CHAPITRE IV

APPAREIL ORTHOGONAL.

358. Arêtes de joint. — Lorsque l’on étudie l’appareil d’une Yoùte il y a deux choses essentielles à considérer ; savoir :

1® mmao Lcs avêtes de joint.

20 rnrnnM Lcs surfüces de joint.

S’il s’agissait d’un berceau droit ordinaire, dont les têtes seraient formées par des plans perpendiculaires à la direction du cylindre qui forme l’intrados de la voûte, il est évident que les arêtes de joint les plus convenables seraient les génératrices du cylindre et les sections droites.

Ces lignes se couperaient partout suivant des angles droits, et la surface de la douelle serait par conséquent décomposée en quadrilatères rectangles. Ensuite, les surfaces normales qui auraient ces lignes pour directrices seraient partout des plans ; c’est-à-dire que les joints continus seraient des plans contenant les génératrices du

cylindre d’intrados et les joints transversaux seraient formés par les plans de sections droites de la voûte.

Mais nous avons dit au n® 2, pourquoi ces dernières surfaces ne pouvaient pas être employées comme joints dans la construction des ponts biais.

Dans l’appareil hélicoïdal les arêtes des joints continus sont formées par des hélices, perpendiculaires à peu près à la corde de la sinusoïde , suivant laquelle se développe l’arc de tête ; et les hélices qui forment les arêtes des joints transversaux étant perpendiculaires sur les arêtes des joints continus, sont à peu près parallèles à la corde de la sinusoïde et , par conséquent , ne sont pas parallèles à l’arc de tête.

Or, par les motifs que nous avons exposés au n® 309, on peut désirer de satisfaire à cette dernière condition, et si l’on veut que les arêtes de joint se rencontrent partout suivant des angles droits, il faut opérer de la manière suivante :

359. Nous supposerons, dans l’étude actuelle (/î^, 5, pl. 14), que l’arc de tête est une demi-çirçonférençe ; ce qui, par conséquent, donnera pour le berceau, une sec^ tion droite elliptique (fig. 7).

Cette condition ne diminuera en rien la solidité de la voûte et facilitera la construction graphique des lignes d’appareil.

360. Arêtes de joints transversaux. — Ges lignes, devant être parallèles à l’arc de tête, seront, comme cette courbe, des demi-circonférences égales entre elles, dont les centres seront déterminés sur l’axe du berceau par les plans verticaux parallèles au plan de la tête.

Ce premier système d’arêtes étant adopté pour les

joints transversaux, il s’agit d’obtenir les arêtes de joints continus.

361. Trajectoire. — Concevons l’arc de tête partagé en autant de parties égales que l’on veut avoir de voussoirs, et supposons que tous les points de division se mettent en mouvement sur la surface du cylindre de manière que la courbe décrite par chacun d’eux rencontre partout, à angle droit, les arêtes des joints transversaux. On obtiendra, par ce moyen, un second système de lignes, qui, avec le premier, remplira les conditions les plus favorables pour former les arêtes d’intrados , puisque , comme les lignes de plus grande et de plus petite courbure , elles partageront toute la surface de la voûte en quadrilatères rectangles.

C’est en cela surtout que consiste le système que l’on nomme appareil orthog^onal.

362. La construction des arêtes des joints continus est fort simple et dépend de ce principe de géométrie descriptive :

Que la projection d'un angle droit est un angle droit lorsque Vun des côtés de cet angle est parallèle au plan de projection.

Or la courbe cherchée , à laquelle on donne le nom de trajectoire , devant couper à angle droit toutes les sections parallèles aux têtes, doit par conséquent être partout perpendiculaire à la tangente au point de rencontre des deux courbes, et si l’on prend Çfig. 2) un plan de projection parallèle à l’une des arêtes vu, des joints transversaux, la projection verticale ab de la trajectoire devra être perpendiculaire à la projection mn de la tangente, qui passe par le point de rencontre des deux lignes de Joints,

Nous pouvons donc adopter la construction suivante :

363. Concevons (fig. l)un cylindre horizontal , incliné comme on voudra par rapport au plan vertical de projection, et supposons que les sections par les plans parallèles aux têtes soient des cercles ou des arcs de cercles qui auraient pour centre les points 0, 1,2, 3, etc., il s’agit de construire par le point a, la courhe qui couperait tous ces cercles à angle droit.

On tracera successivement les rayons a-o, c-1, e-2, ti-3, et l’on ne conservera de ces rayons que les parties ac, ce, ew, ce qui donnera pour résultat la courbe aceu . X.

Il résulte évidemment de cette opération que ac sera perpendiculaire sur la circonférence qui a son centre au point o; ce, sera perpendiculaire à celle qui a son centre au point 1, etc.; de sorte que la courbe composée de toutes ces petites droites , sera sensiblement perpendiculaire à tous les cercles donnés.

