SUR OUBL(PS G8ACLK8 DU PLAN DUN TRIANGLE

Par m. Emile WEBER.

Soient P un point quelconque du plan d'un triangle ABC ; a, ^, Y ses coordonnées trilinéaires normales. Désignons par A|, B,, C, les intersections respectives des côtés BC, GA, AB avec les droites AP, BP, CP. Par les trois points A|, B^, C« faisons passer un cercle. Celui-ci coupera les côtés de ABC une seconde fois respectivement en A^, B^ C'^. On sait que les droites AA',, BB'^, CC'^ concourent en un même point P' (Ter- QUEM, N,A,, 1842, p. 4o3 ; G. CANoino, N. A,, 1900, p. 249).

Nous nous proposons, dans cette étude, de mettre

en lumière la relation gi^ométrique unissant les deux points P et P. Nous établirons ensuite la condition à laquelle ces points doivent satisfaire, pour que le cercle correspondant soit tangent au cercle d^Euler, ce qui nous donnera une extension du théorème de Feuerbach à comparer avec celle que M. Fontené a établie dans les Nouvelles Annales (iQoS) pour une autre famille de cercles.

1. Au Congrès de l'Association française pour Tavancement des Sciences (Oran, 1888), M. Emile Lemoine a donné l'expression des coordonnées a', P', y' du point P' en fonction de celles du point P. Il a obtenu :

aa(A— aa)[6Y(^-^Y)-+-^P(^— *?)] — «' Pt(^—cY)(A—AP)'

où A ^ aa -h 6 P -h cy. p', ^ s'écrivent au moyen de a' par permutations tournantes.

Sous cette forme, les coordonnées a', P', y' paraissent extrêmement compliquées et peu maniables dans les calculs. Nous allons les définir d'une façon plus simple. A cet effet, observons que a' est proportionnel à :

^[p(A — ÔP) "^ '^{^ — cf) a(A— aa)J

La même coordonnée, écrite dans le système barycentrique, devient

p(A— 6p) y(a — CY) arA — aa;

A présent, si Ton désigne par x^ y, z les coordonnées barycen triques de P, on voit que le point V est

le réciproque de l^ anticomplémentaire d\in point D,

a* dont les coordonnées barycentriques sont — r>

2. Ce point D a une signification remarquable. Pour la faire ressortir, nous allons rappeler un théorème dû à Sleiner :

Si l^ on joint les trois sommets aux milieux des côtés correspondants B|C«, C, A,, A, C| du triangle déterminé par les pieds des droites AP, BP, CP, on obtient trois droites courantes en un point D'. Il est facile de voir que les coordonnées barycentriques de D' sont x{y-^z)^ y(^-l-^), z{x+y). En. les comparant à celles du point D, on voit que le point D est r inverse triangulaire du point D'.

3. Appliquons ce qui précède, comme vérification, au cercle d'Euler. Ici, le point P est le point H, orthocenlre du triangle fondamental ; le triangle A|B|C| est le triangle orthique. Si nous joignons les sommets aux milieux des côtés du triangle orthique, nous obtiendrons les sy médianes de ABC : le point D' est donc, dans ce cas, le point K de Lemoine, dont l'inverse D est le centre de gravité de ABC. D'autre part, le centre de gravité est lui-même le réciproque de son anticomplémentaire. De là découle clairement la notion dn cercle des neuf points.

4. Dans certains cas, l'énoncé de la correspondance entre les points P et P' se simplifie en introduisant la notion de la newtonienne d'aune transversale. Si

Xx -h Hy ~h Cz = o

( 346 ) est Téqualion, en coordonnées barycen triques, d'une transversale, les milieux des diagonales du quadrilatère complet, que cette transversale détermine avec les côtés de ABC, sont sur la droite

appelée (par M. de Longchamps) la newtonienne de la transversale.

En écrivant la dernière équation sous la forme :

il ressort, que le pôle trilinéaire (Tune newtonienne est le réciproque de l^ anticomplémentaire du pâle trilinéaire de la transversale correspondante.

