IL

etIEN, rapportées au rayon El pris pour unité. Maintenant, après avoir fixé la distance à laquelle il est convenable d’appliquer les règles, on trouvera la différence de largeur des deux extrémités de la règle gauche ainsi qu’il suit : en nous reportant encore à la figure 3. Soit l la distance sur la douelle EK à laquelle elles doivent être appliquées l’une de l’autre , soit l’angle KEN == S ; alors l tang. S sera la quantité dont la largeur d’une extrémité de la règle gauche excède celle de l’autre , la longueur de cette règle étant égale à e ou à la hauteur du voussoir, 7ii plus ni moins.

» Ces règles sont représentées parles figures 10 et 11. La fig. 10 donne la règle à côtés parallèles, la fig. 1 1 la règle à côtés divergents. Leurs longueurs, AB, fig. 10, et A’B', 11, doivent être égales à e,

la hauteur du voussoir. Les largeurs AG, BD, fig. 9, et A'E, fig, 11, doivent être égales entre elles ; c’est ordinairement trois pouces anglais, et l’autre extrémité de la règle divergente B'G, fig. 11, doit être augmentée de la quantité OG == l tang. 8.

» Ces règles étant appliquées sur le lit de la pierre en mettant les extrémités d’égale largeur à la distance l mesurée sur le joint continu de l’intrados EK, fig, 3, la distance sur la ligne extradossale entre les deux autres bouts inégaux, coïncidant avec l’extrados, devra excéder l dans le rapport de EN à EK. L’angle définitif de l’intrados étant 6 et l’angle correspondant de l’extrados <p, si nous nommons h la distance qui sépare sur l’extrados les deux bouts inégaux des règles, on a :

, , séc. cp l cos. 0

sec. 6 cos. ip*

» La fig. 1 fait voir les règles appliquées sur le lit de la pierre , dont RENE est le joint à surface gauche ; AB est la règle parallèle , et A'B' la règle divergente , la distance entre les deux extrémités A et A' sur la douelle est l, et la distance entre les extrémités B et B' est h, calculée par la formule que nous venons de donner.

» Afin que les ouvriers ne puissent se tromper dans l’application des règles à la distance voulue, comme aussi pour éviter la sujétion de mesurer les intervalles extrêmes AA', BB', on les assemble quand on veut s’en servir, par deux petites tiges de fer MM, NN, fixées chacune à demeure par l’une des extrémités à chacune des règles, tandis que l’autre bout de ces tiges porte un crochet qui est reçu à l’autre extrémité de chaque règle par un œil disposé à cet effet, de sorte que, ces baguettes ayant chacune la longueur voulue , les règles doivent nécessairement être espacées convenablement quand on ajuste chaque

crochet dans l’œil qui doit le recevoir. La figure 7 repre'sente ces tiges. 11 est indispensable que ces dispositions soient bien comprises et exécutées avec le plus grand soin , sinon on ne parviendrait point à construire avec précision les voûtes d’une grande obliquité. Si les règles sont livrées aux ouvriers sans y avoir adapté les tiges qui fixent leur espacement , ils les appliqueront généralement parallèlement l’une à l’autre, et cela rendra évidemment le gauche du joint plus grand qu*il ne doit être ; on ne pourra plus mettre les voussoirs à leur place sans abattre les angles des lits, et alors la pression ne sera plus également répartie.»

225. Avant d’aller plus loin, je crois devoir adresser quelques reproches à la méthode précédente. Ainsi, M. Buck paraît comprendre toutes les surfaces gauches dans une meme définition , et suppose par conséquent qu’elles doivent toutes être taillées de la même manière, mais en rappelant qu’une surface gauche, en général^ est une surface réglée qui n'est pas développable. Il ne s’ensuit pas que toutes les surfaces gauches peuvent être remplacées par des paraboloïdes hyperboliques , et si M, Buck a pu faire cette substitution sans inconvénient, cela vient de ce que, dans le cas actuel , il y a très-peu de difïérence entre les deux surfaces ; mais on commettrait une erreu'r trèsgrave si l’on croyait pouvoir toujours en agir ainsi.

