Supposons que l’on veut obtenir J’un des claveaux

iU

courants du pont que nous ayons étudié sur la planche 7 , on disposera l’épure comme nous l’avons fait sur la planche 6, c’est-à-dire qu’après avoir choisi le claveau qui occupe le centre de la voûte, on construira (pL 9) la section droite (fig. 4), le développement (^flg. 5) et la projection horizontale du voussoir (^fig. 6).

Puis en opérant, comme nous l’avons dit aun® 236, on rabattra les deux arcs d’ellipse sx^ sz, suivant lesquels les faces du parallélipipède sont traversées par le cylindre d’intrados. Enfin on taillera bien exactement en zinc ou en tôle les deux segments sAiC, sAz (fig. 1 et 8).

243. Cela étant fait , on choisira un bloc grossièrement équarri , comme ils le sont ordinairement en arrivant sur le chantier, puis on placera en dessus la face correspondante à la doueile,

Quand cette face sera dressée, comme on le voit sur la figure 1^®, on tracera le rectangle ABAB, circonscrit à la projection horizontale du voussoir fig. 6.

On taillera perpendiculairement à la face supérieure, et, suivant les côtés du rectangle ABAB , quatre plumées suffisantes seulement, pour que l’on puisse y appliquer les segments sAx^ sAz des figures 7 et 8.

Ces deux segments suffiront en les retournant pour tracer les quatre arcs d’ellipse sx et sz , figures 1 et 2 , et les points de repère conservés sur les contours de ces courbes serviront à déterminer les positions successives de la règle génératrice du cylindre d’intrados.

244. Lorsque cette surface sera taillée , on y appliquera le panneau de doueile, m"n''m"n" de la figure 5 , et l’on tracera {fig. 2) les quatre arcs d’hélice qui forment le contour de la doueile mnmn.

Gela étant fait , on construira (fîg. 16) le beuveau, dont

une branche A.'B' (fig. 4) coïncide avec le prolongement d’un rayon de la voûte, tandis que la seconde branche B'G est taillée suivant la courbure de l’intrados.

Ce beuveau s’appliquera {fig, 24) de manière que le côté courbe BG coïncide toujours avec l’une des sections droites que l’on aura dû tracer sur la douelle taillée précédemment , tandis qu’une troisième branche DH , solidement fixée , de manière à former un angle droit avec BG, devra toujours coïncider avec l’une des génératrices du cylindre. Par ce moyen, la branche B A du beuveau sera constamment perpendiculaire à la face (ïe douelle, et engendrera la surface hélicoïde du joint continu. Le beuveau ABC (fig. 16 et 24) est déterminé par sa projection A'B'C' (^fig. 4).

245. Au lieu du beuveau ABC de la fig. 16 , on pourrait employer le beuveau DOH de la fig. 23 ; mais alors il faudrait placer bien exactement ce beuveau (fig. 13) dans le plan perpendiculaire à l’hélice MN qui forme l’arête de joint; et, pour obtenir ce résultat, il serait nécessaire que la branche courbe OH du beuveau fût cintrée suivant la courbure de la section par le plan P qui contient cette branche (fig. 6) ; puis on ajusterait au beuveau (fig. 13 et 23) une branche supplémentaire VU, faisant, avec la branche courbe , un angle VSH égal à l’angle VSH de la fig. 6. En faisant coïncider cette branche supplémentaire VU avec l’une des génératrices du cylindre, le côté courbe de la branche OH serait situé dans le plan perpendiculaire à l’arête MN delà douelle 13), et la branche DO du beuveau engendrerait la surface gauche du joint.

246. Pour cintrer la branche courbe OH du beuveau (fig. 13 et 23), on se rappellera qu’au point O de la fig. 6,

l’hélice d’intrados mn et sa tangente seront horizontales ; la droite OH perpendiculaire sur mn sera la trace du plan qui contient le beuveau demandé ; de sorte, qu’en faisant tourner ce plan autour de la verticale projetante du point O, on obtiendra (fig. 4) le beuveau D'O'H', dont la branche courbe O'H' appartient à Fellipse suivant laquelle le cylindre, qui forme la douelle du berceau^ est coupé par le plan vertical DOH (fig. 6).

