PR = FL

R étant égal à o m ,3o8 , rayon extérieur moyen de la poulie.

Ainsi, en portant sur l’échelle de tare, à partir du point C, le diamètre de la courbe de flexion obtenu dans chaque expérience, on aura sur cette échelle la valeur ‘de P et son produit par R= o m ,3o8 nous donnera la valeur de FL.

La quantité Q est donnée dans chaque cas particulier , ainsi que le rayon r des tourillons mis en expérience , il ne nous reste donc à déterminer que les tensions t et t' de chacun des brins de la courroie.

Cette recherche est basée sur deux théorèmes de mécanique appliquée , le premier, dù à M. Poncelet *, consiste en ce que la somme des deux tensions t et t est constante et , à un instant quelconque du mouvement du tambour , égale au double de la tension propre, ou naturelle T, donnée à chacun des brins de la courroie par suite de l’écartement des deux axes de rotation , laquelle est indépendante de l’action des forces et des résistances qui agissent sur le système. Il suit de là que lorsque la tension de l’un des brins augmente , celle de l’autre diminue exactement de la même quantité.

Le second théorème ** est relatif à la relation qui existe entre les tensions t et ( à l’instant où la première l’emporte tellement sur la seconde que la courroie glisse ; à ce moment en appelant f le rapport du frottement à là pression pour la courroie et la surface du tambour ou de la poulie sur lequel elle glisse ,

S la longueur développée de l’arc embrassé ,

R le rayon de la poulie ou du tambour,

* Cour» de Mécanique appliquée aux machines; section III, n° 66.

•* Leçons «le Mécanique analytique de M. de Prony; première partie, n° 66. Cours de Mécanique appliquée ; section IV, n° 636.

« = 2,71828 la base des logarithmes népériens, loge= 0,43429,

On sait qu’en vertu de ce théorème , l’on a ,

Cette relation a d’ailleurs lieu simultanément avec la précédente

t + f = aT,

et si nous y pouvons joindre une troisième équation relative à l’instant où la courroie glisse et obtenue , soit pendant les expériences , soit par des observations spéciales , faites d'ailleurs dans des circonstances identiques , il est clair que nous pourrons déterminer la tension naturelle et constante T et les tensions t et t! relatives au moment du glissement.

Connaissant alors pour une même position relative des deux axes de rotation et un même état de la courroie la somme des deux tensions la relation

jointe à 'l'équation (n° 12)

(t— OR = FL +/W = FL + 0,96 f'r'p + o,gi 5 /Vf * 0,961 fYt.

conduirait pour chaque aux valeurs respectives de t et de t' t à substituer dans la valeur du rapport f (n° 1 2) du frottement à la pression pour les tourillons soumis à l’expérience.

14 - Simplification de la formule. Mais on voit, qu’en suivant cette marche, on serait conduit pour chaque expérience à calculer les valeurs de t et t ', ce qui serait assez long vu le grand nombre d’expériences. Or , sans ôter aux résultats la précision qu’on doit désirer de pareilles recherches , on peut simplifier beaucoup ces calculs, en remarquant que les termes en t et t' du numérateur et du dénominateur peuvent se mettre sous cette forme

o,gi5< -f-o,g6it' =o,g38(< + /') — o,o23(l — f),

et que, par conséquent, en prenant pour y la valeur FL 0,4 r 3 -f* 0,0080 (f -(- 1 1 ) f= [o,g6Q + o,g 38 (<+/')> ’

on augmenterait le numérateur de 0,0002 (f — t 1 ) et le dénominateur de 0,023(1 — t').

Il est facile de s’assurer que l’erreur qui peut résulter pour f de cette substitution est tout à fait négligeable par rapport à celles qu’occasionne la variation d’onctuosité dans l’état des surfaces.

En effet , si l’on considère un des cas où la différence t — t' des tensions atteint son maximum , c’est-à-dire un de ceux où la courroie glisse , celui , par exemple , que l’on verra plus loin au n° i5, où l’on avait 1 i5 k ,35 et t — t' = 5g l ,G5 on trouve

0,0002(1 f) = O k ,OI2 • Ct 0,023 (f — f) =’l k ,372,

quantités qui, d§ns aucun cas, ne s’élèvent respectivement à de la somme des autres termes du numérateur et du dénominateur, et qui, par conséquent, ne peuvent avoir sur les résultats une influence comparable aux différences qu’y apporte la variabilité inévitable de l’état des surfaces.

Nous sommes donc pleinement autorisés à employer au calcul des expériences la formule plus expéditive

FL + 0,41 3 + 0,008 (t -{- 1*)

[o,g 6 Q+o,g 38 (< + tj]r '

\ 5 . Détermination de la tension naturelle des courroies. Il ne nous reste donc plus qu’à indiquer comment on a pu , pour chaque série d’expériences , pour une même disposition relative des axes de rotation, un même état hygrométrique de la courroie , déterminer la somme des tensions t et t!. Il existe pour cela plusieurs moyens simples , mais nous avons employé le plus souvent le suivant.

