X -h z -^ ZQ(y -^ i) =: o

qui est le plan passant par A' et le point Mo*

De même, lorsque A décrit la droite (L'), la surface engendrée par (D) se décompose en deux plans :

x-hy -h z H- I = o

( 363 ) qui est le plan H, et

qui est le plan passant par A et le point Mq. Lorsque A décrit la parabole

(3) ç^au^,

la droite (D) décrit la surface (S) dont on obtient l'équation en éliminant u el \f entre les équations (i) et (3), ce qui donne

(S) a[y{x-^y) — z — iY=[z{z-hi)'-x{x-^y)](x—yz).

Cette surface est du quatrième ordre en général. On prévoit qu'elle se décomposera en une surface du troisième ordre et l'un des plans II ou U'^ lorsque la parabole passera par l'un des deux points Q ou Q', c'està-dire lorsque

Faisons, par exemple, a = i et mettons en évidence dans l'équation de (2) te plan II, il reste la surface du troisième ordre qui a pour équation

y[{y — '2)(a? -+->') H- s*] -+• a?* — j'» — za?-h^ — ar— ^-h i = o.

La section par le plan ^ = o est la cubique qui a pour équation

Pour construire cette courbe, remarquons d'abord que la droite x +y = o est évidemment une asymptote d*in(lexion, puisqu'elle rencontre la courbe en trois points à l'infini et qu'elle est parallèle à une direction asymptotique simple. La direction de l'axe des x est une direction asymptotique double à laquelle corres*

( 364 ) pond une branche parabolique. En écrivanl l'équation sous la forme

on voit que la parabole

(P) y^-^OP — y — iz=zo

est asymptote. Sous cette forme on voit également qu'il n'y a pas de points de la courbe à l'intérieur des

Fig. I.

régions ombrées sur la figure, et cela met en évidence comment la courbe est asymptote à la droite et à la parabole.

La courbe présente un point double isolé au point

( 365 ) TraDsportons les axes en ce point, en posant

L'équation devient

Y«(X -+- Y) -h X«-+- 2XY -4- 2 Y»= o.

Il est alors facile de mettre la courbe sous forme unicursale et de la construire {^fig* i).

On peut d'ailleurs également la construire sous la première forme, en résolvant par rapport à x.

L'équation ordonnée en x est

** ■+■ (r*— I.) ^ H- (^* - 0 (r — 0 = Oi ce qui donne, en résolvant,

(4) 2a: = i-^«dz(^-i)/(j'-i-i)(^-3).

Ceci met en évidence les deux tangentes y = — i, y ■=.Z parallèles à ox et tangentes aux points

B(ar = o, j's — I) et G (a: =— 4, ^ = — 3).

L'aire demandée est l'aire DCE comprise entre la courbe et la droite de

Elle est égale à

^i^y— j ^tdy,

X{ et X2 étant les deux valeurs de x fournies par la formule (4), on a donc

En remarquant que {y — i) est la demi-dérivée de

( 366 ) la quantité placée sous le radical, on a

S=!H(>'-Hi)(r-3)]î|r*, s = 1(9., 25 )î.