NOMS DES LOCALITÉS

situées approximativement sous le parallèle au zénith duquel la trajectoire se trouve.

5og3om

Entre Saint-Saturnin et Cullan. Arrondissement de Saini-Amand (Cher).

Entre Meri-ès-Bois et Ennordre. Arrondissement de Sancerre (Cher).

1' 42" au sud de Châteauneuf. Arrondissement d'Orléans (Loiret).

Entre la Forêt Sainte-Croix , arrondissement d’Etampes (Seine-et-Oise), et la Chapelle-la-Reine , arrondissem. de Fontainebleau ( Seine-et-Marne).

Sur le parallèle d’Arpajon. Arrondissem. de Corbeil (Seine-et-Oise).

9260 mètres au sud de l’Observatoire. Arrondissement de Sceaux ( Seine, .

» Il me semble que ce tableau parle aux yeux. On y voit que l’élément lumineux décrit tou te sa trajectoire, dans un secteur atmosphérique très-aigu, ayant pour axe la verticale de l’observateur, dont il ne s’écarte que de 20 19' 20". Ce secteur, dans son amplitude restreinte, s’adaptant par sa base à la configuration delà surface terrestre autour du point d’observation, y forme, pour ainsi dire, une atmosphère locale, dont la pression sur cette surface, au moment du trajet, est indiquée parla longueur de la colonne barométrique qu’elle y soutient. Presque tout ce trajet s’opère fort au-dessus de la région de l’air, qui est le domaine des nuages, et des autres accidents météorologiques ; de sorte que l’élément lumineux, arrivé jusqu’à quelques milliers de mètres de l’observateur, presque sans ressentir ces influences perturbatrices, n’a plus ensuite à traverser qu’une portion de la masse atmosphérique située tout près de la verticale du lieu d’observation, et dont par conséquent l’état physique peut être accusé fidèlement par les instruments météorologiques qu’on y a placés. Alors, pour ne pas vicier volontairement ce reste de trajet, on devra supposer que l’observateur 11’établira pas sa station immédiatement à la surface d’un sol exposé aux ardeurs du soleil, d’où s’élèveraient continuellement des filets d’air chaud, remplacés par des filets descendants d’air froid, qui pourraient infléchir la trajectoire, et même intervertir localement sa cour-

bure. Mais il lui sera toujours facile de se soustraire à ces mouvements désordonnés. Car l’expérience prouve que les échanges d’où ils résultent, ne s’étendent généralement qu’à de médiocres hauteurs, au-dessus desquelles la .vision, même horizontale, des objets peu éloignés, s’opère par des trajectoires sensiblement rectilignes. J’admettrai donc qu’il s’est mis ainsi hors de ce trouble, en s’établissant par exemple sur les terrasses de l’Observatoire de Paris, ou à ma station de Formentera, ou sur quelque pic encore plus isolé. Là, au niveau de la cuvette de son baromètre, je décris une surface sphérique, concentrique au sphéroïde solide de la Terre; et laissant à la couche atmosphérique située dans cette surface de niveau, les pressions, les densités, des températures, qu’elle a réellement dans chacun de ses points au moment rie l’observation, je la considère comme la base actuelle du secteur atmosphérique, dans lequel s’accomplit la trajectoire qui arrive à la station sous la distance de 80 degrés. Si l’on se reporte aux démonstrations qui précèdent, on concevra aisément que, sous de telles conditions d’observation, il pourra exister une dépendance, au moins approximative, entre l’état de l’air à cette base au point d’arrivée de l’élément lumineux, et la faible réfraction que lui imprime le secteur atmosphérique restreint, dans lequel toute sa trajectoire est comprise. Il ne reste qu’à substituer une appréciation mathématique à cet aperçu. Mais cela exige le rapprochement d’un certain nombre de considérations physiques et mécaniques, dont le détail pourrait prolonger aujourd’hui au delà des bornes de l’indulgence, l’attention que l’Académie peut m’accorder. C’est pourquoi je lui demande la permission de remettre cet exposé à la séance prochaine. »

Note. Soit a le rayon CO de la Terre, r celui de l’atmosphère CB ou CZ, le zénith de l’observateur. Les angles AOZ , BOZ sont donnés ; le premier est 9, , le second 9 ou 9,+ R. Pour connaître l’angle au centre d’entrée V propre au point B, nommons V' l’angle OBC. On aura , dans le triangle OBC

sinV'=r- sin9; V = 9-V'; r

V' se calculera par la première relation , et l’on en déduira V par la seconde.

En désignant par un indice inférieur les éléments analogues relatifs à la droite OA, on aura l’angle au centre d’entrée V, propre au point A , par les formules semblables

sin V', r= - sin 9, ; V, = 9, — Y', .

Maintenant , étant donné un angle au centre v moindre que V, soit p la longueur du ravon

central mené sous cet angle et aboutissant à la droite OB. Si l’on nomme v' l’angle analogue à V', que ce rayon forme avec cette droite; on aura de même

sine' = -sin0 et v =z S — c'; conséquemment, v' = 6 — <\

Ici v est connu et l’on cherche p ; il se déduira de la première relation qui donnera

sin0 . (sin0 — sin v') sinÿ(0 — v' )eosÿ(0-

p = a — — - 1 et par suite , p — a — a . — ; = 2 ay

sine

sine

sine'

ou, en remplaçant e' par sa valeur connue 0 — e,

sin j e cos ( 0

p — a — ia

sin ( 0 — e )

p — a sera la hauteur du point d'intersection au-dessus de la surface de la Terre.

Si l’on voulait obtenir la longueur du même rayon central , conduit jusqu’à la droite supé rieure OA , il n’y aurait qu’à remplacer 0 par 0, dans le second membre ; et , en nommant p, la longueur cherchée , ou aurait évidemment

sin \ v cos (0, — y e)

sin ( 0, — v)

p, — a sera la hauteur du point d’intersection au-dessus de la surface de la Terre.

Pour chaque angle au centre v ainsi donné , la trajectoire sera toujours plus haute que p — a et plus basse que p, — a ; du moins, pourvu qu’elle n’éprouve pas d’inflexions locales dans sa courbure , ce qui ne serait à craindre que pour celles qui arrivent horizontales ou presque horizontales à l’observateur. J’ai à peine besoin de rappeler que 0 est toujours égal à 0, -F- R, R désignant la réfraction qui correspond à la distance zénithale apparente 0,.

Dans l’application , j’ai supposé la hauteur de l’atmosphère égale à o ,oo8.«. Il en résulte donc

je prends , comme Laplace ,

a = 6366 ig8m,

En outre , dans les circonstances météorologiques supposées — -4- 3o°, 75 ; p, = om, 76508.

Les réfractions R évaluées d’après la Table de Laplace , sont :

à la distance zénithale apparente 0, = go° ; R — 3i'. 3i",5.

Les résultats numériques rapportés dans le texte ont été calculés avec ces données , d’après les formules établies plus haut.

los (“)

d’où

log a = 6,8o388o2.

(. Séance du i3 novembre 1 8 54- - )

Sur la théorie des réfractions atmosphériques .

« Grâce à l’attention patiente que l’Académie a bien voulu m’accorder, je puis achever aujourd’hui d’expliquer ce mystère, en apparence si étrange, que les Tables de réfraction actuelles, calculées pour une atmosphère idéale, où les couches d’égale densité seraient sphériques et en équilibre, en quoi elle n’est pas physiquement assimilable à l’atmosphère réelle, donnent ependant des résultats vrais jusque vers 8o degrés de distance zénithale, îe devenant incertaines qu’aux approches de l'horizon. Après avoir reconnu, comme nous 'lavons fait, les conditions spéciales sous lesquelles les réfractions s’opèrent, dans l’un et l’autre cas, la raison de l’accord et du désaccord, va se présenter avec une entière. évidence.

» Dans ma communication précédente, j’ai spécifié les particularités d’intromission et de trajet d’un élément lumineux, qui, après avoir traversé l’atmosphère terrestre, arrive sous la distance zénithale apparente de 8o degrés à une station d’observation, suffisamment isolée, et élevée au-dessus du sol environnant, pour que la couche sphérique d’air, située à son niveau, ne se trouve pas comprise dans ce flux alternatif de courants ascendants et descendants qui sont occasionnellement produits par les différences locales de la température, au contact immédiat de la terre ou de la mer. Cette couche de niveau devra alors être considérée comme la base actuelle de l’atmosphère supérieure, au moment où chaque trajectoire lumineuse la traverse. J’ai montré de plus que, dans les circonstances météorologiques auxquelles notre calcul s’applique, la portion de cette atmosphère parcourue par la trajectoire qui s’observe à 8o degrés de distance zénithale apparente, est comprise tout entière dans un secteur sphérique décrit autour de la verticale de l’observateur, avec une amplitude d’écart mesurée par un angle au centre de a0 19' 20". C’est clans cette étroite portion de l’atmosphère totale que se passent les phénomènes de transmission que nous allons étudier. Le reste de la masse gazeuse n’y a aucune influence.