La méthode que nous venons d’exposer possède évidemment l’avantage qui manque à celles de M. Buck, de conserver intactes les propriétés géométriques des surfaces de joint déterminées par la théorie, et d’éviter l’emploi de son gabarit aussi difficile à construire qu’embarrassant à manier. Mais dans les deux méthodes* l’exactitude du résultat dépend beaucoup trop du soin et de l’adresse du tailleur de pierre , et l’on conçoit que si une pierre taillée par un ouvrier très-habile doit être placée sur une autre pierre taillée par un ouvrier qui le soit moins , la coïncidence des deux faces de joint pourra être fort défectueuse.

247, Troisième méthode. Après la répugnance que j’ai témoignée pour la taille par beuveau, lorsqu’il s’agit d’une construction qui exige une grande exactitude , on demandera peut-être par quels moyens j’éviterai les reproches que j’adresse à cette méthode. Ma réponse sera bien simple , c’est que dans aucune circonstance je n’emploierai le beuveau pour exécuter les joints d’un pont biais , et si je voulais absolument éviter la taille de l’extrados, je crois qu’il serait possible d’obtenir quelque précision en opérant de la manière suivante.

J’accepterais volontiers avec M. Buck la substitution du paraboloïde au joint réglé hélicoïdal, quoique la première de ces deux surfaces ne soit pas plus facile à tailler que la

seconde. Mais je voudrais, au moins, que les directrices de ce paraboloïde fussent des normales à la voûte, et, par conséquent , situées dans le plan de section droite , au lieu d’étre placées comme celles de M. Buck dans des plans perpendiculaires à l’hélice intradossale. Pour obtenir ce résultat, on pourra opérer de la manière suivante ;

On construira (fig. 20) la projection horizontale du voussoir qui occupe le centre de la voûte, puis on déterminera le parallélipipède enveloppe AB AB.

On tracera les droites W, nn', mm' et uu' perpendiculaires à la face AB qui correspond à l’un des deux joints du voussoir, et les deux trapèzes vv'nn' et mm'uu' remplaceront évidemment avec avantage les deux règles de M. Buck; puisque les côtés vn et mu de ces trapèzes sont des normales génératrices du joint hélicoïdal : on peut rabattre ces trapèzes, comme on le voit ( fig ^ 18 et 21). en faisant tourner l’un d’eux autour du côté nv, et le second autour de mu.

Lorsque l’on aura obtenu ces trapèzes dans leur véritable grandeur, on fera tailler les deux règles R et S en traçant sur leurs faces les parties qui doivent être noyées dans la pierre, comme on le voit fig. 26.

Pour déterminer bien exactement sur la pierre la trace des plans suivant lesquels il faut enfoncer les deux règles, on rabattra la face AB sur laquelle on tracera le quadrilatère m"n"v"u".

Les sommets de ce quadrilatère sont les pieds des perpendiculaires abaissées sur le plan vertical AB, par les points m , n ,v ,u du voussoir. On obtiendra ces sommets sur la figure 17, en portant, à partir de la droite AB , les distances des points correspondants à la droite B'B' delà figure 4, de manière, par exemple, que u'u" de la figure 17 soit égale à u'u" de la figure 4, que n’nl', de

im

la figure 17 soit égale à n'n" de la figure 4, et ainsi de suite.

Les points 1, 2, 3 qui partagent en parties égales les côtés m''u" et n'V' du quadrilatère m'WV' (fig. 17), détermineront les positions successives de la règle génératrice du paraboloïde hyperbolique par lequel on a remplacé le joint normal hélicoïde du voussoir ; et l’on comprend pourquoi un byperboloïde à une nappe serait beaucoup moins simple, par la difficulté qu’il y aurait à établir sur les directrices les points nécessaires pour déterminer les positions successives de la génératrice.