Lorsque l’appareil était en place, entièrement monté et mis en mouvement , et qu’on était ainsi assuré que la courroie avait la tension suffisante pour vaincre les résistances , on commençait une série d’expériences , pendant la durée de laquelle on ne changeait plus la distance des axes, les variations de tension ou de longueur de la courroie ne pouvaient alors provenir que de son état plus ou moins hygrométrique. L’appareil fonctionnait ainsi , sans que la courroie glissât sur la poulie , tant que la résistance opposée par les tourillons n’était pas trop grande; mais si, par la suppression de l’enduit, il arrivait que cette résistance augmentât , jusqu’à une limite telle que la courroie vînt à glisser, l’arbre en fonte cessait de tourner avec continuité, et comme le dynamomètre n’en marquait pas moins une courbe de flexion relative à la différence de tension correspondante, à cet instant, où avait alors pour déterminer t et f les deux relations simultanées

t = t'e H , (f — t'yR = FL -f-o, 4 t 3 -(- 0,007%/ -f- 0,0082!',

au moyen desquelles on pouvait déterminer t et t' et par suite t + Ü = 2T.

C’est par des observations de ce genre que l’on a déterminé ordinairement , à chaque position différente de l’appareil , par rapport à la roue , la tension naturelle de la courroie. Mais quoique le déplacement relatif des axes exerçât évidemment la principale influence sur la tension naturelle, il fallait cependant s’assurer si les variations très-sensibles qu’éprouvait l’état hygrométrique de la courroie n’avaient pas aussi une influence notable sur cette tension et aviser au moyen d’en tenir compte, si ce n’est rigoureusement, du moins avec une approximation suffisante. Cette courroie s’enveloppait sur le tambour cW, placé immédiatement auprès la roue , et que l’on avait eu la précaution de couvrir

EXPÉRIENCES SUR LE FROTTEMENT DES TOURILLONS, d’un appentis léger , pour empêcher qu’il ne fût trop mouillé et ne se décentrât , mais comme elle passait très-près de la roue, il n’était pas possible d’éviter que , dans les mouvemens rapides de celleci, elle ne fût mouillée par le rejaillissement de l’eau, que les aubes enlevaient incessamment. Aussi la courroie, qui, au commencement de chaque journée, était sèche, ou à très peu près, était au contraire à la fin presque complètement mouillée. Il résultait de là deux effets différens , qui , relativement à la marche de l’appareil - et à l’emploi des courroies dans des circonstances analogues se compensent à peu près. Le premier, c’est que la courroie s’allongeait, de sorte que sa tension naturelle diminuait; le second , c’est que le rapport du frottement à la pression pour le cuir et la poulie augmentait notablement, et par conséquent, la limite à laquelle la courroie pouvait glisser était rapprochée par le premier effet et éloigné par le second. Il était donc nécessaire à chacune des observations faites , pour déterminer la tension de la courroie, d’examiner si elle était sèche ou mouillée, afin d’introduire dans les calculs la valeur convenable du rapport / , du frottement à la pression.

-16. Observations spéciales pour déterminer la tension NATURELLE. Il me reste à rapporter les résultats des observations faites pour appliquer la méthode précédente à diverses séries d’expériences , je vais le faire par ordre.

L’appareil a été complètement mopté et a commencé à fonctionner le 8 août, et depuis ce jour jasqu’au 17 de ce même mois inclusivement il a occupé la même place ; la courroie était peu tendue et l’on a plusieurs fois observé que , lorsque ellfe était humide, elle glissait quand la courbe de flexion du ressort correspondait à l’échelle de tare , à un effort de 26 l , 5 o , exercé • à la circonférence de la poulie du rayon o m ,3o8; on a donc

FL = a6‘,5o xo“,3o8 = 8,162,

dans ce cas (voyez les expériences du n° a3 et suivans)

f,= 0,377, « = 2,71828, loge = 0,43429, -= -5- » = 3,o37.

Il IOO

Au moyen de ces données , on déduit des deux équations du numéro précédent

A partir du 18 août l’appareil fut un peu éloigné, la courrQie plus tendue et jusqu’au 28 août inclusivement la courroie sèche glissait , quand la courbe de flexion correspondait sur l’échelle à un effort de 3G U ,7 5 exercé à la circonférence de la poulie ; on avait donc alors

FL = 36‘,75 -x o",3o8 = 11,319;

on avait de plus

f = 0,282 (voyez n° 23 )

les autres données sont les mêmes et l’on déduit des deux équations employées

t = 3o‘,o8, t = 2,3541' = 7o‘,8i, t + t' = 2T = ioo l ,8g.