» Pour 11’avoir à envisager que les conditions essentielles de leur accomplissement, je les dégage de leurs irrégularités accidentelles. Je choisis pour l’observation un temps serein et calme; non pas, sans doute, que je veuille le supposer tel dans toute l’universalité de l’atmosphère, ce qui serait phy- B. 7

siqiement inadmissible. Je borne ces circonstances favorables au secteur atmosphérique restreint, qui entoure la verticale de notre station à une distance angulaire de a°i9' 20" , lequel Comprend toute la trajectoire lumineuse que nous voulons suivre. Peu importe qu’il y ait ailleurs, au même instant, des pluies, des orages, ou des tempêtes, pourvu que l’effet ne s’en propage pas jusqu’à nous, pendant l’observation. J’isole cette trajectoire de toutes celles qui arrivent quelques secondes plus tôt, ou plus tard, dans la même direction, et je suis, dans sa marche rapide, l’élément lumineux qui la décrit. Comparativement à sa vitesse propre la portion de la masse gazeuse qu’il traverse est comme en repos ; et les impressions qu’il en éprouve sont uniquement produites par l’état instantané où il la trouve, au moment de son passage.

» Pour caractériser avec précision les phases successives de sa marche, considérons un arc infiniment petit de la trajectoire lumineuse, et menons le rayon central qui y correspond. Ce sera la verticale d’un des points de la surface terrestre, sur lesquels notre secteur atmosphérique repose. Ainsi, quand l’élément lumineux y arrivera, il se trouvera au zénith de ce point. Or, dans tous les lieux, et à toutes les hauteurs où l’on a porté des instruments astronomiques, en les établissant dans les conditions d’observation que nous avons assignées, on constate que, sauf les cas de perturbations atmosphériques extrêmement violentes et toujours passagères, dont je fais ici abstraction, la réfraction est généralement nulle au zénith, et a des grandeurs égales dans tous les azimuts autour de ce point, même quand on s’en écarte à de grandes distances angulaires, pourvu que l’on ne descende pas trop près de l’horizon où elles deviennent irrégulières. Si la petite amplitude de quelques minutes qu’elles atteignent, sous ces restrictions, pouvait être considérée comme un indice rigoureux, cette symétrie prouverait que la stratification des couches aériennes est généralement horizontale autour de chaque zénith. Mais, en restreignant la conséquence dans des limites proportionnées à la nature des données qui la fournissent, il résulte au moins de ce fait que, l’horizontalité a heu, sinon rigoureusement, du moins très-approximativement au zénith même, sauf daus les cas de perturbations extraordinaires que j’ai exceptés. Ainsi, quand l’élément lumineux traversera les verticales successives des lieux situés sur sa route, la symétrie des réfractions qui s’y observent dans tous les azimuts, nous permettra d’admettre que la couche aérienne qu’il y rencontrera, se présentera à lui suivant une direction, exactement, ou à très-peu près, parallèle à l’horizon du lieu auquel chacune de ces verticales appartient.

» Cette conséquence se confirme et s’explique quand on examine la nature des causes mécaniques, par lesquelles les couches aériennes situées dans chaque verticale, pourraient être dérangées de l’horizontalité où les actions réunies de la gravité et de la force centrifuge tendent à les retenir. La principale consiste dans l’inégalité de température qui existe presque toujours entre l’air et les corps terrestres, avec lesquels il se trouve en contact immédiat. De là naissent des courants ascendants et descendants, entremêlés de remous intermédiaires, qui excluent toute régularité de stratification. Mais ces mouvements ne s’étendent qu’à de médiocres hauteurs, où ils sont éteints par les échanges mutuels des températures, qui ramènent bientôt les particules aériennes à un même état de poids spécifique, et les obligent à reprendre le mode de stratification horizontale que la gravité leur impose. Or, nous avons placé notre station d’observation au-dessus de l’épaisseur restreinte d’air, où se passent ces agitations désordonnées. En nous élevant un peu plus haut, dans les portions inférieures du secteur atmosphérique que notre trajectoire de 80 degrés traverse, nous pourrons rencontrer des masses d’air d’égale densité, qui seront mues en divers sens, suivant des directions de transport que la gravité tend sans cesse à rendre horizontales. Mais, en exceptant les cas où elles seraient poussées avec tant de violence, qu’elles rompraient convulsivement sur elles-mêmes comme une mer qui déferle, ainsi que cela arrive peut-être dans les Bora deFiume, contrairement à la supposition d’un temps calme que j’ai admise, ce qu’on y devra concevoir de plus habituel, c’est qu’elles soient largement ondulantes comme les longues houles de l’Océan loin des côtes. Ces mouvements qui se ressentent encore de la proximité de la surface terrestre, doivent s’affaiblir à mesure qu’on s’élève, et devenir insensibles, ou tout à fait nuis, dans les régions supérieures de l’atmosphère, que leur distance soustrait complètement aux impressions qui les produisent. Les choses étant ainsi, du centre commun delà Terre et de l’atmosphère menez une verticale quelconque. Les éléments des couches d’égale densité qui se trouveront sur sa route, lui seront tous perpendiculaires ou très-peu obliques. Car, dans les couches tranquilles la perpendicularité résultera de ce qu’elles seront horizontales; et, pour celles qui auraient un mouvement de transport régulier, la verticale leur sera encore exactement ou à très-peu près perpendiculaire, selon qu’elle les rencontrera aux sommets opposés, ou sur les penchants de leurs ondulations; et dans ce dernier cas même, leurs faibles obliquités, de sens divers à diverses hauteurs, équivaudront, en somme, à l’horizontalité. C’est ce résultat d’ensemble que manifestait la symétrie des réfractions opérées

autour de chaque zénith. Mais la discussion précédente le rend plus assuré, en faisant voir comment il se produit.

» D’après cela, quand l’élément lumineux, poursuivra son trajet dans les circonstances régulières que nous avons spécifiées, les couches d’égale densité qu’il traversera successivement se présenteront toutes à lui, au point de rencontre, suivant des directions au moins très-approximativement perpendiculaires aux verticales locales, et qui se trouveront être exactement telles, en somme, si elles ne le sont individuellement. Laissant donc aux portions infiniment petites de ces couches dans lesquelles la réfraction s’est successivement opérée, leurs densités, leurs températures, les pressions qu elles supportaient, et le mode de superposition qu’elles avaient entre elles, à l’instant du passage de l’élément lumineux, je les rassemble toutes par leurs prolongements dans une sphère complété, dont les couches d’égale densité, rigoureusement sphériques, seront assujetties dans tout leur contour, aux mêmes conditions physiques qui n’étaient que locales dans ses éléments générateurs. Cette sphère instantanée qui devra être constituée spécialement pour chaque trajectoire lumineuse, conformément aux conditions réelles de son parcours, sera évidemment un cas particulier de celles que les géomètres conçoivent spéculativement pour établir la théorie des réfractions atmosphériques. Mais, au lieu de se présenter à l’esprit avec le caractère contestable d’une hypothèse mathématique, elle sera seulement une construction auxiliaire légitimement permise, et complètement déduite de réalités, à laquelle, d’ailleurs, le calcul ne s’appliquera que sur la trajectoire même qui l’a fournie.

» Les géomètres assujettissent encore leurs atmosphères fictives à une autre condition. C’est que les densités y soient réparties dans le sens vertical, de manière que toute la masse gazeuse se trouve dans un état d’équilibre stable. Or, nous ne pouvons nous prévaloir, dans la nôtre, de cette disposition arbitraire, puisque la distribution des densités, des températures et des pressions, nous est donnée. Nous bornant donc toujours, comme je l’ai fait précédemment, à déterminer deux limites, entre lesquelles la réfraction soit comprise, il nous va falloir examiner, jusqu’à quel point cette condition d’équilibre pourra être violée dans notre secteur idéal; et dans quelle proportion, nos deux limites, calculées en la supposant satisfaite, pourront se trouver fautives. C’est à quoi je vais procéder.