Pour tracer la pierre, on choisira {fig. 25) un bloc dont la face supérieure doit être au moins égale au rectangle ABCD de la figure 17, et tel que l’épaisseur DU (^fig. 25) soit égale à AB de la figure 20.

On dressera {fig. 25) le plan ABCD sur lequel on tracera le quadrilatère m'’n"v"ii" que l’on aura soin de placer comme on le voit ( fig. 17), et l’on fera pénétrer les deux règles des figures 18 et 21 , comme on le voit { fig. 26).

On dégagera ensuite la pierre en faisant glisser la règle génératrice sur les côtés et n'V" des deux direc¬

trices {fig. 18 et 21).

Au lieu de dresser entièrement la face rectangulaire ABCD du parallélipipède enveloppe {fig. 17 et 25), on peut se contenter de tailler seulement les espaces nécessaires pour y appliquer les panneaux K et H , de manière à tracer les deux droites m"u'' et n"v'' suivant lesquelles on doit placer les règles directrices comme on le voit fig. 26.

On devra bien se garder de faire ici la faute que j’ai reprochée à la méthode de M. Buck (n° 237). Ainsi, quand on aura taillé le premier joint, on renversera la pierre, et l’on taillera le second joint avec les memes règles R, S, et le panneau quadrangulaire m"n"v"u” que l’on retour-

nera en opérant du reste exactement comme pour le premier joint.

Il est bien entendu que l’on aura dressé le plan BA parallèlement au plan AB , de manière que la distance DU de la figure 25 soit égale à l’arête correspondante du parallélipipède capable (jîg. 20).

Quand les deux joints longitudinaux seront taillés, on fera les joints de tête en opérant de la même manière , et faisant glisser la règle sur les mêmes directrices mu, nv, comme on le voit fig- 9.

248. Si l’on veut que les joints transversaux soient des plans , on se contentera de faire à l’extrados (fig. 10) une plumée sur laquelle on tracera la droite vu dont on déterminera le milieu x ; et les trois points m, n, x suffiront pour tailler la face plane amnc destinée à former le joint transversal ; mais dans ce cas , il ne faut pas attendre que le joint gauche mnvu soit taillé , parce que ce serait un travail inutile , et que d’ailleurs il ne resterait plus assez de pierre du côté de l’arête nv.

249. Pour tracer la douelle , on se rappellera ce que nous avons dit au n" 236 ; ainsi , considérons comme droites les projections horizontales mn des arcs à' hélice qui forment les quatre arêtes de la douelle m.nmn du voussoir projeté Çfig. 20), on pourra remplacer ces courbes par les arcs à' ellipse suivant lesquels le cylindre d’intrados est coupé par les plans projetants verticaux des côtés du quadrilatère mnmn.

Deux de ces ellipses ont été rabattues (fig. 19 et 22), en opérant comme nous l’avons dit au n° 236.

Gela étant fait , on découpera en bois mince ou en zinc les deux segments que l’ou appliquera sur la pierre

comme on le voit (fig, 9).

Par suite de la flexibilité de ces deux patrons, les courbes elliptiques des figures 19 et 22 se transformeront

en hélices mn lorsqu’elles seront appliquées Çflg. 9) sur les joints gauches taillés précédemment.

Les deux segments 19 et 22 suffiront en les retournant pour tracer les quatre arêtes de la douelle , que l’on taillera comme à l’ordinaire, en faisant passer la règle par les points de repères déterminés sur les courbes mn des figures 9 et 10.

Si les joints transversaux sont des plans , les courbes que l’on y tracera avec le panneau de la figure 19 conserveront leur caractère elliptique , et cela ne changera rien à la manière d’opérer.