Depuis le 3 jusqu’au 7 novembre , époque à laquelle l’abondance des eaux permit de reprendre les expériences que la sécheresse et d’autres occupations m’avaient forcé de suspendre , la courroie étant peu tendue et humide , on a trouvé qu’elle glissait , quand la courbe des flexions indiquait sur l’échelle de tare un effort de 17 kilogrammes exercé à la circonférence de la poulie ^ on a donc

FL = i7‘,oo x o,3o8 = 5,236, ,f = 0,377, on en déduit

f = 9“, or, f = 3,1421' = 28‘,3o, t + i' = 2T = 37\3 i.

Depuis le 8 novembre jusqu’au 12 inclusivement où les expériences ont été terminées , la courroie ayant été surtendue

par l’éloignement des axes , on a déterminé la tension naturelle par un autre moyen, employé au commencement et à la fin de la journée , c’est-à-dire quand la courroie était sèche et quand elle était mouillée, c’est celui qui est indiqué au numéro 37 de la section III du cours de Mécanique de M. Poncelet. L’arbre en fonte étant arrêté et la vanne fermée, de manière à ce qu’il arrivât le moins d’eau possible , on plaçait d’abord sur l’aube horizontale d’amont de la roue hydraulique, le nombre de poids nécessaire pour faire marcher cette roue et glisser la courroie sur la poulie en fonte, mais, comme il y passait toujours un peu d’eau , qui s’amoncelait jusqu’à une certaine hauteur dans la roue, il était nécessaire de répéter l’expérience en sens inverse, en plaçant des poids sur l’aube horizontale d’aval , jusqu’à ce que la roue marchât de nouveau. En prenant la moyenne arithmétique des deux charges on compensait l’effet de l’eau, parce qu’elle agissait en sens contraire dans les deux cas et l’on n’avait plus qu’à établir la relation d’équilibre entre le poids , le frottement de la roue sur ses tourillons et la différence des tensions au moment du glissement sur la poulie en fonte.

En appelant

S le poids moyen qui faisait tourner la roue ,

R'= i m ,85 le rayon moyen des aubes,

R"=o m , 5 i 4 le rayon moyen de la poulie montée sur l’arbre de la roue , y compris la demi-épaisseur de la courroie ,

N, la pression sur les tourillons de la roue, f"= 0,08 le rapport du frottement à la pression pour ces tourillons et leurs coussinets avec enduit de saindoux ,

{ = o“,o 3 le rayon de ces tourillons,

M= 1587 kilogrammes le poids de la roue et de son arbre, f, t’, « et «' conservant les mêmes significations et valeurs que ci-dessus ,

On avait à l’instant du glissement

(/—/') R" + / - "N lf = 0,96(51 — f cos« — ? cos«') + 0,4(1 sin a . + f'sin «')

SR' et t = t'e K , j = o,g6M— o,396t'— 0,293/,

et par suite

(f— 0 R"+ 0,96 /•”:«{ — 0,396 /•Y, — o,293/‘ , 7 f = SR.

Des observations, faites quand la courroie était sèche, ont montré qu’elle glissait sous l’action d’un poids

S = 1 5 kilogrammes ; on avait alors (voyez n° a3 et suivans)

et l’on a déduit de la substitution dans les formules ci-dessus t* = 34 l ,76, t = 8 i\825, / + /' = iiG\58.

D’autres observations, faites quand la courroie était mouillée, ont donné

S = i8,5o kilogrammes , on avait (voyez n° a3 et suivans)

on en a déduit

Ces deux dernières séries d’expériences montrent que , quand la courroie est assez fortement tendue , la différence de tension produite par l’alongement hygrométrique de l’eau est très-faible, et en prenant la moyenne des deux valeurs» de t + t' obtenues dans des circonstances extrêmes , entre lesquelles s’intercalent nécessairement tous les résultats d’une même journée , où la courroie a passé successivement de l’état de sécheresse à celui d’une humidité complète , on voit que la différence de cette moyenne 1 i5 1 ,9G à chacune des valeurs extrêmes n’est pas de ^ environ de sa valeur propre.

Ce résultat est assez important pour le calcul de nos expériences, puisqu’il montre qu’ayant déterminé la somme des tensions dans le cas où la courroie était sèche ou dans celui où elle était humide, il était permis, sans crainte d’erreur sensible, de la regarder comme à très-peu près constante et égale à la valeur trouvée dans l’un ou l’autre cas } ce qui dispensait de beaucoup d’observations spéciales.