» Les instruments météorologiques placés à la station d’observation, indiquent à chaque instant l’état physique de l’air en ce point central de la base de notre secteur atmosphérique. On y connaît donc sa température

la pression pt qui s’y exerce, d'où l’on pourra conclure sa densité actuelle pt par les lois de la dilatabilité ou de la compressibilité des gaz, en tenant compte de la petite proportion de vapeur aqueuse qui s’y trouvera mêlée, et qui est indiquée par les épreuves hygrométriques. Des expériences très-précises faites par Arago et moi, d’après le désir et avec les conseils de Laplace, ont prouvé que, à force élastique égale, la vapeur d’eau, et l’air sec, exercent des forces réfringentes si approximativement pareilles, qu’on peut, dans le calcul des réfractions atmosphériques, substituer, sans erreur appréciable, aux molécules d’air humide, des molécules d’air sec exerçant la même pression, comme Laplace l’avait inféré d’une considération physique, qui rendait cette équivalence très-vraisemblable (i). En conséquence, ne voulant pas ici compliquer la question de particularités qu’il serait facile ensuite d’y introduire, et ayant surtout pour but d’exposer le raisonnement qui la résout, je supposerai, pour simplifier, que le secteur atmosphérique qui contient notre trajectoire lumineuse est entièrement composé d’air sec , auquel j’appliquerai les lois simples de compressibilité et de dilatabilité établies par Mariotte et Gay- Lussac, en remplaçant dans celle-ci le coefficient fautif 0,0037.5, par o,oo366 qui est sa valeur plus exacte, assignée par MM. Régnault et Magnus, quand la pression est maintenue constante et le volume laissé variable. Pour abréger je représenterai ce nombre par e.

» Ceci admis, soit à la station d’observation, tK la température mesurée au thermomètre centésimal, p, la densité de l’air rapportée à celle du mercure sous l’influence commune de la gravité locale g,; ht la colonne de mercure ramenée à la température de o°, qui est soutenue dans le baromètre par la pression p, qu’exerce l’atmosphère supérieure. Établissons idéalement autour de la verticale de l’observateur un cylindre très-mince, ayant pour base l’unité de surface, composé d’air ayant partout la densité p ,, et dont la longueur l soit telle, que toute sa masse étant sollicitée par la gravité g,, qui a lieu au niveau de la station, y exerce la même pression pt que l’atmosphère réelle. La condition de cette égalité sera évidemment :

P<=gip<* 1-

» Quand on connaît, par l’expérience, le rapport des densités de l’air sec, et du mercure sous l’influence d’une gravité commune et connue G, on

(1) Mémoires de la 'Classe des sciences physiques et mathématiques de l’Institut pour 1807,

Ier semestre, page 3g.

déduit aisément l de cette relation (i). Par exemple, si l’on suppose la température tK égale à o degrés, et la pression p, mesurée par une colonne de mercure à cette même température, ayant om^6 de longueur, les expériences faites à Paris par M. Régnault, sous l’action de la gravité g, = G qui avait lieu dans le laboratoire où il a opéré, donneront pour ce cas d’application

et dans toute autre station où la gravité sera gt, la température tt, la longueur de la colonne barométrique g,, on aura

Cette quantité l revient sans cesse, dans la théorie des réfractions atmosphériques. Mais elle n’y entre jamais que divisée par le rayon a du sphéroïde terrestre, que Laplace suppose en moyenne contenir 6396198 mètres. En adoptant cette évaluation, où la recherche d’une rigueur locale serait inutile, on aura généralement à une latitude quelconque où la gravité sera g, et la température t, :

- = o,ooia55i -(1 + zt.);

la longueur h{ de la colonne barométrique n’entre point dans l’évaluation de l.

» La base du secteur atmosphérique qui contient notre trajectoire ne s’étend que jusqu’à 2°i9' 20", au sud de la station d’observation que nous

avons placée à l’Observatoire de Paris. Sur un arc si restreint, le rapport —

est à peine différent de 1 , et les variations, si l’on voulait y avoir égard, ne modifieraient pas sensiblement le facteur numérique de ~ ; mais nous de-

(1) Je dois supposer les éléments de ce calcul météorologique, connus du lecteur. Il les

trouverait au besoin, exposés en détail, dans les Additions à la Connaissance des temps

de 1 83g, pages 9 et suivantes. Seulement, au lieu du nombre 10462 que nous avions obtenu

Arago et moi, comme exprimant le rapport des densités de l’air atmosphérique sec, et du

mercure sous l’influence de la gravité G, il faudra substituer le nombre io5i3,5 qui a été obtenu par M. Régnault sous l’influence de la même gravité, au moyen d’expériences plus

exactes que les nôtres n’avaient pu l’être à l’époque où nous les avons faites.

SUR LA THÉORIE DES RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 5 i

vous nous attendre que la température t, et la colonne barométrique h, ne seront pas rigoureusement égales sur toute cette base, au même instant. Pour eiagérer leur différence occasionnelle, supposons que la température, étant o° à Paris, elle se trouve être ± io° à l’origine australe de notre secteur, ce qui serait presque incompatible avec la condition d’un temps calme à la station de Paris. Alors, en donnant au coefficient e sa valeur o,oo366, il en résultera

- = ô,ooi a55 1 — dz o,oooo45q/i — ;

la fraction numérique l- restera donc encore très-petite, et moindre que 1 ^ dans ces suppositions exagérées. Cette constante exiguïté de ses va-

1 ooo

leurs possibles nous sera tout à l’heure très-importante.

» Étudions maintenant la composition, non plus conventionnelle, mais réelle, du petit cylindre d’air élevé autour de la verticale de l’observateur, depuis sa station jusqu’à la limite extrême de notre atmosphère sphérique idéale. Si, à une distance quelconque r du centre de la terre, nous isolons par la pensée, dans ce cylindre, une tranche infiniment mince, dont la hau-

teur soit dr et la densité p, son poids sera gt —2pdr, a étant la longueur du

rayon r à la station d’observation, parce que l’action de la gravité décroît en raison du carré de la distance au centre commun de la Terre et de l’atmosphère ainsi formées. Nommons généralement p la pression qui a lieu dans cette atmosphère à la même distance r du centre. La tranche considérée sera soulevée de bas en haut par la pression p, qui sera exercée sur sa surface inférieure; et, à sa surface supérieure, elle sera poussée de haut en bas par la pression p -+- dp, le signe -H affecté à la différentielle dp ne fixant rien autre chose, sinon que nous la considérons analytiquement comme positive, en même temps que dr. La pression p , qui tend à soulever la petite tranche d’air, sera donc combattue par son poids, jointe à la pression supé-

rieure p -F- dp , c’est-à-dire par g-, — pdr-\- p + dp. Retranchant des deux parts p , qui est commun, la petite tranche se trouvera, en définitive, poussée de haut en bas par la résultante g, — p -+- dp. Ainsi, pour qu elle demeurât en équilibre à la distance r, où nous la supposons placée, il faudrait que cette résultante fût nulle, c’est-à-dire qu’on eût :

(0 dP- - gi^pdr;

et, pour que toutes les tranches pareilles, dont le cylindre se compose, lussent de même individuellement en équilibre à leur distance propre r, il faudrait que, depuis la station d’observation jusqu’au sommet de l’atmosphère, l’équation (i) eût généralement lieu entre les éléments variables P, P, r.

» Nous ne pouvons pas supposer à priori que cette condition d’équilibre se trouve naturellement remplie dans le cylindre d’air de notre atmosphère sphérique, construit avec les valeurs de p et de p, qui ont existé simultanément aux distances r, prises sur chacune des verticales de notre secteur, au moment où l’élément lumineux les a traversées. C’est pourquoi, désignant en général par -+- dp, ce qu’il faudrait analytiquement ajouter au dp réel, pour que chaque tranche infiniment mince demeurât fixe à la distance r , avec sa densité actuelle p , je remplacerai l’équation (i) par son analogue ainsi corrigée, qui sera

(2) dp + dp = - g,y2pdr‘,

dans celle-ci, dp devra être considérée comme une fonction de r, toujours très-petite de l’ordre dr, mais qui peut varier discontinument, de manière à devenir au besoin, et par intermittences, positive, nulle ou négative. Il restera à chercher plus tard quelles peuvent être physiquement les valeurs de dp aux divers étages de notre cylindre d’air, et quelle influence leur ensemble peut avoir pour modifier la réfraction opérée par le secteur sphérique dans lequel la trajectoire est comprise. En outre, on devra se rappeler, que, par convention, les dp de l’équation (2) sont ceux qui ont réellement lieu à chaque étage de l’atmosphère auxiliaire que nous avons construite avec les éléments des couches aériennes que notre trajectoire lumineuse a traversées; en sorte que leur somme équivaut à la pression p{, qui s’exerce au niveau de la station d’observation, et qui est mesurée par la hauteur du mercure contenue dans le baromètre qu’on y a placé.

