Pour déterminer le point suivant lequel le plan

tangent au joint réglé hélicoïdal serait perpendiculaire au plan de tête. On emploiera la méthode indiquée au n® 291 ; ainsi :

1® La droite eO (jig. 14) sera considérée comme génératrice du cône auxiliaire dont une partie de la hase est rabattue en eU.

2® On tracera la droite OS perpendiculaire au plan P de la tête, et l’on construira SH tangente à l’arc de cercle eU.

3® Le rayon Cx” de la figure 13, parallèle à la tangente SH de la figure 14, déterminera le point x” sur l’arc de section droite X'T'.

330. Dans l’exemple actuel le point x" est un peu audessus du plan de naissance X"Z" de la voûte ; si l’on avait élevé ce plan jusqu’au point x" , cela aurait diminué la distance comprise entre les piles ^ mais le peu de différence qui existe entre les hauteurs des deux points X'^ et x” {fig. 13) , rend insignifiante pour la pratique l’erreur théorique que l’on pourrait reprocher à cette disposition.

Le point x'\ d’ailleurs, dépend de la direction des hélices et, par conséquent, de la corde X"'Z"' de la sinussoïde développée figure 15.

Or, cette dernière ligne dépend de la hauteur adoptée pour la naissance X"Z" (fig, 13) ; d’où il résulte que l’on ne peut pas placer exactement la ligne de naissance à la hauteur du point x" , puisque l’on ne peut déterminer la hauteur dé ce point qu’après avoir choisi le point de naissance X".

On pourrait bien relever après coup la ligne de naissance lorsque l’on aurait déterminé le point x'' ; mais cela changerait la direction de la corde ((ig. 15),

celle des hélices développées , et par suite la hauteur du point x’' lui-même, que l’on ne pourrait par conséquent

faire coïncider avec la ligne de naissance, que par une suite d’essais dont l’importance pratique n’est pas assez grande pour qu’il soit nécessaire de s’y arrêter.

331. Pour que la maçonnerie du mur soit plus solidement assise, nous extradosserons les voussoirs de l’arc de tête par des plans horizontaux; et, pour éviter la confusion , nous reporterons sur la figure 2 les quadrilatères qui forment les faces supérieures de ces voussoirs; de sorte que la figure 8 est la projection horizontale de la douelle, tandis que la figure 2 est la projection de l’extrados.

Tous les quadrilatères de la figure 2 sont rectilignes et peuvent être facilement déduits de la projection figure 7, qu’il faut d’ahord construire.

332. Pour y parvenir, on tracera sur la figure 7 les trois ellipses égales, X'Z', et MgM^ qui provien¬

nent de la section du cylindre d’intrados, par les plans verticaux P P^ et P^ de la figure 8 ; puis on relèvera sur ces courbes les points suivants lesquels les trois droites parallèles XZ, et M^Mg de la figure 8 sont cou¬

pées par les projections horizontales des hélices qui forment les arêtes des joints continus.

Ainsi les points S et V de la droite M3M3 (fig. 8) se projetteront sur l’ellipse M3M3 de la figure 7 et les points rs' et E de (fig. 8) se projetteront sur l’ellipse

MgMg de la figure 7, etc.

Les droites Yv et INn, parallèles à la normale Aa, et les droites Ss et Rr, parallèles à la normale Dd, compléteront la projection verticale de la pierre.

En opérant de la même manière, on obtiendra les projections verticales de tous les voussoirs de tête.

333. Lorsque l’on aura complété la projection verticale de la tête, on construira la figure 2, en opérant de la manière suivante :

On reportera sur cette figure les traces horizontales des trois plans verticaux P et Pg de la figure 8 , en espaçant ces plans de la même quantité sur les deux figures. Puis les sommets des quadrilatères de la figure 2 seront facilement déterminés par les perpendiculaires abaissées des points correspondants de la figure 7.

Je n’ai conservé les opérations que pour la face supérieur du voussoir VII (fig. 8,7 et 2) .

334. Pour obtenir les faces des joints latéraux on peut opérer de deux manières.

Première méthode : Supposons que les deux projections de la pierre VII soient transportées figures 1 et 11; et pour éviter la confusion des lettres nous augmenterons les dimensions du voussoir.