226. Il est souvent permis, il est même quelquefois nécessaire de remplacer les surfaces de joint indiquées par la théorie, par d’autres surfaces qui en diffèrent peu et qui ne présentent pas les mêmes difficultés d’exécution ; mais alors il faut que les faces suivant lesquelles des pierres adjacentes doivent être appliquées l’une contre l’autre soient taillées avec les mêmes directrices, et c’est ce qui n’a pas lieu dans les circonstances présentes.

Pour diminuer cette irrégularité , M. de la Gournerie voudrait que M. Buck eut employé une troisième direc-

trice commune aux deux surfaces, ce qui aurait transformé le paraboloïde en hyperboloïde à une nappe. Or cette troisième directrice a échappé à l’attention de M. de la Gournerie , mais elle existe réellement.

En effet , le berceau étant circulaire , comme dans tous les exemples qui précèdent , la face de joint d’un Youssoir sera un quadrilatère ayant pour côtés les normales aux extrémités de l’arête d’intrados , et les deux arcs d’hélice qui forment les arêtes de douelle et d’extrados.

Supposons actuellement (fig. 15), comme nous l’avons dit au n® 158, que l’on fasse tourner la voûte autour de son axe jusqu’à ce que le centre oo' du quadrilatère qui forme la face de joint soit venu se placer dans le plan vertical qui contient l’axe du berceau.

Les deux projections de la face de joint seront alors mnvu, m'n'v'u'; remplaçons les deux arcs d’hélice par leurs cordes mn , Pit , la face de joint hélicoïdal sera transformée en un hyperboloïde à une nappe dont les trois directrices seront la corde mn , m'n' , la corde vu , v'u', et Taxe horizontal cc' du berceau.

Les deux surfaces se couperont suivant la génératrice commune xx' , qui deviendra l’une des trois directrices de la seconde génération de l’hyperholoïde , et la faible différence qui existera dans l’étendue d’un voussoir , entre cette surface et le joint hélicoïdal indiqué par la théorie sera rendue insignifiante par l’épaisseur de la couche de mortier qui doit séparer les deux voussoirs.

227. On peut contester l’avantage qu’il y aurait à remplacer la surface réglée hélicoïde qui forme le joint continu du voussoir par un hyperboloïde à une nappe qui serait beaucoup plus difficile à tailler ; mais l’axe cd du berceau, et les deux cordes mn,m'n\ vu,v'u\ étant horizontales , il s’ensuit que les trois directrices de l’hyperholoïde

sont parallèles à un même d’où il résulte (Géom.

descript.) que la surface réglée que l’on obtiendra sera un paraboldide hijperbolique.

De plus , si au lieu de prendre pour directrices de cette surface , l’axe cc' du berceau et les deux cordes mn^m'n' et vu,v'u' J nous faisons mouvoir la génératrice en l’appuyant sur les normales mv,m'v' et nu,n'u' , le plan parallèle aux deux cordes mn,m'n' et vu,v'u' deviendra le plan directeur de cette seconde génération , et les génératrices parallèles à ce plan, partageront les directrices mn,m!n! et vu,v'u' en parties égales ou proportionnelles, ce qui permettra d’établir facilement sur ces droites les points nécessaires pour déterminer, au moment de la taille, les diverses positions de la règle génératrice,

228. En admettant, avec M. Buck, qu’il soit permis en pratique de remplacer le joint réglé hélicoïdal du voussoir par un paraboloïde hyperbolique , il nous restera encore à discuter les moyens par lesquels cet ingénieur parvient à tailler cette dernière surface.

229. Après avoir adopté pour directrices les côtés non parallèles de ses deux règles , il fait mouvoir la génératrice parallèlement à la douelle. Or cela est tout à fait impossible , car la douelle du berceau étant une surface cylindrique , une règle ne peut se mouvoir parallèlement à cettb surface qu’en restant constamment parallèle à son axe ou à sa génératrice , et dans ce cas , la surface engendrée serait elle-même cylindrique et ne pourrait jamais avoir pour directrices les côtés non situés dans un même plan des deux règles divergentes.