» Maintenant, je prie le lecteur de vouloir bien se reporter à mon Mémoire sur les réfractions atmosphériques inséré parmi les Additions à la Connaissance des temps pour l’année 1 83q, et dans lequel j’ai obtenu deux évaluations analytiques, l’une certainement trop faible, l’autre certainement trop forte de la réfraction, correspondante à une distance apparente quelconque Q{, dans une atmosphère où les couches d’égale densité sont supposées sphériques et en équilibre. Dans notre étude actuelle, la sphéricité de ces couches est un résultat de construction, puisqu’elles ont été formées par cette condition même, d’après la série réelle des densités que l’élément lu-

mineux avait rencontrée sur son passage, en décrivant la trajectoire isolée que nous considérons. Jusque-là toutes les formules établies dans le Mémoire cité sont applicables. Mais de plus, en le consultant aux pages 57 et 67, on y verra que pour obtenir les deux limites de la réfraction, il n’est nécessaire de recourir à l’équation (1) de l’équilibre que pour évaluer l’intégrale :

h p adr

dans laquelle a désigne le rayon de la Terre à la station d’observation, p la densité à la distance r du centre, et k un coefficient qui dépend du pouvoir réfringent spécifique de l’air à cette même distance. Les indices annexés au signe d’intégration signifient, selon l’usage, que l’intégrale doit être effectuée pour toute la hauteur de l’atmosphère, depuis la valeur inférieure de r qui est a, jusqu’à la supérieure qui est a -t- h ; de manière que si elle se trouve être exprimée analytiquement par <p(r)4- const., sa valeur définie sera f(a -f- h) — <p [à).

» Dans la généralité du problème des réfractions, k doit être considéré comme une fonction variable de r. Car, indépendamment de l’humidité dont nous avons fait abstraction, il changerait avec la hauteur si l’air atmosphérique avait une composition chimique différente à des hauteurs diverses. Mais, comme les expériences faites jusqu’ici s’accordent à montrer qu’elle est partout la même, sauf de très-petites différences locales et accidentelles, qui très-probablement 11e se produisent que dans le voisinage immédiat de la surface terrestre, par l’effet des émanations gazeuses qui en sortent, et des modifications chimiques occasionnées par l’action de l’homme, je ferai abstraction de ces particularités propres aux couches d’air tout à fait inférieures, et je traiterai le coefficient k comme constant. Le faisant donc sortir, à ce titre, de dessous le signe f, l’intégrale à évaluer sera simplement

Jr» a a

1 adr

» Or, un procédé bien simple va faire voir pourquoi cette somme se conclut immédiatement de la condition d’équilibre, quand elle existe, et pourquoi on ne peut l’obtenir sans y avoir recours, à moins que des considérations particulières au problème que l’on traite, n’autorisent à s’en dispenser.

» A cet effet, je donne à l’intégrale demandée la forme équivalente B. 8

/- ra^hg<a'pdr . . . , .

1 ; — 5 qui, en remplaçant g, hors du signe J par sa valeur

S' ft J a r

tirée de la relation p, = pt g, /, devient

L ko - r** g'a'Pdr-

maintenant, la quantité qui se trouve sous le signe d’intégration représente le poids de la petite couche aérienne située à la distance r du centre, ayant pour densité p, pour hauteur dr, et pour base l’unité de surface. Ainsi, la somme qu’il s’agit d’effectuer est celle de tous ces poids élémentaires contenus dans la colonne verticale qui s’étend depuis la station d’observation, jusqu’au sommet de l’atmosphère. Quand la masse gazeuse est en équilibre, cette sommation est facile. Car alors, chacun de ces poids équivaut à l’incrément — dp de la pression à la distance r; et leur somme prise depuis r = a jusqu’à r = a + h est représentée par la pression totale pt ; de sorte que l’intégrale demandée multipliée par ses facteurs extérieurs, est:

-F ou simplement -+ -

Pour apprécier l’importance numérique de ce produit, je prends les données suivantes qui ont été adoptées par Ivory, comme base de ses Tables de réfraction,

^ = 0,0012940, kpt — 0,000 i4i83o4;

cela suppose qu’à la station d’observation la température t{ = -4- 10 degrés centésimaux, et la pression p{ = omJr]62.

» L’extrême petitesse de ces nombres fait que leur produit, converti en secondes sexagésimales de degré, vaut seulement o", 037846. Il entre avec cette faible valeur dans l’expression des deux limites de la réfraction, propres à chaque distance zénithale apparente ô, ; mais son influence s’y agrandit rapidement à mesure que 9, augmente. Toutefois, quand 9 , est égal à 80 degrés, le terme le plus fort qui en provient s’élève seulement à i3",8i5. De sorte que ce sera là son maximum d’effet pour les trajectoires les plus basses que je veuille ici considérer.

» Dans notre recherche actuelle, nous ne pouvons pas prétendre que les éléments de couches sphériques, pris sur les diverses verticales de l’atmosphère réelle aux points où la trajectoire lumineuse les a traversées, composeront un système gazeux nécessairement stable, quand elles seront super-

posées dans le même ordre, avec leurs conditions physiques propres* pour former l’atmosphère sphérique dans laquelle nous les assemblons. Or un tel système étant donné, quand chaque petite couche de l’épaisseur dr , n’est pas individuellement équilibrée par l’incrément de la pression à la hauteur où elle se trouve, la pression p , que supporte la couche d’air inférieure située au niveau de la station d’observation, et que le baromètre indique, n’est plus seulement produite par la somme de leurs poids. Elle représente cette somme accrue par la résultante de toutes les forces étrangères à la pesanteur, qui agissent aux divers étages de la colonne aérienne pour soulever ou abaisser chaque couche élémentaire dans le sens vertical. Aussi notre équation corrigée (2), donne-t-elle, pour ce cas :

d’où l’on déduit

-kpt — f

g 1 a7pdr

-LkP^fyP-ikPlijjP.

Le premier terme du second membre a pour éléments les dp réels, qui, pris en somme, composent la pression totale pt, manifestée par le baromètre à la station d’observation. L’intégrale de ce premier terme, effectuée depuis la base de l’atmosphère sur sa limite supérieure sera donc o — p{ ou — pt , laquelle étant affectée extérieurement du signe — donnera pour résultat H- p,, comme précédemment. On aura ainsi en définitive :

/ J 1 C h gxa'pdr l . I J 1 r° .

fii-.J’ ■ = + - ko, kpt. - / dp.

a r PJa a 1 a r pj r

Pour avoir la valeur complète du premier membre qui est l’objet spécial de notre recherche, il reste à évaluer la somme des dp, qui nous sont individuellement inconnus.

» Or, sans connaître leurs valeurs ni même leurs signes propres, la notion que nous avons de leur provenance physique suffit pour leur assigner plusieurs caractères qui nous feront apprécier avec une suffisante approximation, quel peut être l’ordre de grandeur de leur ensemble. D’abord, à la surface supérieure de l’atmosphère dp sera nulle, puisque la pression est nulle dans toute cette surface. Il est aussi physiquement présumable que les valeurs individuelles de dp devront être très-faibles dans les couches aériennes très-élevées. Car les accidents météorologiques, dont l’effet pour troubler la stratification de la masse atmosphérique est le plus manifeste, sont presque toujours excités

par des causes physiquement appréciables: par exemple, l’action calorifique du Soleil immédiatement exercée, en proportion prédominante, sur certaines parties de la surface de la Terre ou de la mer; un développement local exagéré de la vapeur aqueuse, ou sa précipitation soudaine et pareillement locale sous forme de pluie, de neige, de glace; à quoi se joignent des dégagements et des recompositions d’électricité qui déterminent des expansions ou des vides partiels dans les points où ils s’opèrent. Or, tous ces phénomènes perturbateurs doivent cesser de se produire, ou devenir au moins très-faibles et très-rares, dans la portion de l’atmosphère qui, étant soustraite par sa distance aux perturbations calorifiques engendrées par le contact immédiat de la surface terrestre, est en outre préservée contre la cause la plus puissante d’agitation, par cette circonstance que la vapeur d’eau n’y existe plus en quantité sensible, ce qui a lieu vers 9000 ou 10000 mètres de hauteur. De là, jusqu’au terme supérieur de l’atmosphère, on ne voit aucune raison physique ou mécanique qui puisse empêcher les couches aériennes de s’être disposées à la longue dans un état de stratification permanent, conforme aux conditions d’équilibre relatif que la gravité leur impose : ou, si des causes qui nous sont inconnues peuvent produire en quelques-uns de leurs points des dérangements accidentels, ils doivent être par cela même très-faibles, peu durables, et de sens occasionnellement contraires à diverses hauteurs, sur chaque verticale, à un même instant. Je conclus de ces considérations, que, dans toute cette étendue supérieure à 9000 ou 10000 mètres, les valeurs du terme correctif à p, qui exprime les écarts de l’état réel autour de l’équilibre, doivent, si elles ne sont pas nulles, être extrêmement petites, et de nature à se compenser en partie mutuellement sur les divers points d’une même verticale. Or, comme nous l’avons prouvé, la trajectoire lumineuse qui arrive sous la distance zénithale apparente de 80 degrés, à la station d’observation, telle que nous l’avons placée et isolée du sol terrestre, accomplit la plus grande partie de son cours dans cette région élevée ; de sorte que, tant qu’elle y reste comprise, l’équation de l’équilibre peut, en somme, lui être légitimement appliquée, surtout quand on l’emploie seulement, comme je l’ai fait, pour évaluer, dans l’expression totale de la réfraction, un terme très-petit, auquel les faibles dérangements, tout au plus supposables, dans l’équilibre de la masse gazeuse à de grandes hauteurs, 11e pourraient apporter que des modifications bien plus petites encore, qui, par cela même, deviendraient inappréciables à l’observation.