Les deux panneaux des joints latéraux pourront être rabattus en vraie grandeur {fig. 11) en K' et en H', le premier sur le plan horizontal Pg (fig. 1), en tournant autour de l’arête d’extrados av, et le second sur le plan

Pour obtenir le premier de ces deux panneaux rabattus (Jig. Il), on tracera :

1° B** La droite VV' perpendiculaire sur l’arête av, autour de laquelle se fait le rabattement.

2" mmim Du point V, comme centre, on décrira l’arc de cercle Iq, avec un rayon égal au côté vV du quadrilatère AavV (fig. 1) ; l’intersection de la ligne VV' (fig. 11), par l’arc Jq, déterminera le point V', que l’on joindra avec le point v, et l’on obtiendra par ce moyen le côté vV, rabattu en vY' .

Avant d’aller plus loin, il est très-essentiel de remarquer que l’angle Y' va n’est pas droit, puisque le côté vY' est l’hypoténuse du triangle vmY' rectangle en m.

Les droites aA, nN, itU et vY sont les intersections de la face de joint AavY par les quatre plans parallèles P Pj Pg et Pg de la ligure 8.

Il résulte de là que ces quatre droites, parallèles dans l’espace, seront encore parallèles sur le panneau, rabattu en K'.

De plus , ces droites parallèles au plan vertical de projection, seront projetées sur la figure 1, suivant leur véritable grandeur; de sorte qu’après avoir tracé (fig. 11) des parallèles au côté vY' , par les points w, n, a du côté va, il ne restera plus qu’à porter sur chacune de ces droites la longueur de sa projection verticale (fig. 1).

On obtiendra ainsi le côté a A' et la courbe V'Ü'N'A'.

Si l’on traçait les droites Uü', NN' et AA' elles seraient perpendiculaires à la charnière de rabattement ma.

Ces droites n’ont pas été conservées.

On peut encore vérifier le résultat de la manière suivante :

1» MBM Si l’on fait tourner le point A (fig. 1) autour de l’horizontale projetante du point v, il décrira un arc de cercle AA" parallèle au plan vertical de projection, etlorsqu’il sera parvenu dans le plan horizontal Pg (^fig. 1), il se projettera en A'" sur la figure 11.

2® «œsaa La droite u-A'" (fig, 11) sera la diagonale qui joint les sommets u et A' du panneau K', et l’arc de cercle A'"A', décrit du point v comme centre, avec un rayon égal à vA" , doit passer par le sommet A' du panneau K'.

335. Les trois points V', N' et A' sont suffisants 'pour déterminer la courbure du côté V'A', et le point U' semble

d’abord, mutile; mais, en regardant la projection (^^g. 8), on voit que les deux voussoirs adjacents, VII et VI, ont une face en partie commune; c’est-à-dire que le joint AU du voussoir VI n’est qu’une partie du joint AV, dont on aurait retranché toute la partie comprise entre les deux plans verticaux et Pg

D’où il résulte que le panneau K' de la figure 10 pourra servir à tailler la pierre VII et celle qui lui est adjacente, suivant la face cpmmune AlJua.

C’est pour ceia que sur le panneau rabattu K' on a désigné par une teinte la partie commune aux deux voussoirs.

En recommençant les opérations précédentes, on a obtenu le panneau rabattu en II' ; mais, pour éviter la confusion qui aurait eu lieu si l’on avait fait tourner ce panneau autour de l’aréte horizontale ds, nous supposerons ici qu’avant d’effectuer le rabattement on a fait avancer le plan de joint parallèlement à lui-même jusqu’à ce que la droite ds soit venue se placer en dV, puis on a opéré absolument comme pour le panneau K'.

La construction de la diagonale n’a pas été conservée^

336. Pour tailler la douelle il faut établir sur les côtés courbes des panneaux, les points de repère qui doivent déterminer les diverses positions de la règle génératrice.

La première idée qui se présente alors, c’est de choisir les points suivant lesquels les quatre arêtes courbes qui forment le contour de la douelle sont coupées par les génératrices qui ont servi pour construire le développement 15), et les deux projections (^g^. 8 et 7).

Mais , pour diminuer le nombre des points à rabattre, il vaut mieux employer les génératrices qui contiennent les points précédemment rabattus.

