PL. O

dos xn , seront les deux directrices de la surface de joint correspondante .

La face aczx se taillera comme nous l’avons dit aun” 125.

139. Je crois devoir encore une fois rappeler que pour mieux faire sen tir le contournement de la pierre et de ses surfaces de joint, on a donné au voussoir une longueur beaucoup plus grande que celle qui serait admise danslapra tique; mais il est évident que dans un grand pont, qui serait tout entier en pierres de taille , le grand nombre des voussoirs d’une même assise diminuerait considérablement le gauche de chacun d’eux et par suite le déchet qui en résulte.

D’ailleurs , lorsque la voûte est construite en maçonnerie ordinaire et que les têtes seules sont en pierres de taille, comme cela se fait presque toujours , le voussoir est coupé à peu de distance du plan vertical qui forme la face intérieure du mur de tête , et l’on comprendra facilement à l’inspection de la partie désignée par une teinte de points surlafîg. 17, combien dans ce cas on pourra réduire le volume de pierre que l’on doit abattre.

140. Taille. — Quatrième méthode, pi. 5. Les données étant les mêmes que dans les trois exemples qui précèdent, on construira d’abord la section droite du berceau (fig, 3), le développement G"M"U" du cylindre d’intrados (fig. 7 ) et le développement G"N"V" de la partie d’extrados comprise entre la ligne de naissance C'N" et le plan P qui contient la face intérieure du mur de tête. Puis on complétera (fig.^) les projections horizontales des pierres que l’on voudra tailler.

Gela étant fait, on construira (fig. 2 ) la projection de la voûte sur le plan vertical P^ parallèle au plan P^ des têtes.

Gette projection sera facilement obtenue en élevant par

chacun des points essentiels de la fig. 5 une perpendiculaire au plan et portant sur cette perpendiculaire à compter de Pg une distance égale à la hauteur de la projection du point correspondant au dessus de P^ (^gf. 3).

De sorte, par exemple, que la hauteur du point m audessus de l’horizontale ( fig. ^2) soit égale à la hauteur de m au-dessus de P^( fig. 3 ).

Que la hauteur du point g au-dessus de Pg ( fig. 2 ) soit égale à la hauteur de q au-dessus de^P^ ifiO- ^ )•

Et ainsi de suite pour tous les autres points pour lesquels la trace des opérations n’a pas été conservée sur l’épure.

Il sera très-essentiel, comme on le verra bientôt, de projeter sur la fig. 2 les génératrices horizontales des deux cylindres de douelle et d’extrados.

Les génératrices du cylindre d’intrados sont exprimées sur la fig. 7 par des points allongés , et les génératrices de l’extrados par des points ronds.

Ces dernières lignes n’ont pas été conservées sur les figures 2 et 5 ; sur la fig. 2, on n’a conservé que ce qui est utile pour expliquer les opérations.

L’ordre des génératrices à partir du plan de naissance est indiqué sur toutes les figures par les mêmes numéros pour les deux cylindres.

141. L’étude actuelle a pour but d’extraire le voussoir d’un bloc compris (fig. 2 ) entre deux plans parallèles P^ et Pg perpendiculaires au plan vertical P^ qui forme la tête du pont.

Ces deux plans, aussi rapprochés du voussoir qu’il sera possible, comprendront entre eux une tranche solide que l’on projettera sur l’un des deux plans P^^ ou Pg ou enfin sur tout autre plan, tel que P^ qui leur serait parallèle.

Cette projection auxiliaire, rabattue fig. 4 sur le plan P.

en tournant autour de l’horizontale projetante du point X, détermine les limites de la courbe plane qui doit contenir la pierre que Ton veut tailler.

142. Les plans parallèles et Pg (fio- 2) coupent les deux cylindres concentriques de douelle et d’extrados, suivant quatre ellipses semblables, égales deux à deux, que l’on peut construire très-facilement.

Ainsi, les génératrices du cylindre d’intrados seront coupées par le plan P^ suivant des points 1, 2, 3, 4, qui, projetés sur le plan P^ et rabattus sur le plan horizontal P.^ détermineront {fig. 4) la projection de l’ellipse 43-51 suivant laquelle le plan P^^ coupe le cylindre d’intrados.

Il est évident qu’en opérant de la meme manière , on obtiendra autant de points que l’on voudra sur chacune des ellipses suivant lesquels les deux cylindres sont coupés par les plans inclinés Pg P^ P^ ou Pg etc.

Dans ce cas , il serait utile de projeter toutes ces ellipses sur la fig. 5 , mais , pour ne pas encombrer l’épure, on n’a conservé que les sections du cylindre d’intrados par les plans P^ et Pg

143. Lorsque la projection auxiliaire rabattue 4) sera complète , ii sera facile de tailler la pierre correspondante.

Ainsi, on commencera par équarrir un bloc dont une face EFGH ( fig. 4 ) sera le plus petit rectangle circonscrit h la projection de la courbe plane projetée fig. 4 , et dont l’épaisseur sera égale à la distance des deux plans parallèles P^ et Pg (/^g. 2 ).