» Suivons maintenant notre trajectoire quand elle commence à entrer

dans les couches d’air plus basses que 10000 mètres. Alors elle n’est plus séparée de la verticale de l’observateur que par un angle au centre de 3o' ; et lorsque cet angle est réduit à i5', elle se trouve encore à plus de 4900 mètres au-dessus de son niveau, par conséquent bien plus haut que le domaine habituel des nuages. Il me suffit donc, pour assurer ce reste de sa marche, d’avoir spécifié que l’observation est faite par un temps calme et serein. Car s’il est tel à la station, les couches aériennes comprises dans une amplitude de 1 5' autour du zénith seront calmes, et leur stratification, toujours très-approximativement horizontale, ne pourra déroger que très-peu aux lois de l’équilibre, en des sens divers Ainsi dans cette dernière portion même, la plus ordinairement exposée au trouble, les valeurs individuelles du terme correctif dp seront encore très-restreintes, et de nature à se compenser en partie dans leur somme totale.

» Il résulte de cette discussion que, dans les circonstances d’observation

que nous avons spécifiées, l’intégrale f —•> sera par elle-même une trèspetite fraction de l’unité. Or, elle n’entre dans le second membre de l’équation (3) que multipliée par le facteur l- kp{ lequel est déjà si faible, qu i! influe

pour moins de i4" dans l’évaluation des deux limites de la réfraction à la distance zénithale apparente de 8o degrés. Donc, à cette distance du zénith ,

le terme correctif l- h pt » ne pourra donner que des fractions excessivement faibles ou insensibles de ces mêmes quantités. Par conséquent, dans ces circonstances et dans ces limites d’application, les réfractions calculées par les géomètres, sur l’hypothèse d’une atmosphère sphérique en équilibre, doivent se trouver, comme elles se trouvent en effet, très-approximativement conformes aux réfractions réelles, parce que la condition de sphéricité peut être remplie rigoureusement par construction pour chaque trajectoire isolément considérée, et que ce qui peut manquer alors à la condition d’équilibre ne pourrait produire, à cette distance du zénith, que des effets trespetits, le plus souvent insensibles, toujours accidentels, et de nature a se compenser en grande partie par opposition.

» Quoiqu’il puisse paraître inutile de matérialiser la démonstration précédente par des preuves numériques, j’en rapporterai une qui sera fondée sur la supposition la plus démesurément exagérée que l’on puisse imaginer pour la trouver en défaut. J’admettrai, en premier lieu, que, depuis le sommet de l’atmosphère jusqu’à la station d’observation, la valeur du terme correc-

tif c?p, est, dans chaque couche infiniment mince, ~ de dp. C’est-à-dire que

si deux couches sphériques de notre atmosphère instantanée se trouvent, en réalité, soumises à des pressions différentes entre elles de 10 centimètres de mercure, il faudrait, pour les ramener à l’équilibre, réduire celte différence à 9 centimètres, ou la porter à i i : ce qui semble incompatible avec la condition que j’ai posée, que le temps soit calmé et serein à la station d’observation. J’admettrai en outre, contre toute vraisemblance physique, que, dans l’épaisseur entière d’air traversée par ia trajectoire lumineuse, ces corrections se trouveront être toutes de même signe, soit positives, soit négatives, sans aucune compensation. Alors l’intégrale j prise depuis le sommet de l’at-

mosphère jusqu’à l’observateur, sera zh et comme ce doit être multi-

plié par l~kp\, il en résulterait une correction moindre que ± i",4, dans

l’évaluation des deux limites de sa réfraction à 80 degrés de distance zénithale apparente. Or, si toutes les exagérations que je viens d’accumuler, la donnent encore si petite, à quel point ne devra-t-elle pas se trouver atténuée et rendue insensible, dans les conditions réelles dont nous avons reconnu plus haut les particularités!

» Tel est le dénoûment du paradoxe que j’ai signalé en commençant ces communications. Les réfractions calculées par les géomètres, dans l’hypothèse d’une atmosphère sphérique en équilibre, s’accordent avec les réfractions réelles jusque vers 80 degrés de distance zénithale, en vertu de deux causes maintenant évidentes : d’abord, parce que la condition de sphéricité n’entre dans le calcul qu’à titre de construction géométrique, légitimement applicable à chaque trajectoire lumineuse considérée isolément; puis, parce que la condition d’équilibre n’y est employée que pour évaluer un terme des formules qui, ayant une valeur très-petite quand cette condition se trouve remplie en toute rigueur, ne peut éprouver que des modifications insensibles ou à peine sensibles, par les dérangements accidentels qui peuvent physiquement se produire dans le secteur atmosphérique peu écarté de la verticale de l’observateur, où sont comprises toutes les trajectoires qui lui arrivent depuis le zénith jusqu’à la distance apparente de 80 degrés Cette dernière considération ne peut plus être appliquée aux trajectoires qui arrivent à l’observateur très-près de l’horizon, à cause de la grande amplitude du secteur atmosphérique où elles s’accomplissent, et des perturbations énormes, impossibles a prévoir, qu’elles doivent généralement éprouver, en

rampant longtemps, prèsde lasurface terrestre, dans les dernieres portions de leur cours. Ces deux cas, J’un de certitude que la science géométrique peut atteindre, l’autre d’incertitude où elle est réduite par les nécessités physiques, doivent, à son honneur, être soigneusement distingués. Jusque vers 80 degrés de distance zénithale, les Tables de réfractions théoriquement calculées par Laplace peuvent être employées avec sûreté, dans tous les climats, dans toutes les saisons, à toutes les hauteurs, quand l’observateur prendra soin de se placer dans les conditions pour lesquelles on les a établies. Elles donneront toujours, et partout, des résultats pareils, également vrais. Plus près de l’horizon, au contraire, on n’en peut espérer que des moyennes locales, qui pourront différer sensiblement d’une station à une autre, et probablement aussi dans les divers azimuts autour d’une même station.

» Les considérations que je viens d’exposer justifient, au point de vue physique, une expression approximative de la réfraction jusque vers 80 degrés de distance zénithale, dans toute atmosphère sphérique et en équilibre, que Laplace a donnée le premier, dans le tome Y de la Mécanique céleste (t) ; et elles expliquent la conformité de ses indications avec les réfractions réelles. Cette expression s’obtient par un développement en série, qui est analytiquement irréprochable dans les bornes d’application que Laplace lui assigne, comme Ivory s’est plu à le reconnaître, en le mentionnant dans son beau travail sur les réfractions inséré aux Transactions philosophiques de 1823 (2). Mais ce savant géomètre parait n’avoir pas vu pourquoi cette formule, fondée sur deux hypothèses mathématiques qui ne sont jamais complètement réalisées dans notre atmosphère, peut néanmoins donner, et donne effectivement des résultats concordants avec l’observation, quand 011 ne dépasse point les limites qui lui sont propres. Car, faute de s’en être rendu compte, il apprécie mal, à mon avis, sa justesse physique, laquelle est assurée par les deux causes que j’ai tout à l’heure signalées. En effet, la condition de sphéricité y est rendue légitime par son application isolée a chaque trajectoire lumineuse; et ensuite la condition d’équilibre n’y est employée que pour évaluer ce même terme très-petit, qui ne peut pas être

(1) Mécanique céleste , tome I, page 268, trc édition, i8o5. D’après cette formule, eu

faisant : a = , la réfraction à la distance zénithale 9, qui n’excède pas 80 de-

grés, est :

R = a ( 1 + ! a J ) tang 9, - a - i a) tang* 9.

