FL. I

49. Les points suivant lesquels le plan coupe les génératrices des deux cylindres , étant ramenés par des parallèles au plan de la section droite , sur les génératrices correspondantes des développements, fig. 32, on obtiendra les deux courbes c'a\ uv' que l’on nomme sinusoïdes.

La première c'a' de ces deux courbes est le développement de l’ellipse qui a pour projections la droite ac , et la demi-circonférence 1-5-13; et la courbe uv' est le développement de l’ellipse projetée par la demi-circonférence 2-8-14 et par la droite vu.

Les sinusoïdes n'm', xz' sont les développements des deux ellipses qui proviendraient de la section des memes cylindres par le plan P, parallèle au plan P^ de sorte que la bande curviligne c'a'm'n' , indiquée par des hachures foncées sur le développement du plus petit des deux cylindres, est le développement de la partie correspondante du cylindre qui a pour section droite la demi-circonférence 1-7-13; et la bande uv'z'x indiquée par une teinte de points sur le développement du plus grand des deux cylindres , est le développement de la partie de ce meme cylindre comprise entre les deux plans coupants P^ etP^.

60. surfaces normales. — Les surfaces normales qui ont pour directrices les hélices tracées sur un cylindre circulaire , ou les ellipses provenant de la section du même cylindre par des plans obliques , sont en général des surfaces réglées g^auches, c’est-à-dire non développables, et de la classe de celles qu’on désigne en géométrie descriptive par le nom de condides.

Ces surfaces ont pour directrice la droite qui forme Taxe du cylindre , pour seconde directrice une courbe quelconque qui peut être une hélice ou une ellipse, et de plus elles ont un plan directeur qui, dans le cas actuel, sera le plan de section droite, auquel la génératrice de la surface normale doit toujours être parallèle.

Pour mieux faire comprendre la nature de ces surfaces, j’en ai construit les projections sur les fig. 19 et 20 , où j’ai supposé que les deux cylindres concentriques étaient entiers.

51. Surface normale hélicoïdale. — Le plan P de la section droite étant rabattu Çfig. 20), les directrices de la surface sont l’axe C'G'— G commun aux deux cylindres et l’hélice G' — 5 — 11 — 17 — 23, dont on construira les projections en opérant comme nous l’avons dit au n" 19.

Les normales génératrices menées par les douze points situés à égale distance sur l’hélice directrice G' — 23 , sont parallèles au plan P de la section droite; leurs projections sur le plan de la fig. 19 doivent être par conséquent perpendiculaires à l’axe G'G' du cylindre.

De plus, l’hélice directrice G'- — 23 appartenant à un cylindre circulaire , les génératrices normales doivent rencontrer l’axe G'G' de ce cylindre , d’où il résulte que leurs projections sur le plan de la section droite [fig. 20) doivent toutes aboutir au point G.

Les points suivant lesquels ces normales percent la surface du cylindre extérieur seront projetés {fig- 20) sur la plus grande des deux circonférences, et leurs projections sur la fig. 19 seront facilement déterminées par des perpendiculaires à la ligne AZ, sur les projections des normales correspondantes. On obtiendra ainsi l’hélice C-6-12'-18- 24 suivant laquelle le cylindre extérieur est rencontré par la surface normale qui a pour directrice l’hélice G'-fi-ll- 17-23.

On remarquera que les deux hélices G'-23 et G -24 sont de meme pas, et ne difïèrcnt que par les cylindres sur lesquels elles sont tracées.

52. surface normale elliptique — Je nommerai ainsi 1 a surface normale qui a pour directrice l’ellipse projetée par

PL. I

la droite 17'- 5' que Ton obtient en coupant le cylindre intérieur par le plan perpendiculaire au plan de la fîg. 19.

Les normales génératrices de cette seconde surface devront encore couper l’axe commun des deux cylindres, et les projections de ces normales sur le plan PP de la section droite devront par conséquent aboutir au point G.

Les projections de ces normales sur le plan PP de la fîg. 20 coïncidant avec celles de la surface hélicoïdale que nous venons d’étudier, je les désignerai par les mêmes numéros , en distinguant par des accents sur la fîg. 19 les points sur lesquels nous voudrons appeler l’attention.