Ainsi on tracera sur la figure 1 1 ou 8 les génératrices qui contiennent les points E, N; puis on déterminera le point 8 sur la courbe AD (fig. 1 ou 7) et le point 7 surla courbe VS ; de sorte qu’au moment de la taille l’une des génératrices sera déterminée par le point E^ du panneau rabattu (fig. 11), et par le point 8 du panneau de tête {fig. 1); tandis que la seconde génératrice sera déterminée par le point N' du panneau rabattu K' (^g. 11), et par le point 7 , situé sur le côté VS du panneau postérieur (fig. 1).

337. Deuxième méthode : Au lieu de rabattre les panneaux de joint du voussoir VIT sur les plans horizontaux P 5 et P 6 (fig^ 1)» on peut rabattre l’un d’eux en K" sur le plan P de la tête (fig. 8), et le second en H" sur le plan P3 qui contient la face postérieure du voussoir.

Pour obtenir le panneau K", on tracera la droite vv" perpendiculaire sur le côté aA que l’on prend ici pour charnière de rabattement; puis on tracera l’arc de cercle yZy décrit du point a comme centre avec un rayon égal à la droite va^ qui est projetée en vraie grandeur sur la figure 11.

Cette opération déterminera le point v" et par suite le côté av" , qui n’est autre chose que la droite av rabattue.

Je rappellerai encore que l’angle v"aA n’est pas droit puisque la droite av" est l’hypoténuse du triangle v"ax rectangle en x.

On prendra sur la figure 1 1 les distances des points n et U au point v ou au point a, et l’on portera ces distances sur le côté a.v" du panneau rabattu K" (fig. 1).

On obtiendra ainsi les points n" et u", puis on tracera les droites n"]N", u"V", v"V” parallèles à l’arête aA.

Les points V", U" et N" de la courbe V"A seront déter-

minés par les perpendiculaires abaissées des points V, U et N sur la charnière de rabattement ac.

On pourra vérifier le tout en construisant une diagonale comme nous l’avons fait au n“ 334.

Le panneau DSsd est rabattu en H'', en tournant autour de l’aréte Ss. Quand on aura tracé la droite dd" perpendiculaire sur sS, le point d" sera déterminé, en faisant la distancesd'de la figure 1 , égale à l’aréte sd de la figure 1 1 . Les points r et e de cette arête étant portés {fig. 1) en r" et e"y on tracera, par les points r", e", d" , des parallèles à sS, et les points E" et seront déterminés sur ces lignes par les droites DD", EE" et RR" perpendiculaires sur sS.

Cette dernière méthode est celle que l’on a employée pour construire les figures 6 et 9, qui contiennent tous les panneaux de joint nécessaires à la construction de la voûte.

La figure 6 contient tous les panneaux depuis le point de naissance X' jusqu’à la clef (fig, 7), et la figure 9 contient les panneaux depuis la clef jusqu’au point de naissance Z'.

Tous ces panneaux sont rabattus sur le plan Pg qui contient les faces postérieures des grands voussoirs de la tête (fig. 8).

On suppose ici que chaque panneau s’est avancé, parallèlement à lui-même, jusqu’à la place où le rabattement a pu être efiéctué sans confusion.

La trace des opérations n’a été conservée que pour le panneau K du voussoir VIT (fig, 7).

Ce panneau est semblable à celui que nous avons ol)tenu en K' (fig, 11) et en K" (fig. 1). Il n’en diffère que par le sens du rabattement et par les dimensions qui résultent de la dilférence d’échelle des deux figures.

338. Taille des voiissoirs. — Cette opération ne présentera aucune difficulté.

En effet, après avoir é(juarri le parallélipipède rectangle qui doit contenir le voussoir projeté {fig. 1 et 11), on taillera :

jo Le plan horizontal Pg qui doit former la face supérieure bs (fig. 1).

2® mmmm On appliquera sur cette face le panneau horizontal avsd (fig. 11) ou bhsd (fig, 2).

30 aammm Qn appliquera le panneau AabdJ), des figures 1 ou 7, sur le plan de tête, et le panneau YvhsS sur la face postérieure du voussoir, en faisant coïncider les points b, dj h et s de ces panneaux avec les points correspondants du panneau horizontal bdhs (fig. 2).

4"*^«On taillera la face verticale sur laquelle on tracera la droite horizontale av.

