PL. \S

de chaque joint soit perpendiculaire au plan de tête; car les voussures que l’on obtient en abattant les angles , après la taille des claveaux, ne sont que des imitations de corne de vache qui ne changent rien aux angles aigus produits par robliquité des joints continus par rapport au plan de tête. D’ailleurs cette brisure des joints contribue à la solidité en s’opposant au glissement des voussoirs.

Nous adopterons pour la corne de vache la forme que nous avons employée sur la planche 7, parce que cette voussure nous paraît beaucoup plus gracieuse qu’aucune de celles que nous avons eu l’occasion d’examiner.

Ainsi, la largeur CU de la’ voussure étant choisie à volonté (fig. 9), on tracera la droite XZ parallèle au plan de tête, et l’on fera l’angle ZQL égal à XLQ.

De sorte que la projection horizontale de la corne de vache sera le trapèze isocèle LXZQ.

Les droites XZ et LQ seront les projections de deux arcs de cercle concentriques X'Z' et L'Q' (fig. 8). Le premier X'O'Z' de ces arcs de cercle est déterminé par les trois points X', O', Z'.

Le point O' est donné par la question et dépend de la hauteur que doit avoir la voûte. Les points de naissance X^ et Ta' doivent être situés, autant que possible, à peu de distance du point suivant lequel le plan tangent au joint hélicoïdal serait perpendiculaire à la tête.

Nous avons vu au n® 330 pourquoi ce point ne peut pas être déterminé avant l’exécution d’une partie de j l’épure; mais on peut se contenter pour la pratique d’une [ ' appréciation approximative.

342. Dès que l’on se décide à faire une corne de vache, il faut étudier l’appareil comme si la surface de douelle

était limitée 9) par Tare de cercle XZ, (jui, pour un moment, va remplacer l’arc de tête.

La surface de douelle, dans le cas actuel, est une partie de cylindre elliptique qui a pour directrice circulaire la demi-circonférence E'O'E', dont le centre G' sera facilement déterminé par les trois points X', O' et TJ de la figure 8. La projection horizontale G du centre GG', sera située sur la droite XZ (^fig. 9).

L’arc de cercle X'Z' étant la courbe directrice du cylindre d’intrados, on prendra sur cette ligne (fig. 8) un nombre suffisant de points, que l’on projettera sur la droite XZ de la figure 9.

Ghacun de ces points déterminera une génératrice du cylindre de douelle.

Ges lignes n’ont pas été conservées sur la figure 8.

Si l’on coupe le berceau par un plan perpendiculaire à sa direction, on obtiendra la section droite dont la moitié seulement a été conservée sur l’épure et rabattue enZ"0" {fig. 10).

Les hauteurs des points 0, 1, 2, 3, etc., au-dessus de la ligne de naissance Z"V", sont déduites de leurs projections sur le plan de tête {fig. 8) ; de manière, par exemple, que la hauteur m-2 du point 2 {fig. 10) soit égale à la hauteur m-2 du point 2 de la figure 8, et ainsi de suite.

343. On peut facilement construire par ses axes l’ellipse à laquelle appartient l’arc Z"0" de la section droite rabattue (^flg. 10).

Pour cela, on prolongera l’arc de tête X'O'Z' (^fig. 8) jusqu’à la droite horizontale E'E', qui en contient le centre G'.

Le point E' de la demi-circonférence E'O'E' (fig. 8) se projettera sur le plan horizontal en E.

Or, si nous supposons que l’arc de section droite Z"0" soit rabattu autour de l’horizontale Z"V", qui contient le point de naissance Z", le point E viendra se projeter en E" sur la droite C"E", que l’on obtiendra en faisant V"C" égal à la distance V'G' du centre G' au plan de naissance X'Z' (fig. 8).

Enfin, si l’on fait V"0'' de la figure 10 égal à V'O' de la figure 8, on aura déterminé le centre G" et les deux extrémités E" et O" des axes de l’ellipse E"0"E". Ce qui suffit pour construire cette courbe.

344. Lorsque la section droite elliptique Z"0" sera construite avec soin, et bien vérifiée, on pourra, si on le préfère , prendre cette courbe pour directrice du cylindre d’intrados.