(2) Philosophical Transactions , 1820, part. II , pages 43o et 4^3 1 .

tio SUR LA THÉORIE DES RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES.

sensiblement modifié par les accidents physiques, dans l’amplitude des distances zénithales, auxquelles l’application astronomique est bornée. Ainsi envisagée, cette formule de Laplace ne donne prise à aucune objection.

» En résumé : des deux conceptions abstraites sur lesquelles la théorie actuelle des réfractions atmosphériques repose, l’une, la sphéricité, n’est point hypothétique, quand on sait voir l’individualité de son application. L’autre, la condition d’équilibre, l’est toujours en fait ; mais, depuis le zénith jusque vers 80 degrés de distance zénithale, son emploi est justifié par les restrictions qu’on lui donne, et le peu qu’on lui emprunte. Voilà les deux principes que j’ai voulu mettre en évidence. En le faisant, je crois avoir suffisamment soustrait cette théorie aux charges que l’on a récemment élevées contre elle dans cette Académie, et aux perfectionnements dangereux que l’on avait prétendu y apporter. Telle qu’elle est, elle donne des valeurs exactes dans tous les cas où le phénomène est régulier; et elle fournit des moyennes très-approchées, lorsqu’il est rendu irrégulier par des influences lointaines dont les caprices, la notion même, échappent a toute prévision. Les grands géomètres qui l’ont établie ne nous ont laiss ' rien à y faire, au point de vue analytique, si ce n’est peut-être de former de limites de la réfraction à toute distance zénithale, qui seraient complètement indépendantes de la condition d’équilibre; et d’y introduire plus rigoureusement la diminution progressive de l’humidité dans le sens vertical, ce qui ne pourrait amener dans leurs résultats que des modifications excessivement faibles. Mais, dans la partie physique du problème, ils nous ont donné beaucoup de choses à rechercher. Depuis eux, la mesure des éléments météorologiques a été rendue plus précise, et leur détermination moins incertaine. La pratique des ascensions aérostatiques devenue plus familière, nous fournit, pour explorer la constitution de l’atmosphere des moyens qui, de leur temps, n’ont pu être que très-rarement employés. Avec tous ces secours nous pouvons utilement travailler à améliorer les données physiques de leurs calculs, pourvu que nous en comprenions assez l’esprit, pour bien connaître ce qu’ils exigent. Dans une dernière communication j’essayerai de rassembler quelques vues sur ce sujet, m’efforçant au moins d’appeler le concours des expérimentateurs de cette grande voie de recherches, où je ne puis plus marcher avec eux. »

(, Séance du i5 janvier 1 855. )

Sur le degre' de confiance que Von doit accorder aux Tables de réfractions

actuelles. Détermination des circonstances hors desquelles leur application cesse d’être légitime.

« La question que je me propose de traiter ici n’est pas d’une petite importance pour l’astronomie. Car, presque tous les éléments des mouvements célestes, qu’elle conclut des observations, dépendent de la mesure des réfractions dont celles-ci sont affectées. Et l’on s’efforcerait vainement de les rendre précis, jusque dans les centièmes de seconde de degré, comme on se flatte aujourd’hui de le faire, si l’on ne se mettait pas en garde contre les erreurs, d’un ordre bien plus considérable, que les Tables de réfractions pourraient y introduire, étant appliquées dans des circonstances, où leurs indications, bien loin d’être assurées, ne sont pas même légitimement déduites des hypothèses employées à leur confection. Or c’est là malheureusement ce qui arrive tous les jours , ainsi que je le montrerai trop évidemment.

» D’après la discussion que j’ai établie dans mes communications précédentes, on a vu que la théorie générale des réfractions atmosphériques comprend deux applications d’une difficulté très-inégale. L’une, la moins dépendante des accidents physiques, s’étend depuis le zénith jusque vers 8o° de distance zénithale apparente. L’autre, qui en est incomparablement plus troublée, embrasse les trajectoires lumineuses plus voisines de l’horizon. J’ai montré comment, et pourquoi, la formule approximative établie par Laplace, pour le premier cas, est irréprochable dans sa composition mathématique ; n’empruntant à l’atmosphère réelle que des caractères généraux parfaitement justifiables, dans les conditions d’application auxquelles on la restreint. Quant aux réfractions qui s’opèrent plus près de l’horizon, il n’est pas possible de les obtenir par un calcul théorique, même approximatif, sans définir mathématiquement l’atmosphère, ou au moins la portion de l’atmosphère, parcourue, à chaque instant, autour d’un même observateur, par les trajectoires lumineuses qui les produisent. Cela ne saurait se faire aujourd’hui que par des hypothèses plus ou moins assorties au peu que nous savons des réalités. Et encore, dans la voie que les géomètres ont jusqu’à présent suivie, on ne peut tirer parti de ces fictions que si elles se prêtent B. 9

à des intégrations générales, ce qui restreint considérablement la justesse de leur appropriation physique. Telle est la double difficulté de ce problème, qu’ont successivement attaqué, avec toutes les ressources de la science analytique, Laplace, Bessel, Ivory. Pour apprécier utilement leurs théories, je déduirai de chacune d’elles, son interprétation physique. Je reconstruirai les atmosphères qu’elles supposent, et je montrerai leurs caractères spéciaux. En les comparant, alors, à ce que nous savonsde l’atmosphère réelle, à ce que nous pouvons croire présumable, ou espérer de découvrir, on verra clairement ce qui, dans ces théories, est assuré, incertain, inexact; et, par suite, ce qui nous reste à chercher.

» Mais d’abord, puisque la formule approximative de Laplace est théoriquement incontestable dans les limites d’application auxquelles il la restreint, il faut achever de la rendre pratiquement sûre, en donnant à ses éléments physicpies des valeurs plus exactes qu’il ne les avait, et telles qu’on les a, ou qu’on peut les avoir aujourd’hui. Ces éléments physiques sont au nombre de deux, qu’il désigne par les lettres / et a. Le coefficient / ne contient de variable que la température de l’air à la station d’observation, et la proportion de vapeur aqueuse qu’il renferme ; deux choses qui peuvent être à chaque instant accusées par un thermomètre exact, et par les procédés hygrométriques de M. Régnault. A cela se joignent deux constantes, également bien connues aujourd’hui. La première est le rapport de la densité du mercure à celle de l’air atmosphérique sec, pris à la température de la glace fondante et sous la pression om,7Ô, à la latitude où l’on observe ; rapport que M. Régnault a aussi déterminé très-exactement. La seconde est le coefficient de la dilatation des gaz permanents, sur lequel ses expériences et celles de M. Magnus ne laissent plus de doute. Rien ne manque donc pour calculer le coefficient l delà formule de Laplace dans toutes les conditions d’observation où elle doit s’employer. Je n’y ai même mentionné l’intervention de la vapeur aqueuse que pour ne rien omettre de ce qui le compose ; car, dans les circonstances naturelles où se font les observations astronomiques, il sera bien rare que sa valeur en soit sensiblement affectée (i).

(i) Dans la formule (B ) , insérée au § g du livre X de la Mécanique céleste, le coefficient l «st calculé dans la supposition que l’air, à la station d’observation, est exempt de vapeur aqueuse, et se trouve à la température t ,. En conséquence, si l’on désigne par /„ sa valeur à la température de la glace fondante, et que e soit le coefficient de dilatation de l’air o ,oo366, que Laplace suppose être 0,00876, on aura, pour ce cas,

c’est aussi l’expression que Laplace lui attribue. Maintenant, supposez que l’air autour de la

» L’autre coefficient de la formule, que Laplace appelle a, dépend du pouvoir réfringent que l’air exerce dans la couche atmosphérique où l’observateur est placé; de sorte qu’il doit varier avec la densité de cet air, et avec sa composition chimique. On sait maintenant, qu’abstraction faite de la vapeur aqueuse qui peut s’y trouver contenue en quantité plus ou moins abondante, cette composition est la même dans toutes les régions du globe et à toute hauteur, sauf quelques variations accidentelles dans les proportions relatives de l’oxygène, de l’azote, de l’acide carbonique, qui sont beaucoup trop petites pour que les réfractions en soient sensiblement affectées. Quant à la présence de la vapeur aqueuse, nous avons prouvé, Arago et moi, par des expériences directes, que l’air sec et l’air humide, étant soumis à des conditions identiques de pression et de température, exercent la même action réfringente, sans différence appréciable, comme Laplace l’avait soupçonné (i); d’où il suit que l’on peut évaluer le coefficient a de la formule, d’après les conditions météorologiques apparentes, en supposant l’air complètement sec. On admettait aussi, d’après quelques expériences d’Hansbee, que, dans toutes les températures naturelles où les réfractions s’observent, le pouvoir réfringent de l’air est constamment pro-. portionnel à sa densité actuelle, calculée par la loi de Mariotte, sans que la

station contienne une certaine quantité de vapeur aqueuse dont la tension propre soit o, , en sorte qu’elle soutienne cette portion de la pression totale pt qu’on observe. La valeur de l sera alors

Pi

elle ne différera donc de la précédente que par l’adjonction du facteur

Pi

qui, dans

les conditions hygrométriques naturelles à l’air libre, ne surpassera l’unité que par une fraction très petite, dont l’influence se trouvera encore excessivement affaiblie dans l’expression de la réfraction, où elle n’entre que divisée par le rayon a de la terre.