5. Si nous prenons maintenant, pour le point P, le fojer de la parabole de Kiepert ( ,^ ^> "711^'

^ ,^ en coordonnées barycentriquesj» le point D

sera le pôle trilinéaire de la droite d'Euler et V le réciproque de ranlicomplémenlaire de ce pôle. Nous dirons donc : Il passe un cercle par les six pieds des droites joignant les trois sommets au foyer de la parabole de Kiepert et au pôle trilinéaire de la newtonienne de la droite d^Euler,

6. Si le point P est le point de Sleiner \,^__ ,* -j— —jj ^__ ,^ en coordonnées bar^cenlriques j> le

point D sera le foyer de la parabole de Kiepert et P' le réciproque de Tanticomplémentaire de ce foyer. En observant que le loyer de la parabole de Kiepert est

(347) le pôle Lrilînéaire du diamètre de Brocard, nous pourrons énoncer le théorème :

// passe un cercle par les six pieds des droites joignant les sommets au point de Steiner et au pôle trilinéaire de ta n estonienne du diamètre de Brocard,

7. liln plaçant le point P au point K de Lemoine, le point D est le point t: r> -r ;» -;; — r-i de sorte

que son inverse le point D' [«^(6^-+- c*), ^^(c^H-a^), c^(a^ -h b^)] est le point milieu de la dislance des deux points de Brocard. En d'autres lermes : si Con joint les sommets d'un triangle aux milieux des côtés correspondants du triangle formé par les pieds des symédianes, on trace trois droites se coupant au milieu de la distance des deux points de Brocard.

8. Signalons encore un cas particulier digne de remarque : si P est réciproque de l'ortliocentre H, le point D sera l'orlhocentre H et nous dirons :

// passe un cercle par les six pieds des droites joignant les trois sommets au réciproque de V orthocentre et au pôle de la newtonienne de l'axe orthique.

9. Pour étendre le tliéorème de Feuerbach aux cercles de cetie famille, nous nous appuierons sur la proposition suivante : le cercle circonscrit à un triangle autopolaire à une hyperbole équilatère passe par le centre de cette courbe.

On peut considérer le triangle A|B|C| comme le triangle diagonal du quadrilatère ABCP et par suite comme triangle autopolaire à Thyperbole équilutère

( 348) ABCP. De même, le triangle A,B',C', est auiopolaire par rapporta Phyperbole équilatère ABCP'- II en résulte que le cercle A,B(Ci coupe le cercle d'Euler en deux points, centres des hyperboles équîlalères AB(^P, ABCP'. Conséquemment, lorsque P et P' appartiendront à une même hyperbole équilatère circonscrite au triangle fondamental, le cercle A|B,C| sera tangent au cercle des neuf points.

[Pif]

ON THBORKNK SUR L4 COLLINÊATION BT LA R&GIPROCITK;

Par m. STUYVAERT.

Le point de départ de ce travail est un théorème que nous appellerons théorème de Reye et dont voici l'énoncé :

Toutes les cubiques gauches passant par cinq points percent un plan fixe en des ternes de points qui sont les sommets de triangles conjugués par rapport à une même conique. {Zeitschr.f Math. u. Phys., t. Xlli.)

Cette propriété a été démontrée trop souvent pour qu'une nouvelle méthode de l'établir, présente encore quelque intérêt en elle-même. Mais on peut analyser les relations du théorème de Reye avec des théories apparentées; ces recherches, poussées dans deux directions différentes, nous ont donné des résultats.

En considérant la gerbe de cubiques par cinq points comme un cas particulier de systèmes plus généraux^ nous ayons monivé {Comptes rendus, novembre ipoS)

( 349 ) commciit les caractères spécifiques de cette gerbe entraînent le théorème de Reye.

Ici, au contraire^ nous allons regarder cette proposition comme un analogue supérieur du théorème de C. Sturm sur les faisceaux de coniques, et nous étendons à l'espace une méthode qui réussit dans le plan.

1. Le théorème de C. Sturm peut se déduire de celui de Desargues, Ce dernier repose à son tour sur la propriété suivante :

Si X et X, ^ et Y sont deux couples d^ éléments homologues de deux formes projectiles superposées du premier ordre {ponctuelles ou faisceaux) y les couples (.r, Y), {y^ X) et les éléments doubles de la projecti\?ité sont en involution.

Cherchons l'analogue de ce théorème dans un espace à deux, trois ou même plusieurs dimensions. Pour la facilité du langage, bornons-nous à l'espace ordinaire: nous aurons à démontrer le ikéorème que voici :

Si le point Y et le plan U sont respectivement les homologues du point y et du plan u dans deux espaces collinéaires (le déterminant de la collinéation étant différent de zéro), Y est le pôle de u et y le pôle du U dans un système polaire ayant pour tétraèdre conjugué le tétraèdre fondamental de la collinéation.

M. C. Servais nous a communiqué verbalement une .démonstration synthétique de celte propriété. Celle que nous donnons ici est analytique ; nous n'avons donc pas à nous occuper du cas des imaginaires.

