Projection parallèle à l’axe de la voûte. — La

plupart des auteurs qui ont écrit sur les ponts hiai^ ont cru devoir construire une coupe complète du pont par le plan vertical projetant de l’axe ; mais cette projection [fig. 12) n’est utile que pour les voussoirs qui sont posés sur les coussinets, parce que ces voussoirs, presque parallèles aux faces delà pile, se projettent à peu près suivant leur plus grande dimension sur la projection auxiliaire dont nous venons de parler, ce qui permet d’apprécier plus facilement la longueur du plus petit parallélipipède capable.

La projection, fig. 12, devient inutile pour les voussoirs des assises supérieures, dont la position, très-oblique par rapporta la direction du berceau, détermine une grande difïérence entre les véritables dimensions de la pierre et sa projection sur le plan de coupe longitudinale.

C’est pourquoi, dans l’épure actuelle, on n’a projeté

PONTS BiAlS.

sur la fig, 12 c[ue les pierres cfui se posent immédialement sur les coussinets.

Cette projection ne présente aucune dilFiculté à construire.

En effet, pour les hélices qui forment les arêtes de la douelle, on élèvera une perpendiculaire par chaque point de la projection horizontale (fig. 13), et la 'hauteur de ce point au-dessus de la ligne de naissance sera égale à Fordonnée de sa projection sur la circonférence 0-8 de la section droite (fig. 23).

Les courbes telles que 0-17, suivant lesquelles les joints de lit hélicoïdaux sont coupés par le plan vertical (fig. 23), s’obtiendront en opérant comme nous l’avons dit aux n®* 82 et 83.

I Ainsi les génératrices du joint de lit correspondant à î l’arête d’intrados (fig. 12) sont coupées par le plan

, vertical suivant une suite de points dont les hauteurs seront déterminées sur la trace du plan P^ (fig. 23), par la rencontre de cette trace avec les projections des mêmes || génératrices.

j Les courbes 0-24-27-17 (fig. 12), suivant lesquelles le I plan P^ coupe les surfaces hélicoïdes qui forment les joints j • transversaux, se construiront de la même manière.

! 195. Taille des voussoirs. — Si le lecteur a bien com-

j pris tout ce que nous avons dit précédemment, s’il a taillé I chacun des voussoirs qui font le sujet des planches 3, 4, j 5 et 6, il n’éprouvera aucune difficulté pour exécuter j toutes les parties du pont qui est projeté sur la planche 7.

196. Coussinets. — Nous avons déjà fait remarquer que la méthode la plus convenable pour tailler chaque voussoir dépendait de la position plus ou moins inclinée

de ce voussoir dans l’espace. Ainsi les coussinets XVI et les pierres XVIT de la première assise (fig. 12) étant presque parallèles à la direction du berceau, seront préparés sur la section droite (fig. 23) ou sur la projection (fig. 12).

Si l’on veut, par exemple, tailler le coussinet qui est représenté en perspective sur la fig. 22, on équarrira un parallélipipède dont une face verticale pourra contenir le panneau 20-9-1-1-0-28-28-20 (fig. 23).

La longueur de ce parallélipipède sera égale à la distance des deux plans Pj. et Pg (fig. 13).

Si l’on veut tailler plusieurs coussinets dans une seule pierre, on lui donnera la longueur convenable, ce qui ne changera rien à la manière d’opérer.

Le contour du panneau 20-1-28 de la fig. 23 déterminera le cylindre de douelle 0-1 et le plan vertical P^

On appliquera le panneau XVI de la fig. 14 sur le cylindre de douelle, et les courbes 0-24 de la fig. 12 sur les faces verticales taillées à cet effet dans le plan P^

11 est bien entendu que l’on marquera sur les contours de ces courbes les points nécessaires pour déterminer les positions successives de la génératrice des joints hélicoïdaux, que l’on taillera comme dans tous les exemples qui précèdent. ;

197. Pierre. XVII (fig. 5). — On peut tailler cette pierre de trois manières que nous allons successivement indiquer.

198. Première méthode. — On équarrira le parallélipipède qui aurait pour l’une de ses faces le rectangle aaaa circonscrit à la projection du voussoir sur le plan de la section droite (/ïgf. 23).

La longueur de ce parallélipipède sera égale (fig. 1 3 et 1 2) à la distance des deux plans verticaux et parallèles P^etP^

qui comprennent entre eux la pierre que l’on veut tailler.

Le panneau a-O-19-ll-a de la fig. 23 étant appliqué sur les faces formées par les deux plans et déterminera le plan P^ les deux faces horizontales a-11, 9-26, et le cylindre circulaire 0-19 formant la douelle du voussoir.

