On sait (^Statique) que si une force verticale F (fig

PL. I

agit sur un plan incliné co, elle se décomposera en deux autres forces et la première F^ perpendiculaire au plan sur lequel agit la pression , et la seconde F^ qui agit horizontalement, et tend par conséquent à faire reculer le corps auquel appartient la face inclinée, dans la direction indiquée par la flèche u.

5. H résulte évidemment de là, que dans un pont biais qui serait appareillé comme un cylindre ordinaire, et dans lequel , par conséquent , les joints longitudinaux seraient formés par des plans normaux contenant l’axe du cylindre, comme cela est indiqué sur la fîg. 8 ; les voussoirs des assises supérieures, agissant comme des coins, tendraient à écarter les pieds-droits, et la résultante de toutes les pressions coïncidant avec la verticale du point O (fig. 13) se décomposerait en deux forces latérales F^ qui , agissant dans une direction perpendiculaire aux faces des murs ou pieds-droits qui supportent la voûte, tendraient évidemment à renverser les deux angles aigus M et N.

C’est là ce que l’on nomme poussée au vide.

6. Avant l’invention des chemins de fer, on avait déjà étudié la question, et l’on trouvera dans le Traité de géométrie de Hachette deux manières différentes de la résoudre.

Quoique j’aie donné ces deux épures aux n®® 365 et 485 de mon Traité de coupe des pierres, je les reproduirai ici , afin de rassembler sous les yeux du lecteur tous les éléments de la question très-composée que nous nous proposons d’étudier.

Les deux méthodes dent il s’agit, consistent à remplacer les plans normaux qui forment les joints continus du berceau cylindrique projeté sur les fig. 8, 10 et 11 par des plans qui se coupent (fig, 2 et 3, 14 et 15), suivant

une droite do' menée par le centre o de la voûte , perpendiculairement à la longueur AB du massif dans lequel on veut percer le passage dont il s’agit.

7. Ainsi, par exemple, si le pont est destiné à une route qui doit passer au-dessous d’un chemin de fer, il faut que la droite do', intersection commune de tous les plans de joints, soit perpendiculaire à l’axe AB du remblai sur lequel existe le chemin au-dessous duquel doit passer la route.

8. La solution précédente satisfait évidemment à la condition principale du problème , puisque les forces latérales provenant de la pression des voussoirs sur les plans qui forment les joints continus ou lits d’assises, se composeront dans un plan perpendiculaire à la droite do' et parallèle par conséquent à la direction AB suivant lequel le remblai ou massif, traversé par le pont, oppose la plus grande résistance.

9. Les deux méthodes que nous venons de rappeler, ne diffèrent entre elles que par des détails secondaires.

En effet, dans la première solution (fig. 2 et 3), la surface de douelle du berceau est un cylindre qui pourrait être circulaire, mais que dans l’épure actuelle on a fait elliptique afin que les têtes m'n' , a'd du berceau soient des demi-circonférences.

Les arêtes de douelle correspondant aux joints des lits sont des arcs d’ellipses dont on obtiendra facilement les projections horizontales , en abaissant des perpendiculaires par les points suivant lesquels les demi-cercles qui forment les joints discontinus situés dans les pjans P P^ et P^ fig. 3 sont coupés par les plans P^ P^ et P^ fig. 2 qui contiennent les joints continus ou lits d’assises,

PL. I

La fig. 4, qui est le développpement de la moitié de la voûte , se construira par le moyen connu ; ainsi les quatre parties de Tare d’ellipse mV (fig. 5) étant portées de m" en u" (fîg. 4), on construira la génératrice de chaque point, et l’on ramènera sur chacune de ces lignes tous les points correspondants de la projection horizontale (fig. 3).

10. Dans l’exemple qui est représenté sur les fig, 14 et 15, l’intrados du berceau n’est plus cylindrique ; la douelle est une surface réglée dont la génératrice, mobile avec le plan fig- 14) , s’appuie constamment sur les deux cercles verticaux m'n\ dé et sur la droite horizontale do\ qui contient le centre o du parallélogramme acnm.

Cette solution a pour but de simplifier la taille des voussoirs. En efi’et, dans l’exemple précédent, fig. 2 et 3, les génératrices de la surface cylindrique qui forme l’in' trados, étant des droites horizontales, parallèles à l’axe du berceau , ne pourront pas s’appuyer à la fois sur les deux arcs de tête rs et zx d’une même pierre, ce qui exigera par conséquent la construction des panneaux de joints latéraux dont les arcs rz et xs compléteront le contour de la douelle, et les courbes directrices de cette surface : tandis que dans l’exemple qui est représenté sur les fig. 14 et 15, les deux arcs de têtes r'é et xz' suffiront pour diriger le mouvement de la règle génératrice, toujours comprise entre les deux plans Pg et qui ont la droite do' pour trace horizontale commune ; de sorte qu’il suffira de marquer les points suivant lesquels les arcs r's' et x'z' sont coupés par les droites génératrices dont les projections verticales aboutissent toutes au point o^

La fig. 17 est une section du berceau par le plan vertical Pg perpendiculaire à son axe lih, et la fig. 16 est une coupe par le plan projetant de cet axe.

La courbure surbaissée de la ligne bsv fait voir qu’il

PL. I

existe au milieu de la voûte un gonflement ou bosse dont FelFet disgracieux rend cette solution peu susceptible d’être employée dans la pratique, et doit la faire reléguer parmi les exercices d’école,

11. D’ailleurs, les deux méthodes que nous venons d’indiquer comme moyens de détruire la poussée au vide , et de ramener les résultantes des pressions dans le plan vertical qui contient l’axe AB dit chemin, ont toutes deux l’inconvénient de couper les arcs de têtes a'c', m'r\! suivant des angles très-aigus. Ensuite les surfaces de joints ne sont perpendiculaires à la douelle que vers le centre de la voûte, et à partir de ce point les angles deviennent d’autant plus aigus, que le passage est plus long et plus incliné.

On ne pourrait remédier à ce défaut qu’en employant pour joints des surfaces normales, et dans ce cas, ]a poussée au vide ne serait plus détruite.

Cela confirme ce que j’ai déjà dit bien des fois, que dans l’appareil d’une voûte, on ne peut souvent éviter une irrégularité que par une autre, et qu’il faut, par conséquent, s’exercer à choisir dans chaque cas, le parti qui offre le moins d’inconvénients.

Malgré tout, j’ai cru devoir remettre les deux solutions précédentes sous les yetix du lecteur, afin d’abord de bien préciser le point où la question était parvenue au moment de l’invention des chemins de fer -, ensuite , parce que les principes que nous venons d’établir pourront dans certaines circonstances que nous développerons plus tard, conduire à quelques applications utiles.

12. Appareil hélicoïdal. — Indépendamment de l’acuité des angles suivant lesquels les plans de joints des deux voûtes projetées sûr les fîg. 2 et 14, rencontrent la douelle