La multiplication par le facteur
360 sin. -
se
faire graphiquement.
Ainsi, par exemple, si nous supposons que Pangle AUD formé par les deux normales AH, DU (/îgf. 29) soit égal à 54”, nous obtiendrons 18® pour la valeur de a {jiq. 28).
IStt
Le facteur
360 sm. ~
Zè
— sera donc éü:al a 5
360 sin. 9
20 sin. 9
Gela étant (/î^.27), on tracera les deux droites MU, MU faisant entre elles un angle quelconque.
On fera MU ; MU = 1000 : 1004 = 250 : 251.
On tracera la droite UU et l’on portera sur MU les côtés du polygone inscrit ABGD (fig. 29).
Les droites BB', GG', DD', parallèles tà UU, détermineront sur MU les longueurs des arcs sous-tendus.
41. Si l’on veut partager la courbe AD de la fig. 29 en parties égales, on divisera la droite MU (fig. 27) et l’on reportera les points de divisions sur la courbe AD (fig. 29).
Ainsi, par exemple, si les points l' et 2' fig. 27 partagent la droite MU' en trois parties égales, on fera B-1 de la fig. 29 égale à B'-l' de la fig. 27 et G-2 de la fig. 29 égale à G-2' de la fig. 27, en prenant toujours sur la droite MU la distance du point que l’on veut obtenir au plus près des points qui divisent la courbe AD en arcs semblables.
PL. I
42. Rectification de Fellipse. — Supposons que l’on veut rectifier la demi-ellipse 1-5-9 qui forme la section droite du berceau qui est projeté sur les fig. 34 et 36.
1» ommsa On fera (j^^. 30) l’angle droit AOD , dont les côtés sont parallèles aux normales extrêmes 0-1 et 0-5 du quart 1-5 de l’ellipse que l’on veut rectifier.
2® wMiHM On partagera l’arc AD de la fig. 30 en autant de parties égales que l’on voudra, suivant l’exactitude exigée par la question.
Dans le cas actuel, l’arc AD est partagé en quatre parties égales.
3° MBasæ On construira (flg. 34) les normales parallèles aux trois rayons qui partagent l’arc AD de la fig. 30 en parties égales , ce qui revient à remplacer le quart d’ellipse 1-5 de la fig. 34 par quatre arcs de cercle de (22® — 30') chacun.
4° s&aas^ On tracera les cordes de ces arcs de cercles , et
1 on multipliera leur somme par - ^
^ ^ 360sm.(ll®— 15')
16 sin. (11®— 15')
Lorsque l’arc d’ellipse sera rectifié , on pourra le partager en parties égales en opérant comme nous l’avons dit au n® 41.
43. Si l’arc 1-5 était décomposé en huit arcs semblables, le facteur - — — serait égal seulement à 1,002,
360 sin. ^
d’où il résulte que la différence qui existe entre un arc de 11° — 15' et sa corde , est seulement égale à 0,002 , ou de cette dernière ligne. Ce qui ne ferait pas | millimètre sur la doueile d’une pierre dont la largeur serait de 2 décimètres. Or les constructeurs savent bien que cette difie-
PL. I
rence devient insensible lorsqu’on la compare à l’écartement nécessaire pour la couche de mortier qui doit garnir le joint, et l’on comprend alors pourquoi, dans la pratique, on pourra toujours se contenter de rectifier le polygone inscrit (26).
44. Rectification par le calcul. — Si l’on reprochait à la méthode précédente de n’être qu’une approximation , je ferais remarquer :
1® Maasa Que le calcul intégral ne donne pas autre chose, quand on peut intégrer, ce qui est souvent impossible et toujours fort long ;
2® mmaaa Que l’ou peut , en augmentant le nombre des arcs , approcher autant que l’on voudra de la courbe donnée ;
3® muasm Et qu’ensuite une courbe composée de deux ou trois arcs de cercle sera presque toujours plus près de la courbe donnée que le polygone inscrit d’un grand nombre de côtés.
Il est au surplus évident que la formule donnée au n" 33 ne sera pas plus difficile à employer que celle qui exprime la circonférence du cercle ; car, pour calculer 2iiR , il faut bien mesurer le rayon. Eh bien! dans le cas actuel, on mesurera la somme des cordes , ce qui ne sera pas plus difficile que de mesurer R. Et l’on peut d’ailleurs effectuer par le calcul toutes les opérations que nous venons de faire avec le compas ( Ex. n®® 403 et 411) , mais je ne crois pas que ce travail soit véritablement utile.
45. section oblique du cylindre. — Nous avons dit (PB-1) qu’un pont biais {fig. 10 et 11) n’était autre chose qu’un pont ou cylindre droit, circulaire ou elliptique , dont les parties acv et mnu auraient été supprimées .
46. Les sections par les plans verticaux ac, mn forment ce que l’on appelle les têtes du pont.
47. Les arêtes provenant de la section de la douelle par les plans des têtes sont des ellipses , lorsque la voûte est circulaire , et pourraient être des cercles si la voûte était elliptique et coupée suivant une direction convenable.
Nous avons dit en outre (1) pourquoi l’obliquité des têtes , par rapport à l’axe du berceau , ne permettait pas d’employer les sections droites pour arêtes de joints discontinus, et nous sommes arrivés à cette conséquence, que cette espèce de joints devait être formée par les ellipses que l’on obtiendrait, fig. 11, en coupant le cylindre d’intrados par des plans Pg Pg etc., parallèles aux têtes.
Il faut donc , avant de commencer les études relatives à la construction des ponts biais , que nous disions encore quelques mots sur les courbes que l’on obtient en coupant un cylindre par des plans qui ne sont pas perpendiculaires à son axe.
48. Si les deux cylindres circulaires et concentriques des fig. 31 et 33 sont coupés par le plan P^ perpendiculaire au plan de la projection 31 , les courbes de section que l’on obtiendra seront deux ellipses concentriques et semblables, projetées par les droites ac, vu sur le plan parallèle au cylindre ; et sur le plan de la section droite, par les demi-circonférences 1-7-13 et 2-8-14 , la plus petite de ces deux ellipses a pour grand axe la droite ac; et son petit axe, projeté par le point o (fig. 33) est égal au rayon 0-7 du plus petit des deux cylindres.
L’ellipse provenant de la section du second cylindre par le plan P^ a pour grand axe la droite vu , et son petit axe , projeté par le point o, est égal au rayon 0-8 du cylindre extérieur.
