SOLUTION GÉOMÉTRIQUE

Les droites (D) forment la congruence des droites qui s^appuient sur deux droites fixes (A) et (A'). Les coordonnées du poinr a d'intersection de la droite (D) avec le plan

sont

On peut donc substituer, sans rien changer d'essentiel dans l'énoncé, le point a au point A, car Tun se déduit de l'autre par une symétrie.

Fig. 2.

Soient alors {Jig» 2)(i)eta)' les points d'interseclion des droites (A) et (A') avec le plan (/?). Par tout pointa

(367) du plan {p) passe une droite (D) et une seule qui est rinlersection des plans a, (A) et a, (A'), il y a exception lorsque a est en co, auquel cas la droite (D) est indéterminée dans le plan (H) passant par (o et (A'), ou lorsque a est en w', auquel cas (D) est indéterminée dans le plan (II') passant par o)' et (A).

Par un point M de l'espace il passe une droite (D) et une seule qui est Finterseclion des plans M, (A) et M, (A'). Il y a exception lorsque M est situé sur une des deux droites (A) ou (A'), car, dans ce cas, la droile(D) est indéterminée dans le plan défini par M et l'autre droite fixe.

Soit Mo un point de (A) {fig- 3). Toutes les droites (D) passant par Mq engendrent le plan (Q)

Fig. 3.

passant par M© et (A'). I^e lieu de la trace a de (D) sur le plan (/?) est donc la trace {l) du plan (Q) sur (/?). Ce lieu est donc une droiie (/) passant par co'. Inversement, lorsque le point a décrit la droite (/), la droite (D), qui n'est autre chose que aMo, engendre le plan (Q). Il y a toutefois exception lorsque a est

( 368 ) en (!>', car dans ce cas la droite (D) est indéterminée dans le plan (II'). La surface engendrée par (D) lorsque a décrit la droite (/) est donc Tenseinble des deux plans (Q) et (II').

On obtiendrait des résultats analogues pour un point Mode (A').

Supposons maintenant que le point a décrive dans le plan {p) une courbe algébrique (G) d'ordre m. La droite (D) engendrera une surface réglée (2) d'ordre a m. Pour le prouver, cherchons en combien de points une droite quelconque (S) rencontre la surface (S). Ce nombre sera égal à celui des droites (D) s'appuyant à la fois sur (S) et sur (C). Or, toutes les droites ( D ) q ui s'appuient sur ( S ) forment en général un hyperboloïde à une nappe. Cet hjperboloïde est coupé par le plan (/>) suivant une conique (F) qui rencontre la courbe (C) en 2m points. Les 2m droites (D) qui passent en ces im points rencontrent (S) aux a m points d'intersection avec (S).

Celle surface (S) a 3 droites multiples d'ordre m qui sont (A), (A') et wco'.

En eiTet, par tout point Mo de (A) il passe m génératrices de (S) qui sont les droites joignant Mo aux m points d'intersection de la droite (/) {fig- 3) avec la courbe (C).

Lorsque M© décrit (A), l-es m génératrices engendrent m nappes de la surface (S) passant par (A).

Il y a de même m nappes passant par (A').

Imaginons que le point Mo, en décrivant (A), tende vers o>. La droite (/) aura pour limite o>ci>' et les m génératrices (D) de (S) passant par Mo viendront se confondre suivant coco'. Il y a donc également m nappes passant par coco'.

Si la courbe (C) du plan (/>) passe parco, à ce point

(369) correspond le plan (II) et la surface (S) se décompose en une surface d'ordre 2m — i et ce plan.

Plus généralement, si la courbe (C) a en w un point multiple d'ordre r et en lo'un point multiple d'ordre r', la surface (S) se décompose en une surface réglée d'ordre 2m — /• — /^, r fois le plan (II) et r' fois le plan (A').

En coupant la surface (S) par un plan, on obtient comme section une courbe algébrique d'ordre '2m qui a trois points multiples d'ordre m et passe par les m points d'intersection du plan sécant avec la courbe (C).

Dans le cas particulier en question, la courbe (C) est une parabole. La surface (S) estdonc une surface du quatrième ordre a^ant trois génératrices doubles (A), (A') et(i>(i>'.

La section par le plan xoy est une courbe du quatrième ordre ayant : deux points doubles à distance finie aux points d'intersection (A) et (B) de (A) et (A') avec ûcoy, un point double à l'infini dans la direction coco' et tangente à la droite de l'infini dans la direction infinie de la parabole.

Lorsque la parabole passe par co, la surface (S) se décompose en le plan (II) et une surface du troisième ordre; la courbe du quatrième ordre se décompose eu la parallèle à coco' passant par B el une cubique ayant : un point double en A, un point simple en B, un point simple à l'infini dans la direction coco' et tangente à la droitt: de l'infini dans la direction infinie de la parabole.

Ann. de MathémaL, 4* sénc, t. VI. (Août 1906.) 24