II. On considère l'équation différentiel le du premier ordre

oà X et Xi sont des /onctions de la variable complexe x holomorphe à l* intérieur du cercle G, de rayon a, décrit du point X = o pour centre, et sur ce cercle lui-même. Soit un nombre positif tel que l'on ait

|X ! < /n, I X, I < m pour \x\<a.

L'équation (ï) admet une intégrale particulière y\. holomorphe dans le dom,aine de V origine et se réduisant à zéro pour ar = o. On demande de trouver un nombre positif ^^ ne dépendant que de m et de a, tel que V intégrale y\ soit sûrement holomorphe dans le cercle de rayon p décrit de V origine pour centre.

Épreuve pratique. — Calculer l'intégrale définie

yx--jT^^ ^

(Juillet 1905.)

Épreuve théorique. — Étant donnée une équation linéaire aux dérivées partielles du premier ordre :

P,-HQ. = R. (/> = ï-..= :^.).

oà les coefficients P, Q, R sont des fonctions de deux variables indépendantes X et y, et de la fonction inconnue z^ on demande ce qu'on entend par caractéristiques de cette équation. Démontrer que l'intégration de l'équation (i) revient à la détermination des caractéristiques.

Application. — Soient Oar, Oy^ Oz un système de trois axes de coordonnées rectangulaires, M un point d'une surface ( S), m la projection du point M sur le plan xOy^ N le point oà le plan tangent en M à la sur/ace (S) rencontrée la perpendiculaire élevée par l'origine au plan OmM.

I** On demande l'équation générale des sur/aces (S), telles que l'on ait ON = 0/71, pour un point quelconque M pris sur la surface;

2* Déterminer la fonction arbitraire de façon que la surface ( S ) passe par la courbe représentée par les deux équations

3" Trouver les lignes asymptotiques de cette dernière surface,

II. On fait décrire à la variable complexe z le segment de ligne droite joignant Vor*igine au poitU z = -\- i. Quelle est la valeur finale de la fonction ar-c sm Zy si la valeur initiale est égale à -^tz?

Épreuve pratique. — Calculer Vintégr^ale définie

dx

(4co*iP-i-5)*

(Octobre igoS.)

Poitiers.

Épreuve théorique. — I. Les surfaces définies par l'équation aux dérivées partielles

(i) i-t-/'* + 9*=yV(r)

Ann, de Mathemat., 4* série, t. VI. (Juillet 1906.)

Qi

ont un système de lignes de courbure dans des plans parallèles au plan zox.