On appliquera les deux panneaux 12-46-6-49-51-43 et 16-45-47-48-50-44 sur les faces correspondantes du parallélipipède rectangle, on taillera les deux plans 48-51 et 47-45, qui forment les faces extérieure et intérieure du

mur de tête , et Ton tracera sur ces plans les panneaux correspondants 48-49-51-50 et 48-49-46-45 de lafig. 2. Les points de repère conservés et numérotés sur les contours de tous ces panneaux, détermineront les positions diverses de la règle génératrice des deux surfaces cylindriques de douelle et d’extrados.

• Lorsque ces surfaces seront taillées on découpera sur la fi g. 7 les deux panneaux de développement axmn, azse , et l’on appliquera chacun de ces panneaux sur la surface cylindrique correspondante.

On appliquera le panneau de tête vvmmiu de la fig. 2 sur la face verticale 48-51 4), et le panneau de

la fig. 2 sur la face intérieure 45-47 du mur de tête Çfig. 4).

On appliquera le panneau vseu de la fig. 5 sur la face ‘ horizontale 48-49 du voussoir (fig* 2). j On taillera les deux petits cylindres verticaux qui ont J pour directrices les courbes vs, eu du panneau vseu (fig. 5), j et l’on appliquera sur chacun de ces cylindres leurs patrons de développements vsvs et ueue qui seront donnés j par la fig. 3 , en opérant comme nous l’avons dit au n° 137.

Cela étant fait, il ne restera plus qu’à tailleries surfaces de joint, et la pierre sera terminée après avoir pris succes- I sivement les formes indiquées en perspective par les fi- I gures 2, 7 et 9 de la planche 6.

144. Le voussoir ou claveau courant désigné par B, B', B'' et B^^' sur les fig. 5, 2, 3 et 6, PL 5, pourra être taillé par la même méthode. Ainsi, la fig. 6 est la projection de ! la tranche solide ou courbe plane comprise entre les deux plans Pg et P^ parallèles et tangents , ou à peu près , au voussoir que l’on veut tailler.

Cette projection , sur le plan P^^ rabattu sur le plan P^ en tournant^ autour de l’horizontale projetante du ' point K , se construira exactement comme la fig. 4.

145, La tranche on courbe plane projetée fig. 6, est limitée parles deux parallélogrammes cwhp et TLIr.

La première de ces deux figures a pour côtés les lignes de naissance cw et ph des deux cylindres , et les traces horizontales cp et wh des deux plans et Le parallélogramme rTLI est situé dans le plan qui contient le point r et Taxe commun des deux cylindres de douelle et d’extrados .

Les côtés rl, TL de ce dernier parallélogramme sont les intersections des deux plans P^ et P^ par le plan P^^^ Çfig. 3) et les côtés rT, IL sont les génératrices suivant lesquelles ce même plan P^^ coupe les deux surfaces cylindriques de douelle et d’extrados.

On pourrait diminuer un peu le volume du parallélipipède capable en projetant sur la fig. 6 les parties ca!z'-7 et 8-9 -r -11 de surfaces hélicoïdes entre lesquelles la pierre se trouve comprise (fig- 2 ) ; mais cette opération qui augmenterait le travail graphique d’une manière sensible ne produirait pas une économie de pierre aussi grande que la méthode indiquée au n° 127.

146. Le voLissoir BB' ne contenant pas la partie d’assise (jui appartient au mur de tête , les deux plans parallèles Pg et Pg (fig. 2 ) sont plus inclinés que les plans P^ et P^ ce qui diminue un peu l’espace compris entre les premiers plans.

Mais, dans la pratique , on pourra souvent faire tous les plans Pj. P^^ P^ P^ etc. , parallèles entre eux , de sorte que chacun des deux cylindres de douelle et d’extrados sera coupé par ces plans, suivant une série d’ellipses égales et parallèles. Ce qui simplifiera beaucoup le travail graphique puisqu’un seul patron elliptique tracé et découpé avec soin pourra servir de pistolet pour tracer toutes les sections de l’intrados par les plans coupants ; tandis qu’un

second patron suffira également pour tracer toutes les sections de l’extrados par les memes plans.

147. On remarquera encore que, dans le cas où les deux surfaces d’intrados et d’extrados sont formées par des cylindres concentriques , les sections elliptiques de l’intrados seront semblables aux sections de l’extrados, ce qui donnera lieu à un grand nombre de vérifications.