364. La construction précédente n’est pas d’une exactitude absolue. En efï’et, dans toute solution graphique, comme dans le calcul, on admet une certaine limite en deçà de laquelle les erreurs d’approximation sont insignifiantes et peuvent être négligées sans inconvénient; mais il faut éviter, autant que possible, que ces erreurs soient dans le même sens, et surtout qu’elles soient de nature à s’ajouter. Or c’est précisément ce qui a lieu ici.

En effet, la partie ac ne doit pas être une droite, mais une portion de courbe qui coupe à angle droit, non-seulement le premier cercle, mais encore le second, d’où il résulte que le point c est un peu trop bas. Or l’erreur qui existe dans la position du point c, se combinera avec l’erreur dans le même sens qui résulte de ce que ce est

Line droite perpendiculaire seulement au second cercle, au lieu d’étre une partie de courbe perpendiculaire en meme temps au deuxième et au troisième. Enfin, ces deux erreurs se combineront avec la troisième, et ainsi de suite , de sorte que la position du dernier point, dépendra de la combinaison de toutes les erreurs précédentes.

365. Les erreurs dont nous venons de parler peuvent être réduites autant que l’on voudra , de plusieurs manières. En elïet, nous venons de voir que les points c, w, sont tous un peu trop bas. Or, si l’on traçait successivement a-1, c-2, e-3, etc., on obtiendrait une seconde

courbe ac'eV . x' , dans laquelle les points

seraient un peu trop haut. De sorte qu’une courbe qui partant du point a, passerait par les milieux des petits arcscc', ee\ uu\ xx', etc., serait très-près de satisfaire aux conditions demandées.

366. Il est d’ailleurs évident que la courbe cherchée est la limite avec laquelle doivent coïncider les polygones ax^ ax', lorsque le nombre de leurs côtés devient infini; d’où il résulte qu’en augmentant le nombre des cercles donnés, on approchera de l’exactitude autant que l’on voudra.

Ainsi, par exemple, les arcs cc', ee', etc., étant toujours plus grands que les erreurs commises dans la position des points de la courbe cherchée, on pourra, en augmentant le nombre des cercles donnés, réduire ces erreurs audessous de telle quantité que l’on voudra. Enfin, on peut opérer de la manière suivante : on tracera successivement a"~6, d'-7, etc. ; les points 6, 7, 8 étant pris à égale distance des points 0, 1, 2, 3, 4.

367. Si Ton pensait c[Li’il fut nécessaire Je pousser l’exactitude au delà de ce que l’on peut obtenir par une construction graphique exécutée avec soin, il faudrait avoir recours au calcul, et, dans ce cas, je renverrais au mémoire dans lequel M. Lefort a donné l’équation de la trajectoire demandée (Annales des ponts et chaussées^ mai et juin 1839).

368. La première publication de cette méthode est donc due à cet ingénieur, et voici dans quelles circonstances je fus conduit à m’occuper de la même question :

Quelques-uns des appareilleurs employés à la construction des ponts biais du chemin de fer de V ersailles vinrent me trouver, pensant que je pourrais leur donner quelques explications sur le travail dont ils étaient chargés et qu’ils ne comprenaient pas bien.

Je n’avais pas l’honneur de connaître M. Lefort, et j’aurais craint de commettre une indiscrétion en lui demandant une solution qui était sa propriété. Ensuite, quand j’aurais connu alors le mémoire inséré en 1839 dans les Annales des ponts, je n’aurais pas pu le faire comprendre à des ouvriers entièrement étrangers au langage algébrique. J’ai donc dû chercher à résoudre la même question par la géométrie descriptive. Je ne crois pas d’ailleurs qu’il soit bien nécessaire d’employer l’algèbre supérieure pour construire une courbe que l’on peut obtenir si facilement avec le compas , et de calculer à moins d’un millimètre des ordonnées que, dans la pratique, on est souvent obligé d’augmenter ou de raccourcir de plusieurs décimètres, si l’on veut raccorder la courbe avec les joints des voussoirs des têtes. L’exactitude extrême cjue l’on cherche à obtenir par le calcul est d’ailleurs inutile dans le cas actuel, caria solidité d’une voûte dépend moins du tracé rigoureusement théorique des lignes d’appareil

que du choix des surfaces de joint sur lesquelles agissent les pressions, et c’est précisément la partie du problème qui ne me paraît pas encore suffisamment étudiée.

369. Il résulte des opérations par lesquelles nous avons obtenu la trajectoire (fig. 1, 5 et 6), que toutes les trajectoires sont identiques. De sorte que l’une d’elles étant obtenue, il suffira de la faire avancer ou reculer pour avoir toutes les autres.

Ainsi, par exemple, quand on aura construit la trajectoire ax (fig. 5), il suffira de faire avancer chaque point d’une quantité aa\ pour obtenir la trajectoire a'x\