Ces diverses modifications des valeurs de l sont démontrées en détail dans la première partie de mon Mémoire sur la réfraction astronomique , insérées aux Additions à la Connaissance des Temps pour i83g. L’expresion de /, que je rapporte ici , s’y trouve à la page 16. Comme

on supposait alors s égal à o,oo375 ou g—, j’avais, dans les calculs subséquents, rem-

placé le facteur g par tooe. Mais cette substitution ne peut plus avoir lieu quand s est

o,oo366; et il faut restituer au facteur g son expression explicite comme je le fais ici.

(i) Mémoires de la Classe des Sciences physiques et mathématiques de l’Institut pour 1806.

chaleur y intervienne autrement que pour modifier sa force élastique. Nous avons vérifié ce fait capital, Arago et moi, par des expériences nombreuses et précises, entre des limites de températures qui ont varié naturellement depuis — i°,d cent., en hiver, jusqu’à -f-3i°,4 en été; et nous les avons étendues artificiellement fort au delà de ce dernier point. Quant aux pressions, nous les avons variées depuis le vide parfait, jusqu’aux plus grandes hauteurs du baromètre qui se réalisent naturellement à la surface de la terre. Cela suffisait pour notre but ( 1 ).

» Sachant ainsi calculer les valeurs relatives du pouvoir réfringent, et par suite celles du coefficient a, dans tous les états de pression et de température que puisse éprouver la couche d’air, où l’astronome se trouvera placé, on n’a plus qu’à connaître sa valeur absolue, pour une température et une pression assignées, par exemple, o° et om, 76, à une latitude définie; ce que je désignerai par a0. Borda avait entrepris cette recherche. Mais la mort l’avait interrompue, sans qu’on ait pu en retrouver autre chose que l’appareil ingénieux qu’il avait imaginé pour l’effectuer. Nous avons été chargés, Arago et moi, de la reprendre, avec ce même appareil ; ce que nous avons fait par une .suite d’expériences que nous avons eu lieu de croire très-précises, y ayant consacré plusieurs mois, avec d’excellents baromètres et un nombreux assortiment de thermomètres très-exacts, que Gay-Lussac avait construits et divisés lui-même pour nous (2). La constante ainsi obtenue s’est trouvée a peine différente de celle que Laplace avait adoptée d’après un autre mode de détermination dont je parlerai tout à l’heure. Mais nos résultats avaient besoin d’être calculés de nouveau, avec les véritables dilatations de l’air et du mercure, qui n’étaient pas exactement connues alors. Une personne aussi zélée qu’habile, M. Caillet, examinateur de la marine, qui a déjà rendu le même service aux Tables de Laplace, a bien voulu se charger de ce soin ; et nos déterminations ainsi rectifiées, se sont montrées encore plus concordantes entre elles qu’elles ne le paraissaient auparavant. L’Académie en peut juger par le travail même de M. Caillet que j’ai eu l’honneur de lui présenter, dans sa dernière séance, et qui est inséré au Compte rendu.

» L’autre procédé auquel je viens de faire allusion consiste à déduire la constante a0 des observations astronomiques elles-mêmes. Pour cela le moyen le plus exact, et je crois pouvoir dire le seul légitime, c’est de n’y

(1) Mémoires de la Classe des Sciences physiques et mathématiques de l’Institut de France pour 1807.

(2) Ibid., 1806 et 1807.

employer que des passages supérieurs et inférieurs d’étoiles circompolaires, observés, pour chacune, à peu d’intervalle, entre des limites de distance zénithale qui n’excèdent pas ou seulement de très-peu 8o°. En effet, le pouvoir réfringent de l’air, étant déjà très-approximativement connu, et le coefficient l de la formule étant toujours directement calculable, la réfraction Rg qui correspond à chaque distance zénithale 0, observée dans ces limites peut se mettre sous la forme suivante :

Rô = Aa0 + B a20

où les valeurs actuelles des coefficients A , B, peuvent toujours être assignées en nombres. Alors chaque couple de passage supérieur et inférieur, fournit une équation de condition, qui ne contient d’inconnue que la constante a0, et la distance D du pôle, au zénith du lieu d’observation. De sorte qu’en formant un grand nombre d’équations pareilles on peut déterminer très-exactement ces deux quantités. Les avantages particuliers qu’offrent ainsi les étoiles circompolaires pour déterminer directement les valeurs des réfractions, à diverses distances du zénith , sont connus de tous les astronomes; et personne n’ignore les applications multipliées que Brinkley, Delambre, surtout Bessel, en ont faites à ce problème. Mais, outre l’imperfection des données physiques alors admises, et sur lesquelles ils ont dû s’appuyer, l’espérance qu’ils avaient d’en déduire des Tables de réfraction complètes, leur a fait combiner ensemble, pour ce but, des observations qui descendent bien au delà de 8o° du zénith; de sorte qu’elles entrent dans cette région incertaine des réfractions, où leur coordonnalion dépend des hypothèses que l’on adopte sur la constitution de l’atmosphère ; et ainsi, la valeur de la constante a0, conclue d’un tel ensemble, se trouve toujours plus ou moins mêlée aux incertitudes que ces hypothèses comportent. Delambre, qui a fourni à Laplace la valeur de cette constante dont il a fait usage, est tombé plus que tout autre dans cet excès, puisqu’il déclare y avoir combiné les observations d’étoiles circompolaires, avec des observations du Soleil étendues jusqu’à 90° 20', de distance zénithale! Il me semblerait donc essentiel que cette détermination fût reprise dans son application spéciale à la formule approximative de Laplace ; soit au moyen d’observations astronomiques nouvelles ; soit en extrayant des observations antérieures, celles qui ne sortiraient pas des limites de distance zénithale qu’elle embrasse. Et pour aider à obtenir ce perfectionnement désirable, je la joins ici en note toute préparée avec les données les plus minutieusement exactes que l’on y puisse aujourd’hui introduire.

» Les corrections expérimentales que je viens d’énumérer étant supposées faites, la formule de Laplace fournira une Table de réfractions théoriquement assurée, jusque vers 8o° du zénith, et applicable dans toutes les régions du globe, comme à toutes hauteurs où les observateurs voudront se transporter. Les perturbations accidentelles de l’atmosphère, à moins qu’elles ne soient excessives, n’occasionneront, dans ses résultats, que de très-petites erreurs, variant, à différents jours, en des sens divers ; et de nature à se compenser entre elles, dans une série d’observations, même peu nombreuses, comme on en a la preuve matérielle, par celles que j’ai faites à Formentera, en 1825. Ce précieux présent, l’astronomie le doit tout entier à Laplace. Voyons maintenant ce que lui-même, et ses successeurs, ont pu faire pour étendre la théorie des réfractions au delà de ce premier pas si important.

» Là, nous sortons de la seule approximation qui soit légitime, pour entrer dans le domaine des hypothèses. Or il s’y présente tout d’abord une cause d’incompatibilité fondamentale, entre l’application régulière du calcul théorique, et les exigences des astronomes. Les réfractions qui s’opèrent près de l’horizon, sont rendues perpétuellement variables à une même distance du zénith, par des accidents météorologiques lointains qu’il est impossible de prévoir et d’apprécier. Dans ces circonstances, tout ce que le géomètre pourrait espérer, ce serait de concevoir une atmosphère tranquille, constituée, aussi approximativement que possible, comme le serait la véritable si elle était soustraite aux causes qui la troublent, et d’en déduire les valeurs des réfractions qui s’opéreraient ainsi en moyenne, si ces accidents perturbateurs n’existaient pas ; mais cela ne satisferait nullement les astronomes, qui demandent des Tables de réfractions applicables aux divers états météorologiques de la couche d’air où se trouvent leurs instruments; de sorte que le géomètre qui ne peut établir ses calculs que pour le cas idéal d’une atmosphère tranquille et d’une constitution fixe, est ensuite obligé d’en rendre les effets optiques variables pour satisfaire aux nécessités des observateurs. Les Tables que l’on a déduites de la théorie de Laplace n’échappent pas à cette incompatibilité plus que les autres. Mais il en a eu le sentiment. Car, après avoir soigneusement expliqué les réductions que son expression approximative de la réfraction exige, pour être adaptée aux divers états de pression et de température de la couche d’air où se trouve l’observateur, il 11e dit nulle part que l’on doive, ou que l’on puisse, faire subir des réductions analogues à la partie hypothétique de ses formules, afin d’en rendre l’application aussi étendue. Ce sont les astronomes calculateurs, qui, voulant les convertir en Tables usuelles, leur ont donné, tant bien que mal, avec

son agrément peut-être, ce caractère général de variabilité qu’elles ne comportent point.