Prenons les points doubles, supposés distincts, de

la collioéatîon pour sominets du lélraèdre de véStrence. Les formules de ia projectivité peavenl alors s'écrire

P^i=<^iyi(i- I, a, 3, 4).

Un plao U ^ S ^i^i répond à un plan u^'E Ua/jr/, que l'on peut désigner par S Ui^il on a alors

aui= a/U/.

Or, dans un système polaire où le tétraèdre de référence est un tétraèdre conjugué et où le point ^ est le pôle du plan U, on a des relations de la forme

par suite aussi

ou, d'après les formules précédentes,

pp'Y/=<yp/a/;

dans ce système polaire, le point Y est donc bien le pôle du plan u.

Le raisonnement, fait en sens inverse, démontre la réciproque :

Si les points Y et y sont respectivement les pôles des plans u et U par rapport à un système polaire, le point Y et le plan U sont respectivement les homologues du point y et du point u dans une collinéa^ tion ayant pour tétraèdre fondamental un tétraèdre polaire quelconque du système proposé,

2. La démonstration précédente suppose que les points doubles de la collinéation soient distincts. Le raisonnement qui va suivre établit le même théorème dans tous les cas.

Écrivons, les équations de la collinéation sous la

(35. ) forme

pY/=2^'VJ'y («= ï» ^» 3, 4).

En général a/y diflTère de Uji^ el la seule reslHclion à faire est que le déterminant des quantités aij ne soit pas nul.

Le plan U ^ SUiXi répond au plan u ^^lii'ZaijXj et, si l'on désigne ce dernier par 2 ujXj^ on a

Soient fiif les coefficients réels d'une quadrique f réelle ou imaginaire; on a donc //a = /a/. Si U est le plan polaire du point ^ par rapport à cette quadrique, on a

*=1 d'où

^^^j = ^<^ij^fikyk-

Si le plan u est le plan polaire du point Y par rapport à la même quadrique, on a de même

*=i d'où

Les deux systèmes de valeurs trouvés pour les quantités Uj ne peuvent coexister, en général, que pour un

( 352 ) nombre fiai de points ^ (ce nombre est 4)* Mais elles sont compatibles, quel que soit le pointy, si Ton a

Ces conditions sont vérifiées identiquement, si Ton dij=zk. De plus, les égalités demeurent inaltérées, si Ton permute y et k. On ne doit considérer que les cas où y par exemple est supérieur à k et, comme les nombres I, sî, 3, 4 présentent six combinaisons, les rela-» tions précédentes sont au nombre de six entre les dix coefficients homogènes /,>; il v a donc, en général, oc' quadriques satisfaisant à la condition d'avoir pour plans polaires de deux points homologues quelconques y et Y deux plans homologues aussi, mais ea ordre inverse, U et £/.

Démontrons que tout point double de la collinéation est le pôle d'un plan double par rapport à chacune de ces quadriques. Si un point z est double, il existe une valeur de p telle que Ton ait

/=* ^Zi = ^aijzj\

soit V le plan polaire de z par rapport à une des oo' quadriques trouvées, on a alors

donc

mais, à cause des conditions imposées aux quadriques/

( 353 ) et écrites plus haut, ces relations devienneut

P'^^k^^atk^/ijzj

et, puisque v est le plan polaire de z, on a enfin

pTPi^ = T 2^aiki^i]

ceci exprime que sf est un plan double, donné d'ailleurs par la même valeur de p qui a fourni le point double z, Ainsi, tout point double de la coUinéation est le pôle d'un plan double par rapport à chacune des oo' qiiadriques/. Il est visible que l'une de ces surfaces est déterminée, en général, par la condition que y est le pôle de U.

3. Voici, en passant, une application. Supposons le complexe tétraédral défini par deux espaces collinéaires (voir Reye, Géométrie de position). Soient a et 6 deux rayons du complexe; a passe par deux points homologues ^ et Y; 6 est Fintersection de deux plans homologues u et U. D'après le théorème du n° 1,^ est le pôle de U et Y le pôle de u par rapport à une qua-, drique ayant pour tétraèdre conjugué le tétraèdre fondamental de la projectivité ; donc a et 6 sont deux droites conjuguées par rapport à cette quadrique. Les droites conjuguées du rayon a par rapport aux oo* quadriques / ayant le tétraèdre fondamental pour tétraèdre polaire sont toutes des rayons du complexe. Ou encore le complexe est conjugué à lui-même par rapport à chacune de ces quadriques. (Ces propriétés sont connues.)