53. Les normales génératrices de la surface que nous étudions percent le cylindre extérieur suivant une courbe dont la projection sur la fîg. 20 sera la plus grande des deux circonférences, et qui se projettera sur la fîg. 19 par la ligne 6'-18', qui sera droite lorsque les deux cylindres 5- 1 1-1 7 et 6-1 2-1 S,fig.20, seront circulaires et concentriques .

Cette propriété , utile comme vérification , peut être facilement démontrée.

En effet , si par chacun des points suivant lesquels les projections horizontales des génératrices de la surface qui nous occupe , rencontrent la plus petite des deux circonférences , on élève une perpendiculaire à la ligne AZ on obtiendra les points 13', 15', et 17' sur la projection 5'- 17' de l’ellipse directrice et les droites horizontales 13'-14', 15'-16'et 17'-18' perpendiculaires à l’axe seront les projections verticales des normales correspondantes.

Or il est évident que l’on aura

et par suite du rapport commun r ; K

PL. I

d’où il suit que les liorizon taies des points M, N, V sont partagées en parties proportionnelles par les deux lignes 5'-17' et 6'-18'; or la première de ces deux lignes 5'-17' étant droite (48). Il faut en conclure que la seconde le sera également.

Ainsi , la courbe suivant laquelle le cylindre extérieur est rencontré par la surface normale 5'-6'-17'-18' est une courbe plane puisque sa projection 6'“18' sur la fig. 19 est une ligne droite.

Cette courbe, que l’on peut alors considérer comme une section du cylindre extérieur par le plan projetant sera nécessairement une ellipse dont le grand axe 6'-18' sera situé dans le plan méridien {fig. 20), et dont le petit axe , égal au rayon du plus grand des deux cylindres , se projette sur la fig. 19 par le point suivant lequel se coupent les deux droites 5'- 17' et 6'- 18'.

54. Il résulte de ce qui précède, qu’un troisième cylindre , dont la section droite serait la circonférence KH d’un rayon quelconque (fig. 20) , coupera la surface nor- G'-5-6-ll-17-18-23 suivant Vhèlice G'-H'-ll-K'-23 {fig. 19) et la surface normale 5'-6'-17'-18' suivant une ellipse projetée sur la même figure par la droite K"H", ces deux courbes ayant pour projection commune la circonférence KH (fig. 20).

65. Épures. — Les notions précédentes étant admises , nous allons passer à l’étude des opérations "nécessaires pour exécuter un pont biais.

Pour plus d’ordre dans les idées , nous remarquerons d’abord que les questions principales à résoudre peuvent être énoncées de la manière suivante :

PL. I

1° Déterminer les lignes d’appareil ;

2® Déterminer les surfaces de joints ;

3® Tracer et tailler les ^'oussoirs.

Nous avons déjà dit les raisons qui ont déterminé les ingénieurs anglais à imaginer l’appareil hélicoïdal, et nous allons commencer nos études par les épures nécessaires pour exécuter les poiîts de cette espèce.

56. Appareil de la voûte. — Cette première étude se fait ordinairement sur le développement de la surface d’intrados ; et dans ce cas , on opère de la manière suivante.

Le plan ou projection horizontale de la voûte à construire étant le parallélogramme acmn de la fig. 24, nous nous proposerons d’abord de couvrir cet espace par un berceau cylindrique et circulaire dont la section droite est la demi-circonférence 0-4-8 rabattue (fig. 25).

Cette courbe étant partagée en huit parties égales, on a porté ces parties (/Ig. 26) de o en c", sur la droite o-c” perpendiculaire à la direction du cylindre, ce qui a donné 0-1-2-3 .... c" pour la section droite rectifiée.

Les droites en points ronds menées par les points 1,2, 3,4, etc., perpendiculairement à la ligne o-c” sont les 8 génératrices correspondantes du cylindre.

Les lignes de points ronds de la fig. 24 sont les projections horizontales des mêmes lignes.

Les points suivant lesquels les génératrices projetées sur la fig. 24 sont coupées par les deux plans verticaux ac, mn, appartiennent (fig. 23) aux deux ellipses m'n', a'q' ou arcs de tête du pont ; les mêmes points ramenés sur les génératrices de la fig. 26, déterminent les deux sinusoïdes a”r''uc'' , m”e''s”7i” , suivant lesquelles les ellipses ac, mn sont transformées sur le développement de la surface cylindrique,