AY-4-B
A, B, A', B' étant des polynômes entiers, et, en reprenant mot pour mot ce que nous venons de dire, on aura
les Vêtant entiers et de degré m — i en Xo, ..., X^-i. Les formules (2) sont celles d'un groupe dont il est facile de trouver des invariants différentiels. En considérant Y et^ comme des variables complexes formées avec les clefs i, i^, ,.., i"*"*, Y sera fonction de ^ et
aura une dérivée t- bien déterminée, alors
dy dxx -H i dxi 4- . . .
ne dépendant pas de dxoldxildxal < >-, on aura
dXo . dXi I /dXo . dXx \
âxo oxq i \oxo oxi /
( 358 ) et ces équations se décomposeront encore en d'autres après avoir été rendues entières en /, en observant
qa'elles ont encore lieu en changeant i en f, H' ^
Toutes ces équations ont pour solutions
Ao--;j^, A,s=-jj-, ....
Si, par exemple, f{z) = 5^ + i , on aura
^ ( a-»-ai)(iro -h jr|i)-l- ^ H- P* ■^ "" ( a' -v- a' t ) ( ^0 -♦- *i » ) ■+• ^' -♦- ?' *
""" a'aro — ol' Xx-\- 6'-f- t(a'iro4-a'a?t-h p')
^ {axQ — (iXx-\-b){a' Xq — <x' Xx-^-b')'\-{%x^-^ax\ -4- p)(a'rro-f-a'irt-«-P') "" (a'aro— a'^i-H^')*-t- (a'aro-4-a'iri-4- P')«
(g'a^o — g'ari-h 6')(aa7o-t- aa?! -H P) — (a^rp — g^i-H ^)(g'a:o — ...) . (a'iFo— ...)•• • et l'on aura
(aXf^ —axi-^b) (a'x^ — a'a", -hb')-h(oiXQ-^a.ri-hP)((i'xQ-ha'xi-\'p')
(a'xo — Qt'sti -h b'){(xxQ-^ axi-h^) — {axo — aLXi-\-b){a'xo-ha'xi-k-P')
(a'xo—a'x^-^ b* )* -h (a' Xo -^ a' Xi H-f')* Ces équations sont de la forme Xq Xi
£/, u'^ (^, if' désignant des fonctions linéaires. Si ç' est nul, on a
Xq X^ J
uu' "" pa' *" p*
GONGAURS D'ADMISSION A L'ÉCOLE NORHALE SUPERIEURE M 1906.
Première composition de Mathématiques (Sciences I).
Solution paii M. Jean SËRVArS.
On considère, dans l'espace, les droites (D) dont les équations sont
Ma? H- tyr -t- -5 -4- 1 = o, X -hy -^ uz -{- V =s o;
on regarde les paramètres m, {^ comme les coordon^ nées d'un point A dans un plan (P) ; à chaque point K de ce plan correspond, en général, une droite (D) et une seule; par un point M de Cespace, il passe, en général, une droite {D) et une seule.
Ou doit être le point M pour qu'il passe par ce point une infinité de droites (D)? Soit Mo un tel point; quel est le lieu, dans le plan P, des points A auxquels correspondent les droites (D), en nombre infini^ qui passent par le point M©? Quand, inversement, le point A décrit ce lieu, Quelle est la sur face décrite par la droite (D) qui correspond au point A?
Lorsque, dans le plan (P) , le point A décrit la parabole dont V équation est v == au^, la droite correspondante (D) décrit une surface (2) qui est, en général, du quatrième degré; la précédente étude permet de mettre en évidence des valeurs du paramètre a pour lesquelles cette surface contient un plan.
Construire, en supposant a=i, la courbe du
troisième degré, intersection d la surface (S)«/ du plan des xy.
Évaluer Vaire limitée par celte courbe et la droite dont V équation est y =z 3,5.
Il est clair qu'à chaque point A, c'est-à-dire, à chaque système de valeurs de {/ et (^ correspond une droite (D) et une seule à moins que les deux plans qui définissent (D) ne soient confondus, ce qui a lieu lorsque
c'est-à-dire lorsque le point A occupe Tune des deux positions
auxquels cas la droite est indéterminée dans le plan
(H) ar-f-j' ■+- ^ -hi = o
ou
(n') ar-H^ — >« — i = o.
Si l'on cherche les droites (D) qui passent par un point donné M de coordonnées a:, y^ z, on est amené à résoudre les deux équations
Îwa? 4- pj^ -4- « H- I = o, .u-5 -HP -^x-\-y^o
en a et (^ qui admettent en général une solution et une seule sauf lorsque l'on a
En faisant la somme des termes des rapport.s (2), on
(36. ) trouve le rapport égal
qui est égal à i , si x -^-y -f- 5 + i ^z^ o. Dans ce cas le point M est sur la droite
i ar = ^, (A)
Lorsque ic-|-^-|-2-|-i = o,on peut remarquer que les rapports (2) sont aussi égaux à
x-»ry^z — \
qui est égal à — i , si ar -^y — z — i p^ o. Dans ce cas le point M est sur la droite
Enfin, si Ton a à la fois
c^est-à-dire si le point M est sur la droite d'intersection des plans n et n^
Il j a bien une infinité de solutions pour u et i^, car les équations (i) donnent
mais la droite correspondante
(362 ) reste fixe et coïncide avec A*^ lorsque u varie, elle ii'e«t donc pas indéterminée.
En résumé, la droite (D) n'est indéterminée que lorsque le point M est sur Tune des droites A ou A'.
Soit Mo un point de A de coordonnées
aro = ^oi
Pour ce point les deux équations (i) sont identiques et le lieu de (A) est la droite
qui passe par le point û'.
De même si le point M o est sur A'
le lieu de A est une droite
(I/) a^o-hc — ^0 — i = o
qui pass^ par le point Q.
Supposons que le point A décrive la droite (L<), la surface engendrée par D aura pour équation
Zq I ^0+ I
qui, développée, se décompose en deux plans : X -hy — ^ — r = o,
qui est le plan 0', et