Ann. de Mathémat., 4' »^"e, t. VI. (Août 1906.) a3

( 354 ) 4. Les n*** 1 et 2 sont indépendants du nombre de variables. Dans un plan, par exemple, on a la propriété suivante :

SI y et Y sont deux points homologues, u et \] deux droites homologues de deux systèmes plans collinéaires superposés, y est le pôle de W et Y celui de u dans un système polaire ayant pour triangle conjugué le triangle fondamental de la collinéation. Et réciproquement.

Cette proposition conduit au théorème de Reye sur les cubiques gauches.

En effet, les rayons qui projettent les points d'une cubique gauche de deux d'entre eux, G et H par exemple, forment deux gerbes collinéaires et marquent, sur un plan [jL, deux systèmes plans projeclifs dont les points doubles sont les traces A., B, C de la cubique sur le plan p.

Soient D, E, F trois points de la courbe; appelons D', E', F' les traces respectives de GD, Glî, GF sur le plan [JL et D", E', F' celles de HD, HE, HF.

D'après le théorème qui vient d'être énoncé, D' et D" sont respectivement les pôles de E"F" et E'F par rapport à une conique admettant le triangle ABC comme triangle conjugué.

Si Ton intervertit les rôles des points G et D, on voit que, dans la même conique, définie par son triangle conjugué ABC et par la condition que D'est le pôle de E''F'', on a maintenant la trace 1 de GH pour pôle de la droite d intersection des plans DEF et |jl. Par interversion successive des points D, E, F, G, H entre eux, on reconnaît ainsi que le plan |i. coupe chaque face du pentaèdrtr DEFGH suivant une droite et chaque arête opposée en un point et que ces dix droites sont les

( 355 ) polaires respectives de ces dix points par rapport à une même conique qui admet ABC comme triangle conjugué.

(iCtte propriété est l^analogue du théorème de Desargues relatif aux coniques ; elle est connue ainsi que les cas particuliers que Ton peut en tirer lorsque certains sommets du pentaèdre coïncident.

L'analogue du théorème de C. Sturm en résulte immédiatement : toutes les cubiques gauches passant par les cinq points D, E, F, G, H percent le plan jjl en des ternes de points A, B, G formant des triangles conjugués par rapport à une même conique ; celle-ci est en effet complètement déterminée par le pentaèdre DEFGH.

SUR UNE GBNBRUrSATrOK DK LA TRANSFORMATION BIRATIONNELLE;

Par m. h. LAURENT.

Soient /, if', /", ... les racines d'une équation algébrique

de degré m. On sait que toute fonction rationnelle de i est réductible à la forme ^{î)^ ?(^) désignant un polynôme entier de degré m — i au plus.

Gonsidérons une fonction de m variables

Xoj Xi. ..., Wm-i

de la forme

Xo H- t a?! -4- . . . -H t"*-* x„t-t = y,

( 356 ) et une expression de la forme

a, 6, a', 6' désignant des quantités indépendantes des a; mais pouvant contenir /et ses puissances. Si Ton remplace a, 6, a', 6', ^ par leurs valeurs exprimées en fonction de t, Y prendra la forme

Y = Xo -4- Xt t-4-. . .-4- X,„i i"»-*.

Pour lui faire acquérir cetle forme on observera que Y est de la forme

Mo -4- aj i -+- . . . -h llm-\ *'""*

fo -4- «'i «-»-••• -+- ^m-\ «"*"*

ou les u et les v sont fonctions linéaires des x^ le numérateur et le dénominateur pouvant être remplacés par le reste de leur division par fit). Cela fait, on multipliera le numérateur et le dénominateur de la fraction précédente par

qui est une fonction symétrique des racines de ^^^— .> et qui, par suite, est entier en i\ après cetle opération, le numérateur et le dénominateur de Y seront des polynômes entiers en a^o, ^i, ..., ^m-« de degré m au plus et le dénominateur ne contiendra plus i, Y aura donc la forme

4;o H- <Vi g -4- . ■ . + ^m-\ J"*^^ I = j i

les i( étant des fonctions entières des x de degré m. On aura donc

( 357 ) Or, la racine i étant Tune quelconque des racines de y(j5) = o, la formule précédente aura lieu en y remplaçant i pari', i**^, ..., elle aura lieu pour m valeurs de/ et l'on aura

Ces formules sont birationnelles, c'est-à-dire que Ton peut les résoudre par rapport aux x et exprimer leurs valeurs en fonction rationnelle de Xo,X|, ...,X|t. Ce sont des formules analogues à celles de la transformation quadratique dans l'espace à deux dimensions.

Et, en effet, de la formule (i) on tire