M. Buck a probablement voulu dire que la règle génératrice resterait parallèle à la face plane non encore entamée qui doit correspondre à la douelle du voussoir, ce qui

serait encore une erreur, puisque le plan directeur du paraboloïde doit être parallèle aux cordes des deux hélices de douelle et d’extrados du joint que l’on veut tailler, propriété qui n’appartient pas à la face LFMN du parallélipipède capable fig. 9.

230. M. Buck ne veut pas que les règles excèdent la hauteur en joint du voussoir; mais je crois qu’elles seraient plus commodes à manier si elles étaient un peu plus longues , et dans ce cas il sulErait d’indiquer bien exactement sur les faces de chaque règle (^fig. 1 et 5) la partie qui doit être noyée dans la pierre.

231. Si l’on remplace le joint réglé hélicoïdal par un paraboloïde hyperbolique , il faudrait au moins que les directrices de cette dernière surface fussent des normales à l’intrados du berceau. Or c’est ce qui n’a pas lieu dans la solution adoptée par M. Buck, car la formule l tang. par laquelle il exprime la divergence de la règle gauche, est fondée sur l’hypothèse que cette règle est située dans le plan KO perpendiculaire à l’hélice mtradossale EK (fig. 3),

tandis gue la formule h = ^ qu’il emploie pour

^ COS.cp ^ L i

calculer l’écartement , exprime la longueur de l’hélice extradossale EN, et suppose par conséquent que la règle divergente est située dans le plan de section droite KN.

Il résulte de là que si l’on suppose la règle gauche dans le plan de la section droite KN, la divergence ne sera pas assez grande ; et si , comme le fait M. Buck , on place cette règle dans le plan KO , perpendiculaire à l’hélice d’intrados , elle ne sera pas normale à la douelle.

232. Pour fixer la position relative de ses deux règles, M. Buck les attache l’une à l’autre par les deux tringles

parallèles MM,NN {fig-7). Mais on sait qu’un quadrilatère ne peut pas être déterminé uniquement par ses côtés , et que pour rendre sa forme invariable, il faut ajouter une diagonale ou une croix de Saint- André qui le décompose en triangles. Ainsi, les deux tringles de M, Buck ne peuvent pas remplir le but qu’il s’était proposé ; car il est évident qu’au lieu de placer les deux règles sur la pierre , de manière à former le quadrilatère MMNN [fig. 6) , rien ne s’oppose à ce qu’elles soient placées de manière à former le quadrilatère MMN'N', comme si elles avaient tourné «autour des points M et M; et si cela n’est jamais arrivé dans les travaux exécutés par M. Buck, il faut en attribuer le mérite au coup d’oeil et à l’intelligence de ses ouvriers beaucoup plus qu’à la présence de ses tringles, qui , avec les règles, ne sont autre chose qu’un quadrilatère articulé.

233. La surface du joint étant taillée par la méthode exposée au n“ 224 , voyons quels sont les moyens employés par M. Buck pour creuser la douelle.

« Pour y parvenir on doit construire un gaiarit , ainsi qu’il suit. Prenez deux panneaux A BD, comme le montre la figure 4, dans laquelle AC est le rayon du cylindre, DB son épaisseur ou la hauteur des voussoirs. La planche formant la base AB des panneaux sera taillée suivant la courbure de la voûte, elle aura une longueur suffisante; et les deux arêtes de cette planche iront se couper au centre du cylindre. Ces dispositions provisoires terminées, les deux panneaux d’abord appliqués exactement l’un contre l’autre, seront séparés, et l’on s’en servira pour construire un gabarit de la forme indiquée en perspective par la figure 13, dans lequel l’angle AGB devra être égal à l’angle IKE, fig. 3, qui est le complément de l’angle hélicoïdal de l’intrados. Les deux arêtes des faces BD et CE, fig. 13, du gabarit ainsi construit devront coïncider exactement avec la surface spirale de la pierre, lit que nous supposons avoir été préalablement taillé à l’aide des deux règles parallèles et divergentes. Plaçons maintenant la pierre, fig. 2 et 9, de manière que la douelle se trouve par-dessus, renversons le gabarit et appli-