On partagerait alors (flg. 10) l’arc Z” O" en parties égales par des points dont on reporterait les ordonnées sur la figure 8 ; et, dans ce cas , les distances des points obtenus sur l’arc de cercle Z'O' ne seront plus égales puisque les projections des mêmes points sont également espacées sur la courbe elliptique Z''0" (fig. 10).

Nous verrons bientôt pourquoi cette dernière méthode est préférable.

Ces dispositions étant admises, il ne nous restera plus que peu de chose à dire pour expliquer l’épure actuelle, qui ne diffère de la précédente que par la forme elliptique du berceau et par l’addition de la corne de vache.

On portera les parties égales de VeWii^se TJ' O" (fig, 10), sur la trace du plan ce qui donnera (^fig. 1) la ligne TJ"0'" pour la section droite rectifiée.

Par chaque point de division de la ligne Z"'0'” ainsi

obtenue on tracera l’une des génératrices du cylindre d’intrados, et jraijienant sur chacune de ces lignes le point correspondant de la droite ZX (fig, 9), on obtiendra le sinussoïde pour développement de l’arc de cercle

ZX, Z'X' (fig. 9 et 8).

345. On peut rectifier l’arc elliptique Z"0" par la méthode que j’ai donnée au n® 30 ; ainsi :

Quand on aura déterminé et vérifié bien exactement la normale du point Z", on fera {fig. 7) un angle OSZ égal et parallèle à l’angle 0"SZ" de la figure 10.

2® mÊmm On partagera l’angle OSZ de la figure 7 en quatre parties égales par les rayons SB, SH et SD, et si on exprime par a chacun des quatre angles

. . , ^ OSZ

ainsi obtenus, on aura a = — r— .

3® Dans le cas actuel, l’angle OSZ, mesuré avec un bon rapporteur, est égal à 46®-30', et par conséquent égal à Ce qui donnera

4 = ^ — ir-Sy'-SO", 2 8

ou

et la formule du n® 32 deviendra

Tia

a 360 sin. (5®-48'-45") 360 sin. -

2880 sin. (5®- 48'- 45")

Par conséquent, si Ton construit sur la figure 10 les normales parallèles aux rayons SB, SH et SD de la figure 7, l’arc d’ellipse 7J'0" sera remplacé par quatre arcs de cercle de 11° -37'- 30" chacun.

On fera la somme des quatre cordes, et l’on multipliera cette somme par 1,0017.

On pourrait craindre que la substitution de quatre arcs de cercle aux arcs d’ellipse correspondant Z"B, BH,

I HD et DO", ne donnât lieu à une erreur sensible; mais si l’on remarque que la différence entre la somme des arcs de cercle et la somme de leurs cordes n’est égale qu’à

• ou de cette somme, on comprendra combien

lUUÜÜ ooo

doit être faible la différence entre les quatre arcs d’ellipse et les arcs de cercle, à très-peu de chose près oscu~ lateurSf par lesquels on les a remplacés.

346. La différence entre la somme des quatre arcs de cercle et la somme de leurs cordes est si faible que, dans la pratique , on pourra négliger la multiplica-

TZOL

tion par le facteur - , et se contenter de rectifier

360 sin. ^

le contour du polygone formé par les cordes.

En efîét , si l’on suppose que la largeur d’un voussoir soit à peu près égale à trois décimètres, l’erreur que l’on fera en remplaçant l’arc correspondant de section droite par sa corde sera, pour chaque voussoir, inférieure à 0,3x0,0017 = 0,00051, ou ki^eui^Tès un demi-millimètre, quantité tout à fait insignifiante si on la compare à l’épaisseur de la couche de mortier qui doit garnir le joint.

Pour décomposer l’arc d’ellipse Z"0" en quatre arcs

de cercle semblables entre eux, on construira la développée GK, en opérant comme nous l’avons dit au n® 327, puis on tracera les normales parallèles aux rayons SB, SH et SD de la figure 7.

On obtiendra ainsi (^g. 10) les trois points B, H, D, que l’on peut d’ailleurs vérifier de la manière suivante : on tracera la corde O'T perpendiculaire au rayon SD de la figure 7, on déterminera le milieu ï de la corde 0"F, et l’on joindra le point I avec le centre G' de l’ellipse par un rayon, dont l’extrémité D sera le point demandé.

