Berceau circulaire. Joints plans. — Ce qui

augmente beaucoup les difficultés que l’on rencontre dans la construction des ponts biais , c’est V incompatibilité qui existe entre les conditions auxquelles on doit cbercher à satisfaire pour résoudre convenablement la question proposée.

Ces conditions peuvent être classées de la manière suivante :

1“ mmmm Considérations géométriques,

2® mÊmmm Considérations mécaniques.

3® mÊmmm Considérations pratiques.

317. Si l’on veut satisfaire aux conditions géométriques, il faut éviter partout les angles aigus ; alors on a des arêtes de joints à double courbure, des joints normaux, réglés et gauches, difficiles à bien tailler et dont les inclinaisons en sens contraires produisent des mouvements de rotation et des poussées au vide dangereuses,

318. Si au contraire on veut satisfaire aux meilleures conditions de stabilité , il faut accepter des angles aigus souvent moins à craindre que l’on ne le pense, lorsqu’ils n’ont rien à supporter.

319. Enfin, si l’on veut satisfaire aux conditions pratiques, il faut remplacer les surfaces quelquefois trop compliquées, indiquées par la théorie, par d’autres qui s’en rapprochent autant que possible, mais dont la simplicité

géométrique permet d’obtenir clans la taille et dans la pose une précision qui remplace presque toujours avec un très-grand avantage, une exactitude théorique qu’il serait souvent très-dilFicile d’obtenir en exécution.

320. Dans le premier chapitre, que l’on peut regarder comme une étude des joints normaux, nous avons cherché principalement à satisfaire aux conditions géométriques en évitant les angles aigus.

Ainsi , les hélices perpendiculaires ou à peu près à la corde de la sinussoïde, suivant laquelle se développe l’arc de tête , rencontreront cette courbe suivant des angles qui différeront peu de l’angle droit. Les arêtes des joints transversaux, étant perpendiculaires aux hélices qui forment les arêtes des joints continus, partagent la douelle du berceau en quadrilatères rectangles.

Les surfaces réglées hélicoïdales qui forment les joints continus et transversaux, se coupent à angle droit et sont partout normales au cylindre d’intrados 5 enfin, la corne de vache, employée sur la planche 7 fait disparaître les angles aigus qui auraient lieu si la douelle et les joints continus étaient prolongés jusqu’au plan de tête.

Mais on ne peut satisfaire à ces conditions que par des opérations nombreuses et délicates , qui exigent des ouvriers habiles et augmentent la dépense d’une manière sensible.

321. L’usage des beuveaux abrège, il est vrai, la taille des voussoirs, mais c’est presque toujours aux dépens de l’exactitude, et l’on perd alors, par l’imperfection du travail, ce que l’on a voulu gagner en vitesse.

Nous avons vu, dans le chapitre précédent, que l’emploi des surfaces normales donnait lieu à des mouvements de rotation que l’on doit surtout chercher à com-

PONTS BUTS

battre , et c’est pour atteindre ce but que nous avons remplacé par des plans verticaux les surfaces réglées des joints discontinus.

322. Lorsque la voûte entière sera en pierre de taille, on devra conserver les surfaces réglées hélicoïdales qui forment les joints de lit; mais, si le pont est en maçonnerie et que l’arc de tête seulement soit en pierres appareillées, on pourra, sans aucun inconvénient, employer des plans pour les faces latérales des voussoirs de tête. La simplicité, et par suite l’exactitude que l’on obtiendra dans la taille de ces voussoirs , compenseront avec un très-grand avantage l’irrégularité insensible que l’on croirait pouvoir reprocher à cette méthode sous le rapport de la théorie.

323. Or, si l’on remplace les joints réglés hélicoïdaux par des plans , les coupes de joint sur la tête (fig. 7, pl. 12) seront des lignes droites que Ton fera normales à l’arc de tête. Chaque plan de joint sera déterminé par l’une de ces normales et par la corde de l’arc d’hélice correspondante.

324. Si, comme nous le supposerons dans l’exemple actuel , la section droite du berceau est un arc de cercle rabattu (^fig. 13), l’arc de tête sera un arc d’ellipse X'Z', et les normales à cette courbe seront tangentes à sa développée GK.

Or, si nous avions conservé les joints réglés hélicoïdaux et si nous avions remplacé les coupes de joint sur la tête par leurs tangentes, il aurait fallu diriger ces lignes (fig. 7) vers le foyer O' (105). Mais il suffit de regarder la figure pour reconnaître que les droites qui remplaceraient alors les coupes de joint sur le plan de tête, différeraient très-

204 PONTS BIAÎS. PL. 12.

peu des normales à Tare d’ellipse X'Z' , d’où il résulte, qu’en prenant ces normales pour arêtes de joint, on sera très-près de satisfaire à la condition géométrique.

