuve pratiquk. .— Calculer à o^oooi près r intégrale définie
dz
i^ Quand le point z va du point z =: o au point z = i directement sur Vaxe des x;
1^ Quand le point z varie entre les mêmes limites sur
un arc de cercle qui passe au point z = -;
3" Quand le point z varie entre les mêmes limites sur
un arc de cercle guipasse au point ^ = ~.
Solution. — On trouve ^ et ^• o o
Paris.
(Juillet 1906.)
ÉpRKuvE THÉORiQUis. — I. Étant donnée r équation aux dérivées partielles
où V {x, y) est une fonction connue des variables x et y^ soit S une surface intégrale quelconque de cette équation :
I** On demande de démontrer que les caractéristiques situées sur cette surface coupent orthogonalement les sections planes faites dans la surface par les plans parallèles au plan des x, y ;
2® Les courbes caractéristiques V de l'équation (l) se projettent sur le plan des x,y suivant une famille de courbes (y) dépendant de deux constantes arbitraires. Former l'équation différentielle du second ordre dont ces courbes (y) sont l'intégrale générale;
3" Déterminer la fonction U {x, y) de façon que les courbes (y) soient des circonférences orthogonales à l'axe des x;
4** Trouver une intégrale complète de V équation {\) ainsi obtenue et une intégrale particulière se réduisant à zéro pour X = o.
Note. — Les axes de coordonnées sont supposés rectangulaires.
