Section plane de la surface normale hélicoïde

— La surface réglée projetée sur les fig. 2 et 3 de la planche 2, ayant pour directrices Taxe AA' du cylindre , et l’hélice acmvu (fig. 2), il s’agit de construire la courbe suivant laquelle cette surface serait coupée par le plan P perpendiculaire au plan de la fig. 2.

1® Toutes les génératrices de la surface rencontrant l’axe du cylindre , leurs projections sur le plan de la fig. 3 se confondront avec les rayons de la circonférence suivant laquelle se projette l’hélice directrice.

Les mêmes génératrices sont projetées sur la fig. 2 par des droites parallèles entre elles , et perpendiculaires à l’axe AA du cylindre.

Les deux projections d’une même génératrice sont désignées sur les fig. 2 et 3 par le même numéro.

Quoique chaque génératrice soit ici considérée comme infinie , nous distinguerons par une teinte la partie de surface qui est comprise entre l’axe du cylindre et l’hélice directrice .

82. Cela étant admis, il est évident que pour obtenir sur la fig. 3 la projection de la courbe demandée, il

suffira d’abaisser une perpendiculaire à la ligne TD par chacun des points suivant lesquels la trace du plan P rencontre la projection de la génératrice correspondante.

On obtiendra ainsi les deux courbes MN et BAC de la

La première est la ligne suivant laquelle le plan P coupe la partie de surface uvni , tandis que la courbe BAC est la section produite dans la surface mca.

83. Ces deux rourbes sont exprimées dans leur véritable grandeur par la fig. 5, sur laquelle l’ellipse indiquée par une teinte est la section par le plan P du cylindre qui contient l’hélice directrice.

La fig. 5 peut être considérée comme un rabattement du plan P que l’on aurait fait avancer parallèlement à luimême avant de le faire tourner autour de la droite KH située dans le plan vertical projetant de la crenératrice 4-12 3).

84. Les dilférents points des deux courbes M"N" et B"A"C" de la fig. 5 se déduiront facilement de leurs projections {flg> 2 et 3 ) , en faisant la distance de chaque point à la droite KH de la fig. 5 , égale à la distance du point correspondant à la droite 4-12 de la fig. 3.

85. Les deux courbes, ou plutôt les deux branches de la courbe que nous venons d’obtenir , sont principalement remarquables par la différence de leurs courbures.

86. Prises dans leur ensemble, et en faisant abstraction du nombre infini de courbes que l’on obtiendrait en prolongeant le plan P et la surface hélicoïde au-dessus du point U, et au-dessous du point a ( fig. 2) , elles peuvent être considérées comme les deux branches d’une même

courbe qui aurait pour asymptotes les trois droites EF, GI, RS perpendiculaires au plan de la fig. 2.

En effet , les génératrices qui s’appuient sur les points a, m et U de l’hélice directrice, étant perpendiculaires au plan de la fîg. 2 , ne seront rencontrées par le plan P qu’à l’infini, d’où il résulte que les ordonnées qui ont leurs pieds aux points 17, 18 et 19 de la fig. 2, seront infiniment

L’asymptote GT est commune aux deux branches de la courbe et l’on remarque (fig. 5) que l’une de ces branches passe par le centre A" de l’ellipse suivant laquelle le plan P coupe le cylindre qui contient l’hélice directrice. Ce point provient de l’intersection z du plan P et de l’axe A! A' du cylindre (fig. 2 ).

87. Les courbes que nous venons d’obtenir changeraient évidemment de forme si l’on déplaçait le plan coupant. Ainsi , par exemple , si nous supposons que le plan P de la fig. 2 se meut parallèlement à lui- même en s’approchant du pont m, et si nous représentons les sections successives du cylindre par les ellipses 1 , 2,3, 4 , de la fig. 6 , les sections correspondantes de la surface réglée hélicoïde par le plan P, seront les courbes désignées par les mêmes numéros 1, 2, 3, 4 et la dernière de ces courbes, composée de deux branches symétriques, sera la section de la surface par le plan P^ qui contient le point m (fig. 2).

Enfin, si l’on continue à faire mouvoir le plan coupant jusqu’à ce qu’il soit arrivé dans la position P^ toujours parallèle au plan P et de manière toutefois que la distance mx soit égale à mz , on obtiendra pour section les deux courbes projetées {fig. 1 ) , sur un plan perpendiculaire à l’axe du cylindre.

Ces courbes, symétriques de celles que nous avons obtenues sur la fig. 3 , n’ont pas été rabattues en vraie gran-

deur, mais il est évident qu’elles seraient symétriques de celles que nous avons obtenues sur la figure 5.

88. Lorsque l’on aura étudié et construit avec soin les fig. 1, 2, 3 et 4, on n’éprouvera aucune difficulté à comprendre les courbes suivant lesquelles les surfaces réglées hélicoïdes et normales qui forment les joints continus d’un pont biais rencontrent les plans verticaux qui contiennent les arcs de tête delà voûte.

Ainsi , la figure 9 étant la projection horizontale d’un berceau cylindrique dont la section droite est rabattue, fig. 11; les coupes de joints sur les faces des têtes sont projetées et rabattues dans leur véritable grandeur sur la fig. 7 , qui est une coupe du berceau et de ses surfaces de joint par le plan vertical P qui contient l’un des arcs de tête.

Afin de rendre plus sensible la courbure des coupes de joint sur la fig. 7 , on a coupé le berceau suivant en angle beaucoup plus aigu qu’il ne serait convenable de le faire dans l’application.

C’est également pour éviter la confusion des lignes que l’on a donné beaucoup d’épaisseur à la voûte et que l’on a supposé un très-petit rayon de courbure.

Nous avons supposé ici que l’arc de tête ne contenait que sept voussoirs.

89. Épure. — La section droite du berceau étant donnée (fig. 11), onia divisera en parties égales et l’on construira sur la fig. 9 les projections horizontales des génératrices correspondantes .

Ces lignes ont été tracées en points allongés sur la projection horizontale du berceau et sur* une partie de son développement (fig- 8). Pour éviter la confusion on n’a conservé que les amorces des génératrices de l’extrados

qui, sur les fig. 9 et 8, sont tracées en points ronds.

Cela étant fait , on coupera le berceau par le plan P dont la direction est déterminée par la question à résoudre.

90. En opérant comme nous Favons dit au numéro 56, on construira le dé^^eloppement de la surface cylindrique d’intrados ou de douelle dont une partie seulement a été conservée sur la fig. 8, où elle est désignée par une teinte de liachures.

On pourra construire également le développement de l’extrados, qui est désigné sur la même figure par une teinte de points. Mais cette opération que j’indique ici comme étude peut être évitée dans la pratique, parce qu’ordinairement on ne taille pas les extrados.