» Voici la conception géométrique qui leur sert de fondement. Laplaee établit ses calculs pour un observateur placé au niveau de la mer ; la température tK à sa station étant o°, et la pression pt1 Il 11’entend donc-

pas les appliquer à l’état moyen, mais à un état spécial de l’air, dans notre climat. Autour de son observateur, il constitue une atmosphère d’air sec, dont les couches d’égale densité sont sphériques et en équilibre ; deux conditions qu’il faut concevoir restreintes à la portion angulaire de cette atmosphère qui est parcourue presque instantanément par chacune des trajectoires lumineuses que l’on veut considérer. J’ai montré, qu’à ce point de vue, la sphéricité des couches peut être légitimement admise, à titre de construction auxiliaire. Mais l’équilibre sera un cas exceptionnel, d’autant plus rare que les trajectoires considérées devront traverser, dans une plus longue portion de leur cours, les plages inférieures et troublées d’un secteur atmosphérique plus étendu. Ces conventions étant faites, il ne reste, pour achever de définir la constitution de ce secteur, qu’à y établir arbitrairement une relation générale entre les températures £, les pressions p, et les densités p, à une distance quelconque r du centre. Car la condition d’équilibre, et la loi de dilatabilité des gaz, fournissent déjà deux relations obligées entre ces quatre variables. De sorte que, si on leur en assigne arbitrairement une troisième, les trois premières £, p, p, se trouveront déterminées, pour chaque distance /• du centre. Ainsi la constitution de l’atmosphère idéale sera complètement fixée; et l’on n’aura plus qu’à en déduire, par le calcul analytique, les réfractions qui doivent s’y opérer à toute distance du zénith.

» C’est uniquement dans le choix de cette troisième relation arbitraire, que consiste la différence des théories de Laplaee, de Bessel, et d’Ivory. L’exposition préliminaire que je viens de présenter servira donc également pour toutes, et je n’aurai plus à la répéter.

» Laplaee ouvrait une voie nouvelle. Il commence par en sonder les abords, et se procure un signal certain pour s’y diriger. Il s’impose, comme condition déterminative de toute hypothèse, que, dans les circonstances météorologiques assignées par lui à la station d’observation, l’atmosphère idéale y fasse la réfraction horizontale égale à 35' 6", valeur qu’il admet comme étant une moyenne entre toutes celles que les astronomes observent dans ces mêmes circonstances. Quoique le choix d’une telle donnée ne comporte pas une rigueur absolue, du moins le nombre adopté 35' 6", ne peut être que très-proche de la vérité, dans le cas particulier d’application

qu’il lui donne ; et ainsi, la légitimité de son emploi, comme type approximatif de la réalité physique, est alors incontestable. Laplace s’en sert pour éprouver la convenance relative des systèmes d’atmosphères que les géomètres avaient employés avant lui, pour calculer les réfractions. L’hypothèse qui fait décroître les températures par différences égales, pour des accroissements égaux de hauteur, lui donne une réfraction horizontale beaucoup plus faible que 35' 6" dans les circonstances météorologiques supposées; celle qui fait la température constante lui donne cette réfraction beaucoup trop forte. Or, dans.la première, les pressions se trouvent être proportionnelles au carré des densités; et, dans la seconde, elles sont proportionnelles à la première puissance de ces mêmes densités. Il en conclut que la relation véritable, ou du moins celle qui s’assimilera le plus approximativement à l’atmosphère réelle, doit être un assemblage de ces deux puissances. Alors, il compose une expression mathématique qui les réunit, en se prêtant aux intégrations, et en conservant, dans sa contexture, une quantité indéterminée, dont il dispose pour y rendre la réfraction horizontale, conforme à son type. L’atmosphère ainsi définie se trouve donc constituée spécialement pour les circonstances météorologiques que ce type suppose ; ses constantes déterminatives, seraient autres, si ces circonstances étaient différentes, parce qu’il aurait fallu les approprier à un autre type de réfraction horizontale. Cette extension, pour devenir générale, exigerait une masse d’observations et de calculs numériques si effrayante, que personne ne les entreprendra jamais, tant l’hypothèse mathématique adoptée par Laplace est d’un emploi difficile; mais, par cela même, les réfractions que l’on en peut déduire, s’appliquent seulement aux circonstances physiques pour lesquelles son atmosphère fictive est fabriquée. A la vérité, il prouve que le décroissement des températures qui en résulte, entre la surface terrestre et la plus haute station de Gay-Lussac, diffère peu de celui que cet habile physicien a observé, quoique cette donnée ne soit entrée pour rien dans la confection de l’atmosphère hypothétique. Mais cette concordance approchée, n’a que très-peu de force comme épreuve confirmative, parce que, dans l’ascension de Gay-Lussac, la température de l’air à la station de départ, était 3o°,75, et non pas o°. Or, rien n’autorise à penser que le décroissement dût être le même, dans les deux cas; et il y a au contraire toute raison de croire qu’il serait différent. Enfin, la relation mathématique, employée par Laplace pour caractériser son atmosphère fictive, lui donne une étendue infinie, tandis que la nôtre est bornée; et il a été contraint de la faire telle, pour y pouvoir adapter les formules géné-

SUR LA THÉORIE DES RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 6g

raies d’intégration propres à ce problème, formules laborieusement préparées par Kràmp, et les seules que l’on possède encore aujourd’hui. Par tous ces motifs, on est obligé de reconnaître que cette théorie de Laplace, relative aux réfractions qui s’opèrent à de grandes distances du zénith, n’a d’application légitime que dans l’atmosphère idéale qu’il a considérée, et dans le cas spécial de pression et de température inférieure pour lequel il l’a établie ; limitation qu’il me paraît avoir lui-même sentie, et reconnue par son silence, n’ayant indiqué nulle part qu’on dût l’étendre à d’autres cas.

» En montrant ces vérités, nécessaires au progrès de la science qu’il a aimée avant toutes choses, je ne crois pas manquer de respect à sa mémoire. Elles n’ôtent rien au mérite qu’il a eu d’attaquer le premier ce problème, en s’efforçant d’assujettir l’analyse aux conditions physiques dont il dépend ; et d’y avoir appliqué, en les étendant, les travaux pénibles que Kramp avait faits pour surmonter les difficultés d’intégration qu’on y rencontre. Par ce double service, il a tracé à ses successeurs la route qu’il fallait suivre, et leur a préparé les moyens d’y pénétrer. C’est ce que l’on va voir quand j’analyserai leurs théories. Quoique celle de Bessel soit la première en date, je la réserve pour une dernière étude, tant à cause des particularités physiques qui la distinguent, qu’en raison de l’importance qu’elle a acquise, ayant servi de fondement à la Table de réfraction, que cet habile et savant astronome a insérée dans ses Tabulœ regiomontanœ, comme l’expression la plus approchée des réfractions réelles, opinion qui semble confirmée par l’usage presque général qu’en font aujourd’hui les observateurs.-Je m’attacherai donc d’abord à la théorie d’Ivory, qui est postérieure de 18 ans à celle de Laplace, et de 5 à celle de Bessel. Mais les vues et les efforts de ces hommes distingués, sur un sujet si difficile, méritent bien d’étre appréciés séparément. C’est pourquoi je remettrai l’examen de la théorie d’Ivory à la séance prochaine, dans le dessein de voir, si ce savant géomètre a été plus heureux, ou plus habile, que son devancier. »

Note relative à la Formule approximative de Laplace.

Plaçons d’abord l’observateur dans une couche d’air dont la température soit ou, et qui supporte actuellement la pression d’une colonne de mercure à cette même température , ayant pour longueur laquelle se trouve sollicitée par la gravité g,. Nommons p„ la

densité de cet air, et désignons par Rg la réfraction qui, dans ces circonstances, s’opère à B. i o

la distance zénithale apparente 9, n’excédant pas 8o° sexagésimaux. Alors la formule approximative de Laplace donne

R# = a0 tang 9 + aj