148. Lorsqu’on aura équarri le bloc rectangulaire qui doit contenir la courbe plane projetée fig. 6, on tracera le contour des panneaux cpTL et whrl sur les faces correspondantes , et l’on taillera les deux surfaces cylindriques de douelle et d’extrados sur lesquelles on appliquera les patrons de développement axor, czqy {fig. 7 ).

Toutes les coupes seront alors tracées , et l’on taillera les surfaces de joint en opérant comme dans tous les exemples précédents.

149. Nous avons supposé au n® 142 que les ellipses qui forment les arêtes des courbes planes dont les projections sont rabattues (fig. 4 et 6) avaient été construites en déterminant un à un chaque point de ces courbes. Cette manière d’opérer est conforme à ce qui se passe ordinairement dans les chantiers de construction , parce que la nécessité de tracer l’épure à l’échelle d’exécution ne permet pas toujours de donner aux détails du travail graphique tous les développements nécessaires. Mais , il ne doit pas en être de même dans u^ épure d’étude, sur laquelle on doit indiquer tout ce qui , en complétant la pensée , contribue en même temps à augmenter l’exactitude du résultat.

Or, si l’on projette une partie de courbe , on appréciera beaucoup mieux le sens et les variations de sa courbure lorsque l’on en connaîtra les propriétés géométriques; et ces

propriétés deviendront encore plus évidentes si Ton a la place nécessaire pour tracer la courbe entièrement. Ainsi, par exemple , lorsqu’il s’agit d’un arc d’ellipse , la construction delà courbe entière fera presque toujours reconnaître et permettra de rectifier la position des points dont la position ne serait pas déterminée avec une exactitude suffisante.

Il sera donc beaucoup plus exact de tracer d’abord chaque ellipse par ses propriétés géométriques , ce qui n’empêchera pas de vérifier ensuite la position des points de repères en opérant pour chacun d’eux , comme nous l’avons dit au n” 142.

C’est pourquoi je crois utile, non-seulement pour l’épure actuelle , mais encore pour d’autres cas qui pourront se présenter par la suite, de rappeler quelques-uns des moyens les plus simples et les plus exacts de tracer les ellipses.

150. PvefïiièTe huéthode. — Goiistmction des ellipses par leurs diamètres conjugués. J’ai dit au n° 88 de l’introduction au traité de la coupe de pierres, ce que l’on entend par diamètres conjugués , et j’ai donné au n® 89 le moyen de construire l’ellipse lorsque ces diamètres sont connus.

Or, si nous supposons que le cylindre circulaire qui forme l’extrados du berceau soit inscrit dans un prisme quadrangulaire ayant pour section droite le quarré circonscrit à la circonférence 0-5 de la fig. 3 , les sections de ce prisme par les deux plans et Pg de la fig. 2 , seront deux parallélogrammes égaux et parallèles , projetés sur le plan P^ rabattu fig. 4 , par les parallélogrammes 12t13- 15-14 et 16-17-19-18 que l’on obtiendra en opérant, comme nous l’avons dit au n® 142.

Les faces du prisme qui a pour section droite le quarré circonscrit au cercle 0-5 de la fig. 3 seront tangentes au

cylindre d’extrados , et les côtés 12-14 et 14-15 du parallélogramme 12-13-15-14 seront par conséquent tangents à la section elliptique 12-15 du cylindre d’extrados par les plans de la fig. 2.

Les rayons 12-13 et 13-15 de l’ellipse 12-15 (fig. 4) seront conjugués, puisqu’ils sont parallèles aux tangentes 15-14 , 14-12, et Ton pourra construire l’ellipse 12-15 par la méthode indiquée au n° 89 de l’introduction au Traité delà coupe des pierres.

1 II est évident que toutes les autres ellipses pourront être j construites de la même manière.

I 151 . Deuxième méthode. — Trouver les axes d’une ellipse lorsqu’on connaît ses diamètres conjug^ués. On

! sait que la construction d’une ellipse par ses axes est heau- I coup plus simple , et , par conséquent , plus exacte que la , construction par les diamètres conj ugués . Or , ces dernières I lignes étant connues , il est facile de trouver les axes.

I Pour y parvenir, on emploiera la construction suivante i dont on trouvera la démonstration dans les traités d’application d’algèhre, ou au n° 514 de mon recueil d’exercices et questions diverses.

j l“«™»Le quadrilatère 12-14-20-21 (fig. 4) étant le ; demi-parallélogramme conjugué de l’ellipse qu’il s'a-

' git de construire, on fera décrire au point 12 un

quart de circonférence jusqu’à ce que le rayon 13-12 soit venu prendre la position 13-22 perpendiculaire sur 13-12.

2® i— i* On tracera la droite 15-22 dont on déterminera le milieu m.

3® mmÊÊm On ramènera le point 22 en 23 et le point 15 en I 24, par deux arcs de cercle^ décrits du point m comme

centre.