250. Si l’on préfère commencer par tailler la douelle, on fera les deux segments en bois dur ou en tôle forte comme on le voit (fig. 28 et 29) , puis on les enfoncera perpendiculairement à la face de la pierre dans des rainures creusées au ciseau suivant les côtés du quadrilatère mnmn que l’on aura dû tracer d’abord sur la face AB AB du parallélipipède enveloppe Çfig. 25).

La courbe (fig. 28) servira, en la retournant, pour établir les deux arêtes des joints continus, et la courbe (fig. 29) déterminera les arêtes des joints transversaux.

Les quatre hélices qui forment les arêtes de la douelle seront alors remplacées par des arcs d'ellipses qui en différeront très-peu (236), et lorsque la douelle sera taillée, on fera les joints en opérant comme ci-dessus (247).

251. La méthode précédente n’est qu’une approximation analogue à celle de M. Buck ; mais au moins les erreurs volontaires que l’on commet en remplaçant les joints normaux hélicoides par des paraboloïdes , et les arêtes de douelle par des arcs d’ellipses, seront indépendantes de

r imperfection des beuveaux et de la négligence ou de la maladresse des ouvriers.

J’ai cru devoir exposer avec détails toutes ces manières diverses d’exécuter les pierres d’un pont biais, mais en les comparant, le lecteur pourra facilement reconnaître que cela est tout aussi long et beaucoup moins exact que la méthode par équarrissement indiquée au n° 157.

252. Taille des voussoirs de tête. — Jusqu’ici nous avons raisonné d’après cette hypothèse qu’il s’agissait d’un pont construit tout entier en pierre de taille , mais cela n’arrive presque jamais ainsi. Le plus ordinairement,

I au contraire , les ponts que l’on construit pour l’usage des I: chemins de fer sont en moellons , en briques ou en meu- ^ hères, et, dans ce cas, la taille des pierres n’a plus à beau- . coup près la meme importance.

253. La chaîne de pierres qui forme l’arête de chacune des têtes est une garantie contre la dégradation de cette arête , mais elle contribue fort peu à la solidité de l’ensemble, et souvent les voussoirs ont besoin d^être rattachés à la masse et retenus par elle, plutôt qu’ils ne servent à la soutenir.

On peut donc, lorsque la tête seule est en pierre de taille , négliger quelques-unes des considérations théoriques qui nous ont préoccupé lorsque nous avons étudié le pont qui fait le sujet de la planche 7.

Ainsi , lorsque l’obliquité n’est pas trop considérable , on ne fait pas de cornes de vache, et l’on accepte les angles , aigus que les joints longitudinaux font avec le parement de la face de tête.

Dans ce cas, la taille de cette face se réduit à une grande simplicité, en effet.

254. Supposons 11) que la tête du pont soit composée deneufvoussoirs, on taillera neuf claveaux courants, en opérant par l’une quelconque des méthodes indiquées aux numéros 157, 224, 241 ou 247. Puis, il ne restera plus qu’à retrancher à Fun des bouts de chaque voussoir, ce qui est nécessaire pour former la face de tête.

Soit, par exemple (fig. 27), le voussoir que l’on veut couper, on tracera l’arête 3-4 de la tête, au moyen d’un panneau flexible M, que l’on obtiendra (fig. 16) en construisant le développement de la douelle comme dans tous les exemples qui précèdent ; puis, avec un beu veau r-S-x (fig. 27), on tracera la coupe de joint S~x.

La face de tête qui doit être plane, serait alors déterminée géométriquement , puisque l’on connaît trois de ses points 3, 4 et a?, mais on obtiendra plus d’exactitude et l’on vérifiera l’opération précédente, en appliquant sur le second joint le beuveau 4-s , dont une branche coïncide avec l’arête de la pierre (fig. 27) .

En faisant mouvoir une règle sur l’arc de douelle 4- 3 et sur les deux coupes de joint, il sera facile de tailler le parement de tête.

Ce qui précède étant bien compris , il ne nou-s reste plus qu’à expliquer comment on peut obtenir les beuveaux nécessaires pour tracer les coupes de joint.