Dans ce cas, le joint plan différant très-peu du joint réglé, et par conséquent de son plan tangeiat, l’arc eUiptiqne, suivant lequel le cylindre d’intrados sera coupé par le joint, différera très-peu de l’arc d’hélice que l’on aurait obtenu si l’on avait conservé les surfaces réglées hélicoïdales (236).

Ce que nous venons dire étant bien compris, nous allons passer à l’étude des opérations graphiques.

325. Épure. — La section droite X"I" rabattue (fig. 13)’ est une partie de la circonférence d’un cercle E^,!" dont le centre est projeté au point G.

Pour satisfaire aux considérations que nous avons développées aux numéros 288 et 308 , on a supprimé toute la partie du cylindre qui aurait pour directrice l’arc de la section droite L’arc conservé X"!" (fig. 13) étant

partagé en parties égales, on tracera les génératrices correspondantes sur le développement (fig. 15) et sur les projections (fig. 8 et 7). ■

On déterminera la direction des hélices développées sur la figure 15 et l’on projettera ces courbes sur les figures 8 et 7 , puis on étudiera l’appareil de tête sur ces deuxfigures.

Les faces postérieures des voussoirs de tête seront projetées sur la figure 8 par des droites parallèles au plan P de la tête.

Ces droites sont par conséquent les projections horizontales des deux ellipses, suivant lesquelles le cylindre circulaire qui forme l’intrados du berceau est coupé par les plans verticaux P^ et Pg parallèles aux têtes. Les arcs d’ellipse et jMgMg (fig. 7 et 8) seront égaux,

parallèles à l’arc de tête X'Z', et se développeront sur

vu 12.

PONTB BIAIS.

là figure 15 suivant les - deux sinnussoïdes et

M3M3 égales et parallèles à la siniluSèoïde X^"Z'".

JNous avons dit que les joints de Gôüpe sur là tête seraient formés par des normales à Tare d’ellijtse X'Z' et tangentes par conséquent à la développée GK.

326. Pour construire ces normales on peut opérer de plusieurs manières que je crois utiles de rappeler.

Première méthode {fig. 17) ; On déterminera les foyers F et F', et l’on tracera les deux rayons vecteurs FM et F'M ; ce qui donnera l’angle FMF' dont la Lissextrice NMÜ sera la normale demandée (Introd., 92).

Deuxième méthode (fig. 12): On tracera l’art de cercle OK de rayon GO et l’ordonnée MP du point par lequel on veut construire la normale.

La droite UD , tangente au cercle, déterminera le point D par lequel on tracera DM tangente à l’ellipse.

Enfin, la ligne NM, perpendiculaire sur DM, sera la normale demandée (Introd. 90).

327. Développée. — Si l’on construit avec beaucoiq) de soin un nombre suffisant de normales Qig. 5), elles formeront elles-mêmes la développée GDK ; mais on peut déterminer et par conséquent vérifier les difîérents points de cette ligne, en opérant de la manière suivante ;

1° mmmm On construira (fig. 3) le rectangle EGBS sur les deux rayons principaux CE et CB de l’ellipse.

2° wm^m On tracera la diagonale EB et la droite SK perpendiculaires sur EB.

On obtiendra de cette manière le point G et le point K , ce qui déterminera d’un seul coup le plus petit et le plus grand rayon de Courbure de l’ellipse. Ainsi GE sera le

rayon de courbure au point E, et KB sera le rayon du cercle osculateur au point B.

Pour obtenir les points intermédiaires de la courbe GH, on agira ainsi :

V mÊKmm En un point M de l’ellipse (fig. 4) on construira la tangente DH, sur laquelle on portera MD égal au plus petit rayon de courbure GE.

2*’ ^mm On fera MN égal à la partie MU de la normale comprise entre l’ellipse et son plus grand diamètre EE.

3® mamÊm On joindra le point D avec N, et l’on tracera successivement NH perpendiculaire sur DN, puis HV perpendiculaire sur ]NH. Le point V, intersection de HV, avec la normale NU, sera situé sur la développée GK, et la distance VM sera le rayon de courbure au point M de l’ellipse.

(Exercices et questions diverses ^ n® 149).

328. Le foyer O' de la figure 7 ne sert ici qu’à faire comprendre combien les joints plans que nous adoptons difïèrent peu des joints réglés hélicoïdaux indiqués par la théorie.

Pour obtenir ce point , dans le cas actuel, on tracera

1® mfmrm La droite Ee, ce qui dé termine le point e (fig. 14) .

2'’ rm\m m La droite eO parallèle aux hélices développées de la figure 15 déterminera le point O sur la trace horizontale du plan de section droite GC".

3® Il 1 1 II On portera la distance c'^0 de la figure 14, de C en O' (fig. 7).

Cette opération est la conséquence de ce que nous avons dit au n® 108.