On opérera de même pour obtenir ou pour vérifier les points H et B.

Quand l’arc de section droite Z'"0'" sera rectifié Çfig. 1), on y placera les pieds des génératrices en vérifiant bien exactement sur la figure 10 la longueur de l’arc l’ellipse compris entre chacun de ces points et celui des points Z", B, D,H et O" qui en est le plus rapproché.

347. On pourra , si l’on veut, commencer (fig . 10) par construire l’ellipse E^O'^Z'' au moyen de ses axes ; puis on rectifiera l’arc de section droite Z"0'^ en opérant comme nous venons de le dire.

On divisera la droite Z”' O'" {fig. 1) en parties égales, ce qui donnera les pieds'des génératrices, que l’on reportera successivement sur l’arc d’ellipse TJ’ O’' (Jig, 10) sur la droite XZ (fig, 9), et de Là (fig, 8) sur l’arc de tête Z'X' qui, dans ce cas, sera partagé par ces points en parties inégales.

Si l’on avait établi les pieds des génératrices à des distances égales sur l’arc de tête X'Z’ (fig. 8), les projections de ces points seraient inégalement espacées sur la section droite Z"0'' (fig, 10) et sur le développement (fi. 1 ).

Or, cette dernière figure étant la plus importante , il vaut mieux que les distances des génératrices soient égales

sur la section droite rectifiée X"'Z'" (fig. 1), et par conséquent sur l’arc d’ellipse Z"0" (fig. 10).

Au surplus, quel que soit l’ordre suivant lequel on croira devoir exécuter ces diverses opérations, il faut vérifier avec beaucoup d’attention les points suivant lesquels les génératrices du cylindre rencontrent l’arc de cercle X'Z' (^fig. 8), l’arc d’ellipse TJ’O” (Jig. 10), et le développement TJ” O'” de cette dernière courbe {fig. 1).

348. Quand on aura établi les génératrices du cylindre sur le développement Çfig, 1), on divisera la corde Z‘^X’^ en autant de parties égales que l’on voudra obtenir de voussoirs sur l’arc de tête.

On déterminera la direction des bélices développées en opérant comme au n® 57, et l’on construira les projections de ces hélices sur les figures 9 et 8 (66 et 67).

349. Je crois devoir rappeler ici que l’on donne le nom d’hélice à la courbe qui, sur un cylindre, coupe toutes les génératrices suivant un angle constant; d’où résulte nécessairement, pour cette courbe, la propriété de se transformer en ligne droite sur le développement du cylindre.

La seule différence, c’est que les courbes développées {fig. 1) et projetées sur les figures 9 et 8, sont des hélices à hase elliptique, tandis que toutes les hélices qui nous ont occupé jusqu’à présent étaient à base circulaire.

Quoique les bélices de l’exemple actuel ne soient pas à base circulaire et qu’elles n’aient pas la meme courbure dans toute leur étendue, elles n’en sont pas moins identiques ; car on pourrait les considérer comme les differentes positions qui seraient successivement occupées par l’une d’elles si on la faisait glisser sur la surface du cylindre

d’intrados , de manière que chaque point se meuve toujours sur la même génératrice. C’est pourquoi on pourra construire leurs projections sur les figures 9 et 8, avec des patrons ou pistolets, dont l’un, découpé sur la projection (fig. 9), servira pour construire toutes les projections horizontales ; tandis qu’un second patron suffira pour tracer toutes les projections verticales (fig. 8).

350. Les deux plans verticaux et parallèles au plan P de la tête, détermineront les faces postérieures des voussoirs 5 et les arêtes de ces joints, projetées (^fig, 8), feront partie des deux arcs de cercle et M^Mg égaux

à l’arc X'Z'.

Les centres et Ag de ces deux arcs seront déterminés par les points et suivant lesquels l’axe de la voûte est coupé par les deux plans verticaux P^ et Pg

Les deux arcs de cercle et M^Mg de la figure 8

remplacent les arcs d’ellipse et M3M3 de la planche

précédente (fig. 7).