255. Angles des hélices d’intrados avec les coupes des joints par le plan de tête.

Première méthode (fig. 11). — On sait que l’angle , compris entre deux courbes, est égal à l’angle formé par leurs tangentes , et si l’une des lignes données est droite , la question revient à chercher l’angle qu’elle fait avec la tangente de la ligne courbe.

Or, dans le cas actuel, les lignes données sont l’hélice intradossale et la coupe de joint située dans le plan de

tête. La tangente T' par laquelle nous remplacerons cette courbe de joint passera par le foyer et sera projetée sur le plan horizontal par la droite T qui est la trace horizontale du plan de tête.

La tangente à rhélice intradossale sera projetée sur le plan vertical par X' tangente au cercle de section droite , et, sur le plan horizontal, par une droite X qu’il n’est pas nécessaire de construire.^

Les droites TT' et XX' sont tangentes toutes les deux au point VV' du joint hélicoïdal , puisque l’une d’elles est tangente à la coupe de joint par le plan de tête, et que la seconde XX' est tangente à l’hélice qui forme l’arête d’intrados.

Le plan tangent déterminé par les deux tangentes TT' et XX' contient en outre la droite GG', génératrice du joint hélicoïdal, et qui, par conséquent , peut être considérée comme une troisième tangente au point VV' de cette I surface.

j Or, si nous supposons que le point de tangence VV' j tourne autour de l’axe du berceau jusqu’à ce qu’il soit I venu se placer dans le plan vertical projetant de cet axe les I trois tangentes XX', TT', GG' tourneront en même temps.

I La tangente XX' deviendra horizontale; elle sera projetée sur le plan vertical par la droite X'", sur le plan horizontal par X", faisant avec l’axe AG du cylindre un angle X"V''G égal à l’angle intradossal, et sera, par conséquent, parallèle aux droites suivant lesquelles se transforment les hélices développées de l’intrados.

Le foyer O' décrira un arc de cercle O'O'" égal à l’arc U'ü'" parcouru par le point U' de la droite G'. La projec- ! tion horizontale de l’arc O'O'" sera 00" , et la tangente i .TT' deviendra T"T'", puisque le point O est venu se pro- I jeter en O" et le point V en V".

j La droite GG', située dans le plan des deux tangentes TT'

et XX', prendra la position verticale G'", et sa projection horizontale sera , par conséquent , réduite à un point G" qui coïncidera avec V".

Par suite de ce mouvement, le plan des trois tangentes TT', XX' et GG', sera devenu vertical, puisqu’il contient la verticale G"G"' et l’on obtiendra l’angle des deux lignes X''X'" et T"T"' en faisant tourner cet angle autour de la droite verticale G" G'" jusqu’à ce qu’il soit parallèle au plan vertical de projection.

Par ce dernier mouvement, le point 0"0'" décrit l’arc horizontal 0"0*^ qui se projette sur le plan vertical par l’horizontale 0"'0^, et la tangente T'" vient se rabattre en T*'^ ; latangenteX"X'", tournant autour de la verticale G"G'", reste horizontale, sa nouvelle projection verticale X'^ se confond avec X'", et l’on obtient alors l’angle demandé

256. On peut se dispenser de construire la projection T'" de la tangente T"T"' et rabattre de suite cette ligne en T'^, de sorte que tout se réduirait aux opérations suivantes :

1» Du point G', comme centre, on décrira la circonférence qui contient le foyer O'.

On fera l’arc O'O'" égal à U'ü'".

30 rnsmsi Par la projection horizontale du point V, on tracera la droite GG j usqu’à ce qu’elle rencontre en V" le plan vertical qui contient l’axe du berceau.

40 Par le point V", ainsi obtenu, on tracera la droite V"T" parallèle aux hélices d’intrados développées , ou ce qui revient au même , on fera 0V"0" égal à Fangle intradossal.