5° MH On taillera les deux plans de joint sur lesquels on appliquera les panneaux K\ H' ou K", H" rabattus {fig. 11 et 1).

6*" Enfin, on taillera la douelle comme on le voit (fig, 10), en faisant glisser une règle dont la position horizontale sera déterminée par les points de repère N, 7, 8 et E, marqués sur les côtés courbes des panneaux de joint, de tête et postérieur du voussoir (336).

339. Corne de vache. On peut abattre Fangle aigu en opérant comme nous l’avons dit au n® 273. Ainsi (fig, 8) :

1® La droite FL, perpendiculaire au plan P de la tête, exprimera la largeur de la corne de vache.

2® •mmm On fera XQ égal à ZL et l’on tracera la droite TF parallèle au plan P.

3" — On fera de la figure 7 égal à XQ de

la figure 8, et l’on tracera l’ellipse semblabe

à l’ellipse XZ', ce qui déterminera la quantité Y, dont il faut raccourcir les panneaux de tête.

4” —Il . Enfin , on tracera (fig. 15) le développement

T'"F'" de l’ellipse TF, et l’espace compris entre les deux sinussoïdes T'"F'" et exprimera la

quantité dont il faut raccourcir les panneaux de douelle.

Cela étant fait, et le voussoir III (flg. 7 et 10) étant taillé, en opérant comme nous Tavons dit au n“ 338, on appliquera sur la douelle le panneau raccourci III 15), et l’on tracera l’arc ac {fig. 15 et 16).

On appliquera également sur la tête le panneau raccourci III (^fig. 7) et l’on tracera Tare vu, puis on taillera la douelle comme on le voit sur la figure 16.

340. Berceau elliptique. Joints plans. — Jusqu’ici nous n’avons pris que des berceaux circulaires pour sujets de nos études ^ c’est le cas que l’on préfère dans la pratique, parce que dans un berceau circulaire les surfaces de douelle, les surfaces de joint, les hélices qui forment les arêtes d’intrados et d’extrados ont partout la même courbure ; d’où il résulte qu’en décomposant la voûte en voussoirs de même longueur (65), tous les claveaux courants seront identiques, et les panneaux, les cerces, les beuveaux ou les gabarits (233) qui auront servi pour tailler l’un d’eux, suffiront pour tracer et tailler tous les autres : ce qui simplifiera considérablement la maind’œuvre.

Ainsi, lorsqu'on veut employer pour joints, des surfaces réglées Mlicdidales , U faut toujours construire un berceau circulaire.

M. Buck, dans son Traité des ponts biais , rejette entièrement les ’voûtes à section droite elliptique, auxquelles il reproche , sans dire pourquoi , de manquer de stabilité et d’être en outre plus difficiles à construire ; ce qui, par conséquent, augmente beaucoup la dépense. Tl ne pense pas, d’ailleurs, qu’il puisse jamais se présenter un concours de circonstances qui puissent forcer un ingénieur à construire une voûte elliptique.

Je suis de l’avis de M. Buck, quant à la difficulté d’exécution, lorsqu’il s’agit d’une voûte entièrement formée de pierres taillées-, mais je ne crois pas, comme lui, qu’une voûte elliptique en maçonnerie coûte beaucoup plus qu’une voûte circulaire ; et, dans tous les cas, cela ne serait qu’une considération secondaire s’il devait en résulter une plus grande solidité : ce qui a lieu quelquefois.

Il peut d’ailleurs arriver, comme nous le supposerons dans l’exemple qui fait le sujet de la planche 13, que des motifs de décoration architecturale déterminent à employer la courbure circulaire pour les arcs de tête, ce qui conduirait nécessairement à donner à la voûte une section droite elliptique.

Je crois donc utile de donner ici un exemple de ce genre de pont.

341. Les données de la question à résoudre sont, comme toujours , l’écartement des piles, l’angle qui exprime le biais et la hauteur de la clef.

Pour satisfaire aux conditions d’équilibre que nous avons exposées au n® 288, nous adopterons pour la tête un arc de cercle X'Z', au lieu d’une demi-circonférence E'X'Z'E', et pour éviter les angles aigus suivant lesquels les joints continus rencontreraient le plan de tête, nous bri- Im Joint! des voasioirê, de manière qu’une partie