Lorsque cette surface cylindrique sera taillée, on y appliquera le panneau de développement XVII de la douelle correspondante (fig. 14), en faisant coïncider avec exactitude les points suivant lesquels le contour de ce panneau est coupé par les génératrices du cylindre.

Gela étant fait, on taillera dans le planP^ les faces destinées à recevoir les quatre courbes 24-17, 17-27, 27-0 et 0-24 ; on aura ainsi les directrices des quatre surfaces réglées hélicoïdes qui doivent former les joints de lit et les joints transversaux du voussoir, et l’on taillera ces ' joints comme à l’ordinaire, en faisant passer la règle génératrice parles points de repère marqués avec beaucoup d’exactitude sur les contours de tous ces panneaux.

Enfin, on taillera la face verticale a-26 (fig. 23), la face horizontale 9-26, et les surfaces réglées 24-27-24-27 (fig. 5 et 12).

Ces surfaces sont perpendiculaires au plan P^^ et, par suite de leur peu de courbure, on pourra souvent les I remplacer par des plans, ce qui revient à remplacer par des i droites les courbes 27-24 de la fier. 12.

199. Deuxième méthode. — On peut déduire le vous- ' soir XVII 5 et 12) d’un parallélipipède qui aurait I pour l’une de ses faces le rectangle efgh circonscrit à la I projection de la pierre sur le plan de la fig. 12, et pour ! épaisseur la distance du point 19 au plan vertical a-26-a I (fig. 23). Dans ce cas, on ne peut plus prendre la section I droite pour directrice de la surface cylindrique de la douelle

POINTS BUIS

et Ton devra cons I ruire les courbes elliptiques suivant lesquelles ce cylindre est coupé par les faces du paralîélipipède enveloppe.

Pour faire comprendre plus facilement cette partie de l’opération, nous supposerons que l’on a fait glisser ce parallélipipède suivant la direction du berceau jusqu’à ce qu’il soit venu prendre la position indiquée par la fîg. 1 .

Si l’on projette sur les fig. 1 et 3 les génératrices 1-1, 2-2, 3-3, du cylindre d’intrados, il sera facile d’obtenir les points suivant lesquels ces droites percent les faces gh, gf et he du solide efgh.

La douelle du voussoir ne s’élevant pas au-dessus du point 19, il est inutile de construire l’intersection du cylindre d’intrados par la face ef du parallélipipède.

Les trois courbes demandées sont rabattues (fig. 3) sur le plan horizontal qui contient le point g'g" . *

Pour rabattre ces courbes sur la seule partie de l’épure qui était disponible, on a supposé :

1" wK^m Que la face gh tournant autour de l’horizontale projetante du point g était rabattue sur la face gf;

2® wBmm Que ces deux faces ainsi superposées avaient glissé parallèlement à elles-mêmes jusqu’à ce qu’elles soient venues s’appliquer sur le plan g'e;

3® aMn Puis enfin, que les trois faces he, gf et gh^ ainsi ramenées dans le plan g'e, tournaient ensemble autour de la droite g' g" pour se rabattre sur le plan horizontal (fig. 3) .

Par suite de ce triple mouvement, la face he du parallélipipède 1) devient h'h'e'e' (fig. 3), la face gf devient g"g"f"f" ) et la face gh devient g" g" h" h”,

La courbe o"h'" (fig. 3) appartient à l’ellipse suivant laquelle le cylindre d’intrados est coupé par le plan gh (fig. 1), la courbe o'-l9' est la section par le plan gf et la courbe est la section par le plan he.

PL. é.

Ces deux dernières courbes coïncident dans une partie de leur étendue, parce qu’elles sont égales, comme sections d’un meme cylindre par les deux plans parallèles gf, he; d’où il résulte qu’en ramenant l’une des courbes sur l’autre, par le mouvement horizontal de la face gf, les points situés sur les mêmes génératrices doivent coïncider.

Il ne faudra pas oublier de vérifier bien exactement, et de numéroter la position de ces points sur les trois courbes; leur position devant déterminer le mouvement de la règle génératrice du cylindre d’intrados.

Dans une épure d’étude, les ellipses o'-19', o"-19" (fig. 3), pourraient facilement être construites parleurs axes ; mais dans la pratique on n’aurait pas la place nécessaire, et l’on devra déterminer chaque point par sa distance à la charnière du rabattement g'g" .