quons les tringles ou échasses BD et GE sur la surface déjà taillée du joint ; faisons en même temps coïncider la lame flexible BG, fig, 2 et 9, avec l’arête de la douelle FN, fig. 2 ; enfin traçons sur la pierre une ligne suivant le côté AG, fig. 2, elle se trouvera nécessairement à angle droit sur Taxe du cylindre ; traçons de même une autre ligne suivant le côté AB, elle sera parallèle à l’axe du cylindre; enlevons le gabarit et pratiquons au moyen du ciseau une rainure sur la douelle suivant la ligne GA en l’approfondissant de manière à ce que le fond ait précisément la courbure de la pièce AG du gabarit ; ajustez de même sur la ligne AB qui est parfaitement droite, le eôté AB, de manière que lorsque les rainures ont atteint une profondeur convenable , le gabarit étant appliqué dessus, en ayant soin de faire coïncider les faces BD et GE sur le joint préalablement taillé , et la lame diagonale sur l’arête de la douelle FJN, les côtés AG et AB devront être exactement et semblablement en contact sur tous les points. Les pièces segmentales, chacune à peu près de la longueur de GA et ayant une courbure égale à celle du cercle du cylindre , comme les montre a figure 12, peuvent immédiatement s’appliquer, l’une sur le trait AG et l’autre sur une ligne GH, fig. 9, placée à une certaine distance parallèlement à AG. Ces pièces segmentales doivent avoir exactement les mêmes dimensions , et l’on trace sur leurs faces un trait marquant leur milieu, comme l’indique la figure 12,enü. Ainsi préparées, on peut les appliquer, l’une dans la rainure AC, en faisant coïncider le point U avec la ligne IK parallèle à AB, l’autre sur la ligne GH, parallèle à CA en faisant tomber aussi le point ü sur la ligne IK ; plus on pourra les éloigner, en satisfaisant aux conditions imposées, mieux ce sera. Le second segment devra alors être ajusté dans une rainure au ciseau, jusqu’à ce que le côté supérieur (celui en ligne droite) se trouve dans le même plan que le côté supérieur de l’autre segment placé dans la rainure AC. Ces préparatifs terminés, on enlèvera les parties excédantes de la pierre sur la douelle jusqu’à ce qu’une règle bien droite puisse s’appliquer dans toute sa longueur sur la douelle en s’appuyant sur les traits de ciseau parallèlement à AB ; quand on aura obtenu ce résultat, la douelle sera terminée. L’autre arête LM de la douelle devra être alors tracée et taillée parallèlement à FN, on retournera le gabarit, fig. 14, en appliquant les segments sur la douelle etl’on taillera l’autre joint de manière que les arêtes BD et CE puissent s’appliquer en même temps. On remarquera qu’ici nous procédons par une méthode inverse : au lieu d’obtenir la douelle en se dirigeant sur le joint, nous obtenons le joint en nous dirigeant sur la douelle, en faisant coïncider exactement le segment CA et le côté AB

avec la douelle, et la diagonale flexible avec l’arèteLM. Traçons maintenant des rainures au ciseau sur le second joint de la pierre jusqu’à ce que les côtés BD et CE du gabarit s’y appliquent exactement en même temps que les autres posent sur la douelle. Ces rainures détermineront la surface gauche de ce joint, de même que les rainures obtenues par les règles divergente et parallèle ont déterminé celle du premier joint, on en fera donc un usage absolument semblable pour la taille dudit joint.