Mais il y a plus et il est facile de voir que dans notre appareil et par suite de ses dimensions et de son usage , une variation considérable dans la tension de la courroie ne peut avoir qu’une influence assez faible dans beaucoup de cas. En effet la formule du n° i3

FL+^NV = fKr-

revient à

FL *= 0,96/Qr— 0,96/pr'— (o,gi 5 « + 0,961 fr),

dans laquelle il est évident que l’influence des termes en t et f' sera d’autant moindre que / et r différeront moins de f r' et serait tout à fait nulle si l’on avait f'=f et r'=r, ce qui est d’ailleurs évident à priori. Or, dans un très-grand nombre d’expériences , r ne diffère de r 1 que de ÿ et pour tous les cas où les surfaces sont onctueuses on a, à très-peu près , f —f~

Cette observation montre que , s’il est nécessaire de tenir compte dans le calcul des résultats des expériences sur la tension de la courroie , les faibles variations qu’elle peut éprouver, par suite de son état plus ou moins hygrométrique , sont sans influence notable et qu’il suffit d’avoir déterminé la tension naturelle pour chaque position, à un instant quelconque de la série d’expériences, ainsi que je l’ai fait. On peut au reste s’assurer directement qu’en admettant dans la tension naturelle une variation de J- à f, ce qui dépasse de beaucoup celles que l’observation a indiquées , la valeur du rapport f donné par la formule du n° 1 4 ne changerait

pas de È, ce qui est négligeable, par rapport aux différences

propres que présente la résistance.

Il résulte des valeurs trouvées aux diverses époques pour la tension naturelle de la courroie que l’on a dù employer pour le calcul du rapport du frottement à la pression ,

Du 8 au 1 7 août inclusivement , la formule

Du 18 au 28 août

id .

Du 3 au 7 novembre

id.

Du 8 au 1 2 novembre

id.

FL + o,8f>6 (°>!)6Q + 53,io)r’ FL -|- 1,220 (0,96 Q -f 94,63) r’ FL-f- o, 71 1 (0,96 Q +35,oo )r’ FL + i,34i (o,g6Q+ 108,77) r‘

17 . Vérification des deux théorèmes employés pour l’établissement des formules précédentes. Au moyen des formules que je viens d’établir, il est facile de passer des observations au calcul des résultats de l’expérience, mais elles sont basées, ainsi qu’on l’a vu, sur deux théorèmes de mécanique, qui , bien que fondés sur des considérations exemptes de toute supposition et d’accord avec la manière dont les courroies doivent se comporter m’ont paru avoir besoin de la sanction de l’expérience , pour que les conséquences que j’en ai déduites fussent à l’abri de toute incertitude. C’est ce qui m’a conduit à faire quelques expériences spéciales sur le frottement des courroies sur les tambours en bois et les poulies en fonte , et sur la manière dont leur tension varie d’une branche à l’autre. Je vais en rendre compte en commençant par les premières.

DES TAMBOURS EN BOIS ET DES POULIES EN FONTE. Trois tambours en bois de o m ,836, o m ,4o8 et o ”, 100 de diamètre ont été successivement employés à ces expériences. On les plaçait horizontalement dans une position fixe, de manière qu’ils ne pussent

tourner , et l’on passait dessus une courroie en cuir corroyé , noir, à peu près neuve , mais ayant déjà acquis de la souplesse par l’usage qu’on en avait fait aux expériences précédentes. Sa largeur était de o m ,o5o sur une épaisseur de o m ,oo53 f sa raideur a paru assez faible , pour qu’il fût permis de la négliger , par rapport au frottement sur la surface du tambour. Les deux brins de la courroie, également répartis de chaque côté du tambour , pendaient verticalement et à chacun d’eux étaient attaché un plateau de balance destiné à recevoir des poids. La courroie pesait 2‘,2g5, chaque plateau de balance o k , 22 (), par conséquent le poids de chaque brin do longueur égale était de i \376 \ l’arc embrassé était égal à la demi-circonférence } on mettait d’abord dans chacun des plateaux ^ies poids égaux, puis on ajoutait graduellement à l’un d’eu£ et peu à peu les poids nécessaires pour faire glisser la courroie sur le tambour. On voit , d’après cela , que la tension t' du brin montant était égale à i k ,3^6 , plus le poids contenu dans le plateau correspondant et que la tension t du brin descendant était égale à t' augmentée du poids ajouté en sus de la charge primitive. Enfin le glissement de la courroie avait lieu perpendiculairement aux fibres du bois.

1 9. Ordre des tableaux suivans. Ces détails suffisent pour donner une idée du mode d’expérimentation adopté et il ne me reste qu’à y joindre le tableau suivant des résultats.

La première colonne indique les numéros d’ordre des expériences.

La deuxième , là longueur de la courroie.

La troisième, l’état de la courroie.

La quatrième , le diamètre du tambour.

La cinquième, la longueur développée de l’arc embrassé.

La sixième , la tension du brin montant ou la valeur de

La septième, la tension du brin descendant ou la valeur de t.

La huitième , le rapport du frottement à la pression.