5“ On ramènera le point O'" en O^ par un arc de cercle horizontal 0"0''^ décrit du point Y" comme centre, et l’on tracera la droite O^V'", qui étant prolongée, donnera X'"V'"T‘^ pour l’angle demandé.

La meme opération répétée fera connaître pour chaque joint l’angle formé par l’arête d’intrados et la coupe de joint sur le plan de tête.

La figure 11 contient tous les heuveaux correspondants aux points 1, 2, 3, 4 et 5 de l’arc de tête, le supplément de chacun de ces heuveaux donnera l’angle situé à la même hauteur de l’autre coté de la voûte.

Ainsi , le beuveau donnera l’angle formé au

point VV', par la tangente à la coupe de joint T' et l’hélice d’intrados qui aboutit au point VV' tandis que supplément de sera l’angle formé au point 3 de

l’arc 1-V", par l’hélice et la coupe de joint correspondantes.

L’exactitude des constructions peut être vérifiée de plusieurs manières.

Quelques-unes de ces vérifications sont indiquées sur la j figure, mais il y en a qui n’auraient pas pu être conservées I sans confusion.

j On remarquera cependant que tous les points analogues j du point , sont situés sur la circonférence d’une ellipse j dont le demi-grand axe C'D' est égala AH, tandis que le I demi-petit axe G'O' est égal, comme nous l’avons déjà rej marqué plusieurs fois, à la distance OH, suivant laquelle I AH se projette sur le plan de section droite qui contient le I centre C de l’arc de tête (108).

j En effet, la droite V"0" étant parallèle à HA, les deux I triangles V"00", AOH seront semblables, ce qui donne I la proportion

j (1) V"0" : 00" = AH : OH ,

j mais si nous exprimons par x la distance V"0"±= lO'^ , par x' \ la droite 00" =10'", par a la droite AH = AD= G'D' et * par b la droite OH = G'H' = G'O', la proportion (1) devien- ! dra

d’où bx=ax',

et par conséquent

(2) bV=a^x'\

Mais le triangle G'IO'" étant rectangle en I , on a IO'"2 — CP ou en exprimant Cl par y

qui , substitué dans l’équation (2) , donne successivement

bV:=a^

6V — — a^if

d’où il résulte que le point et tous les points analogues o'', o'^, etc., sont situés sur la circonférence de l’ellipse,

qui a pour demi-petit axe

6=CO'==CH'=:OH, et pour demi-grand axe

a=:G'D'=AD=rAH.

La remarque précédente nous permettra de simplifier considérablement les opérations indiquées au n“ 256.

257. Ainsi, après avoir décrit les deux arcs de cercles H'O' et D'K\ on tracera :

P «MM Le rayon V'C que l’on prolongera jusqu’à ce qu’il coupe les deux circonférences concentriques aux points R et S.

2°kbh On construira le triangle RNS rectangle en N.

3'’ m/mma La droite sera l’ un des côtés du beuveau correspondant au point V' et par conséquent au point 3.

On remarquera que l’ellipse D'O'D' ne sera plus employée que comme vérification. De sorte que tout se réduit

pour chaque heuveau à la construction de quatre droites, savoir : V'S, .RN, SN et NV'".

258. La courbure des coupes de joint parle plan de tête étant insensible , on peut remplacer chacune d’elles par sa tangente ; mais il n’en est pas de même des arcs d’hélice qui forment les arêtes des joints longitudinaux, et lorsque la courbure du berceau est très-sensible, on ne peut pas appliquer immédiatement le heuveau sur la pierre, car, il faudrait pour cela (^fig. 14), que la tangente T à l’hélice mnfût tracée sur la face de joint du voussoir.

On évitera cette opération, assez délicate, en remplaçant le côté JsT de l’angle Tzu du heuveau par l’arc d’hélice zn, dont il est la tangente.