» Les extrémités de tous les voussoirs, excepté ceux qui forment le parement de tête de la voûte, ont les arêtes FL et INM de la douelle, fig. là, carrément sur les arêtes correspondantes des joints continus et les bouts de la pierre, ordinairement appelés joints de tête, sont taillés suivant la direction des pièces BD et CE du gabarit, fig. 13. Les arêtes normales à la douelle, de ces deux joints, ayant été ainsi déterminées au moyen du gabarit, on taillera ces joints en appliquant une règle droite RS de l’une à l’autre et la tenant parallèle à FL ou ISM, ces joints auront ainsi une surface gauche telle que tous les voussoirs s’appliqueront exactement l’un contre l’autre quand on construira la voûte. »

234. Pour ne pas être accusé d’altérer l’ouvrage que nous discutons, j’ai dû copier dans le manuel les figures 2, 3, 4, 7, 10, 11, 12 et 13, apres m’étre assuré toutefois qu’elles étaient rigoureusement conformes à celles de l’ouvrage anglais.

Mais il est évident que plusieurs de ces figures ne sont pas exactes. Ainsi, par exemple, la figure 7, copiée fidèlement sur la figure 11 du manuel , ne peut être la projection de la pierre, car si l’on se rappelle que M. Buck donne à ses règles une longueur égale à la hauteur en joint du voussoir, ni plus ni moins , il est évident que la pierre dont les limites sont indiquées par une teinte FBEN, n’aurait pas l’étendue nécessaire pour contenir l’intrados et l’extrados du voussoir.

Je ferai le même reproche à la figure 2 , qui , dans le manuel , se réduit à l’espace indiqué ici par des hachures , c’est pourquoi j’ai tâché de compléter par des perspectives

(fig. 9, 14, 18, 19 et 20) ce qui ne m’a pas paru sufFisamment expliqué par les figures qui accompagnent l’ouvrage de M. Buck.

235. Quant a U gabarit employé par cet ingénieur 13), ce n’est évidemment autre chose qu’un double beuveau , qui serait plus exact qu’un beuveau simple, s’il ne présentait pas autant de difficultés d’exécution.

Car , il ne suffit pas que les deux beuveaux DBH , AGE soient conformes au modèle ABD de la figure 4 , il faut encore :

r' KHsa Que les longueurs des traverses AB , CH soient calculées avec assez d’exactitude pour que l’angle ABC soit bien rigoureusement égal à l’angle intradossal, ce qui n’est pas facile à obtenir, par suite de la courbure de l’aréte BUG.

2® wBmm II faut que les branches droites BD et GE du gabarit soient coupées en biseau , de manière que les faces mw, vu (fig. 16 et 17) coïncident avec la surface gauche du joint taillée précédemment.

3" mmoBa En théorie, l’aréte BUG de la courbe diagonale [fig. 13) devrait être un arc d’hélice , mais on peut le remplacer par l’ellipse, qui contient les trois points B, G, U de la douelle.

236. En efï’et , si l’on jette un coup d’œil sur la figure 8 , ou reconnaîtra facilement que vers le point d’inflexion U, suivant lequel le point le plus élevé d’une hélice se projette sur le plan horizontal, la courbure de la'projection est absolument insensible; que par conséquent , dans les limites d’un voussoir, la courbe peut être considérée comme plane et remplacée sans aucun inconvénient par la section elliptique y suivant laquelle le cylindre d’intrados serait coupé

par le plan vertical P, qui est tangent au point U du joint hélicoïdal .

Pour tailler Faréte BUC du gabarit (fig. 13), on rabattra le plan P (fig. 8), et l’on obtiendra cette courbe B"U"G" en vraie grandeur, en prenant sur la projection verticale la hauteur de chaque point au-dessus d’une horizontale quelconque A!7J et portant ces hauteurs au-dessus de A"Z" sur les perpendiculaires menées par les points correspondants de la projection horizontale, de sorte par exemple que m"m" soit égale à mW, et ainsi de suite.

La courbe BUG du gabarit devra être faite en bois mince ou en tôle assez flexible pour qu’elle puisse se transformer en hélice par l’effet du gauchissement qui résulte de ce que les deux branches BD, CE du gabarit ne sont pas dans un même plan.