Lorsqu’on aura construit les trois panneaux de la fîg. 3, on appliquera chacun d’eux sur la face correspondante du parallélipipède enveloppe efgh [fig. 12), et les arcs d’ellipses o'-19', /i"-19', et o"h'" seront les directrices du cylindre d’intrados sur lequel on appliquera le panneau de douelle XVII de la fig. 14.

On taillera ensuite les plans horizontaux 17-17, 30-30 {fig. 12) et les faces verticales triangulaires 31-27-17, 30- 24-29, 28-24-30 et 28-0-29 situées dans le plan Puis on opérera pour le reste comme nous l’avons dit au n® 198.

200. Troisième méthode. — On peut déduire le même voussoir d’un parallélipipède qui aurait pour l’une de ses faces le rectangle pppp (fig. 12), et dont l’épaisseur serait la même que précédemment.

Dans ce cas, il faudrait construire les ellipses suivant lesquelles le cylindre d’intrados est coupé par les quatre faces du parallélipipède p-p, et tout le reste comme cidessus.

201. La taille sur la section droite est la plus simple des trois méthodes que nous venons d’indiquer, puisqu’elle n’exige pas la construction des courbes elliptiques suivant lesquelles le cylindre d’intrados est coupé parles faces du parallélipipède incliné.

Or, la méthode la plus simple étant toujours celle qui donne les résultats les plus exacts, il est évident que pour y renoncer il faut qu’il y ait une économie évidente de temps ou de matériaux. Il est donc utile de reconnaître, dans chaque cas, si cette économie est assez grande pour compenser les inconvénients d’une construction moins exacte. Or, dans le cas actuel, les prismes exigés par chacune des trois méthodes ayant la même épaisseur, leurs volumes seront entre eux comme les faces parallèles au plan P,,

Mais si l’on emploie le parallélipipède aaaa {fig. 23), la face qui est parallèle au plan aura pour hauteur aa = 70 millimètres ^ et sa longueur sera la distance 72 des deux plans verticaux et Pg {fig, 13), ce qui donne pour surface 70 X 72 = 5040 millimètres quarrés.

Le rectangle efgJi (fig. 12) a pour surface gfy^ef^ 93x54 = 5022.

Enfin la surface du rectangle p-p serait 95 X 53=5035.

Les trois blocs sont donc entre eux comme les nombres 5040, 5022, 5035, et par conséquent à peu près égaux.

Ainsi, pour cette pierre, la taille préparée sur la section droite est beaucoup plus simple, puisque, à égalité de matière, elle n’exige ni projection auxiliaire, ni rabattement de panneaux ; et l’on ne doit regarder les deux autres méthodes que comme des exercices qui pourront être appliqués avec avantage dans d’autres circonstances.

202. La pierre XïV pourrait, comme la précédente, être déduite d’un prisme incliné dont une face serait si-

tuée dans le plan qui contient les points 30 et 32 (fig- 12), mais la grande longueur de la pierre et son épaisseur, égale à la distance du point 31 au plan rendraient nulle l’économie de pierre que l’on aurait chercbé à obtenir par cette méthode. D’ailleurs, à cause du renfort et de la corne de vache, les opérations graphiques seraient beaucoup plus composées que pour la taille sur la section droite qui, par conséquent, conviendra le mieux dans le cas actuel.

Ainsi, on équarrira le parallélipipède enveloppe compris entre les deux plans verticaux Pg et P^^ {fig- 12), on tracera la section droite 0-19 de la fig. 23, sur les faces verticales situées dans les plans Pg et P^^ et l’on taillera la douelle , sur laquelle on appliquera le panneau de développement 0-10-11-66 de la fig. 14.

On taillera le plan P de la face de tête, sur laquelle on tracera le panneau de tête XIV (fig. 11), l’arc 10-11 du panneau 0-1 0-1 1-56, et l’arc 10-1 1 de l’ellipse 1 1),

seront les (leux directrices de la corne de vache que l’on taillera en établissant, si l’on veut, une génératrice intermédiaire dont la direction pourra être déterminée par sa projection 33-33 sur le plan de la fig. 11.

On taillera les plans de joint 10-10, 11-11 (fig. 11) perpendiculaires à la face de tête, et l’on appliquera sur ces plans les deux panneaux correspondants rabattus en vraie grandeur sur la fig. 9.

Les courbes 0- 24 et 24-D' tracées dans le plan P^ (fig . 1 2) et les arêtes de douelle du panneau 0-10-11-56 (fig. 14) seront les directrices des surfaces hélicoïdes du voussoir.

Enfin, on taillera les plans verticaux et les surfaces perpendiculaires au plan P^ en opérant comme nous l’avons dit au n° 198.