Les arcs de cercle et M^Mg (fig. 8) coupent les

projections verticales des hélices d’intrados, suivant des points S, R et V,U, par chacun desquels on tracera une droite parallèle à la coupe de joint correspondante Dd ou Aa, ce qui complétera les projections verticales des joints latéraux.

351. Ces joints ne seront pas continus comme dans l’exemple précédent. Pour éviter les angles aigus avec le plan de tête, on brisera le joint latéral comme nous l’avons fait pour le pont que nous avons étudié sur la planche 7.

C’est-à-dire que pour la partie comprise entre les deux plans LQ et XZ, lè joint sera perpendiculaire au plan de

tète et sera déterminé par la normale à l’arc X'Z', tandis que, pour la voûte, le joint contiendra cette normale et la corde de l’arc d’hélice correspondante.

L’aréte d’intrados sera par conséquent une ligne brisée, formée en partie par la droite génératrice de la voussure qui doit former la corne de vache, et par l’arc dt ellipse provenant de la section de la voûte par le plan de joint correspondant.

Ces joints brisés augmentent, il est vrai, les difficultés de la pose; mais, d’un autre côté, ils contribuent à l’encbevétrement des voussoirs et s’opposent, par conséquent, à leur glissement sur les lits.

C’est un nouvel exemple de ce que j’ai dit tant de fois que, dans une construction oblique, on ne peut presque jamais éviter un inconvénient que par un autre; mais je crois que, dans les circonstances actuelles, les joints brisés sont préférables aux angles aigus qui auraient lieu si les joints latéraux des voussoirs étaient prolongés jusqu’au plan de tête.

352. Corne de vache. — Les raisons qui nous ont empêché (191) d’employer une surface conique pour douelle de la corne de vache que nous avons étudiée sur la planche 7, n’existent plus ici, et nous pouvons sans inconvénient, dans le cas actuel, adopter pour cette voussure un cône circulaire dont le sommet sera projeté en sur le plan vertical de la figure 8.

Les projections verticales des génératrices du cône se confondront avec les normales formées par le prolongement des rayons de l’arc X'Z'.

Les perpendiculaires abaissées par les points suivant lesquels ces rayons coupent les deux cercles concentriques X'Z' et L'Q' de la figure 8, détermineront les projec-

tions horizontales des points correspondants sur les deux droites parallèles XZ et LQ (flg, 9), et par suite les projections horizontales des droites génératrices du cône qui forme la douelle de la corne de vache.

Si l’on a hien opéré, toutes ces génératrices du cône doivent concourir vers le sommet, dont la projection horizontale serait située au-dessus du cadre et sur le prolongement de la droite UC, suivant laquelle se projette Taxe de la surface conique.

La droite ZX (fig, 9) est située un peu en dehors de la surface du cône dont nous venons de parler. En théorie, cette droite devrait être remplacée parla portion de courbe X-28, qui fait partie de l’hyperbole 29- 30-31 , suivant laquelle la voussure conique est coupée parle plan horizontal de naissance L'Qb Mais la diherence qui existe entre la courbe X-28 et la droite XZ^ est si faible, que l’oU peut, sans inconvénient, remplaeer la première de ces deux lignes par la seconde , et l’on évitera ainsi de briser la face verticale de la pile, suivant l’anale rentrant M3-X-28.

La petite partie de surface conique 7 -X-28 serait alors remplacée par un cône, qui aurait pour sommet le point X , pour directrice l’arc de cercle 7-L, 7'^L', et qui se raccorderait avec le grand cône delà voussure, puisque ces deux surfaces auraient le meme plan tangent dans toute l’étendue de la génératrice commune 7-X .

353. Lorsque toutes les lignes d’appareil de la voûte, de la tête et de la corne de vache seront tracées sur les figures 8 et 9, on construira la figure 2, qui contient les faces supérieures de tous les voüssoirs.

Tous les points de cette figure se déduiront de leurs projections sur la figure 8, en opérant comme nous l’avons dit au n“ 333.

354. Enfin, on rabattra tous les panneaux de joints comme on le voit sur les figures 6 et 10.

Ces rabattements sur le plan Pg qui contient les faces postérieures des voussoirsont été obtenus par la méthode exposée au n” 337.

On n’a pas rabattu les faees de joint de la eorne de vache, parce que cela n’est pas nécessaire.