Mais , nous avons eu déjà l’occasion de reconnaître (236), que cet arc d'hélice peut être remplacé par Velj lipse, suivant laquelle le cylindre qui forme la surface d’intrados est coupé par le plan tangent au joint hélicoïdal, j Ainsi , pour tous les beuveaux qui ont leurs sommets j au point V'" de la figure 1 1 , nous remplacerons la branche j droite qui coïncide avec la tangente par l’arc V"'E

i qui appartient à l’ellipse suivant laquelle le berceau est :| coLipé par le plan vertical projetant G"X" de la tangente ! X"X'"; la flexibilité que l’on devra donner à la branche de I ce heuveau , suffisant pour faire disparaître la difîerence I insensible qui existe entre cette ellipse et V hélice à laquelle I la droite X"X"' est tangente.

I L’ellipse EE peut être décrite en faisant tourner autour de la verticale projetante du point G les points suivant lesquels le plan vertical P coupe les génératrices de l’intrados ou en prolongeant la droite PG jusqu’à ce qu’elle j rencontre la ligne de naissance, en un point h, qui sera I l’extrémité du demi-grand axe horizontal Ch.

I Si le pont est d’un très-grand rayon, la courbure de

Fhélice d’intrados sera insensible et l’on pourra se contenter du beuveau dont l’angle serait formé par les deux tangentes et X"'.

Quant à la coupe de joint sur la tête, si le beuveau est un peu flexible, la branche droite 3 — x (fig. 27), appliquée sur le joint, prendra naturellement la courbure presque insensible de cette surface et le résultat sera suffisamment exact.

259. Deuxième méthode. — Les beuveaux nécessaires pour tracer les faces de tête peuvent être obtenus par une méthode très-simple donnée par M. de La Gournerie dans le mémoire que nous avons déjà cité. En effet, la tangente au jointW' à Fhélice qui contient ce point (^fig. 3) est située dans le plan qui touche le cylindre au même point, et perpendiculaire, par conséquent, à la génératrice GG' du joint hélicoïdal.

Le plan qui contient l’angle cherché formé par les deux droites XX' et TT', tangentes la première à Fhélice et la seconde au joint de tête, contient la tangente GG', et la trace verticale O'K de ce plan est par conséquent parallèle à G', puisque cette dernière droite est elle-même parallèle au plan vertical de projection.

Or si l’on fait tourner le plan tangent T'V'X' autour de sa trace verticale O'K la tangente XX' vient s’appliquer sur sa projection X' et le point de tangence VV', sommet de l’angle cherché, se rabat en V", à une distance de O'K, égale à la longueur Y"K de la partie de la tangente XX' qui est comprise entre le point de tangence W', et le plan de section droite P sur lequel a lieu le rabattement.

Mais cette partie V"K de la tangente XX' rabattue, sera évidemment donnée en véritable longueur V'"M 12) sur le développement du cylindre d’intrados; de plus, le point O', situé sur la charnière de rabattement O'K, n’aura

pas changé de place, la tangente TT' se rabattra en O'T", et Ton obtiendra T"V"V' pour l’angle cherché.

M. de la Gournerie a signalé l’existence d’un point qui abrège beaucoup la construction des beu\7eaux.

En effet, en traçant par le point V" une droite V"Q perpendiculaire sur la projection X' de la tangente XX', on obtiendra sur la verticale 00' un point que nous désignerons par Q.

Or , construisons les ordonnées AO , V'"S des points A et V'" de l’arc de tête développé.

Traçons la droite G'V' perpendiculaire sur X et par conséquent parallèle à QV"; rappelons - nous que V"K (fig. 3), étant égal à V'"M (fig. 12), on a V'K fig. 3) = MS projection de V'"M (fig. 12) :

On aura donc

Fig. 3. O'C' : O'Q = KV' : KV", mais on a

{fig. 3) KV' : KV"=: MS : MV'" (fig. 12), de plus MS : MV'" = HO : HA

multipliant et réduisant, on aura

O'C': O'Q = HO: HA d’où O'QxHO^O'G'xHA

mais (109) 0'G'=:H0

multipliant et réduisant, on a