355. Taille des voussoirs.— Supposons qu’il s’agit de la pierre désignée par le n" VII, sur les figures 8, 0, 1,6 et 10.

On taillera :

1® Figure 4, le prisme Us5-UV5'T’, dont la base est égale au parallélogramme Üs6T qui enveloppe entièrement la projection verticale de la pierre VÏI (fi-g. 8), et dont la longueur Uü^ (Jig. 4) est égale à la distance du plan de tête LQ (flg. 9) au plan vertical P g qui contient les faces postérieures des voussoirs de tête.

2° mmmm On appliquera le panneau VTI de la figure 2 sur la face horizontale sbb's' du prisme (fig, 4).

30 maama On appliquera le panneau DdbaA de la figure 8 sur le plan vertical U's'6'T' de la figure 4, et le panneau SshvY de la figure 8 sur la face IJsb de la figure 4.

4® Cela étant fait, on taillera les deux plans M'd'dM et MdsU, qui forment les deux faces du joint brisé à droite du voussoir.

5® ■■■■ On abattra tout ce qui est indiqué sur la figure par une teinte de points, de manière à former d’abord les deux plans verticaux a’c'ca et achv, sur lesquels on tracera les droites horizontales aa' et av; puis on taillera les deux plans inclinés a'K'Ka

et aKVv, qui forment les faces du joint inférieur ou lit de pose du voussoir.

6” WÊÊmma On tracera Tare A'D^ du panneau VII , puis les droites D'D et A'A; la première D'D dans le plan d'M'Md, et la seconde AA sur la face a'K'Ka.

7® En abattant toute la partie de pierre comprise

entre les deux figures AK'M'D' et AKMD , on découxrira cette dernière face, et la pierre aura la forme qui est indiquée sur la figure 5.

go mmsBi On tracera l’arc 13-14 sur le plan de tète (fîg. 5) 5 puis , en faisant glisser une règle sur cette courbe et sur l’arc AD , on taillera la surface conique A-13-14-D, qui doit former la douelle de la corne de vache (fig. 12),

9“ waacm Enfin , en détruisant la masse AKMD-VÜS , on taillera la douelle ADSV du berceau (fig, 13) en faisant mouvoir une règle dont les positions successives seront déterminées par les points de repère marqués sur les côtés courbes des panneaux de tête et de joints (fig. 9, 8 et 6).

356. Il n’est pas nécessaire , pour construire un pont biais, en maçonnerie, de déterminer sur l’épure les projections des surfaces normales qui seront naturellement formées par les faces de têtes et de joints des briques ou moellons rectangulaires qui seront employés dans la construction de la voûte.

Il suffira, comme on le voit figure 3, de tracer sur le cintre les hélices destinées à régler la direction des lits, puis de gauchir un peu, pour chaque moellon, la face qui doit coïncider avec l’intrados de la voûte. Cette opération n’exige pas d’épure et se fait sur place en posant

d’abord la pierre, afin de voir ce qu’on doit lui enlever pour que les quatre angles du voussoir coïncident avec la doLielle, et dans les grands berceaux on peut souvent négliger cette opération.

La figure 3 est une perspective du pont vu en dessus.

L’une des deux arches A ne contient encore que les voussoirs de tête et une partie M de la voûte , tandis que la voûte de la seconde arche B est entièrement terminée.

Les voussoirs du coté de l’angle obtus H s’élèvent un peu au-dessus de l’extrados , tandis que, du côté de l’angle aigu K, ils sont en partie noyés dans la maçonnerie.

357. J’ai dit dans le chapitre précédent que c’est principalement aux inclinaisons en sens contraire des surfaces normales qu’il faut attribuer la torsion que l’on observe quelquefois au moment du décintrement des ponts biais.

On peut détruire en partie les causes de ce mouvement (310) en prenant pour joints transversaux des plans parallèles aux têtes du pont. Mais, pour une voûte en moellons ou en briques, cela augmenterait considérablement la main-d’œuvre, et par conséquent la dépense.

Or la déformation de la voûte ne pouvant être produite que par le glissement des voussoirs sur leurs joints de pose, il sera très-essentiel d’attendre pour décintrer, que les mortiers aient acquis une consistance suffisante.