NUMÉROS

de»

expérience».

PRESSION

total*.

POIDS

moteur.

RAPPORT

du

frottement

la prcattoii.

OBSERVATIONS

vu.

Moyenne

Ces expériences étant faites, et la poulie garnie de sa cheville de pression , l’arbre a été arrêté dans une position telle que la lame de ressort fût à peu près horizontale, et l’on a suspendu, à la circonférence de la poulie, un plateau de balance, dans lequel on a d’abord placé les poids nécessaires pour vaincre le frottement de la poulie. Puis on y a successivement ajouté des charges de 2, 4? 6, 8 etc. kilog. , jusqu’à ce que la cheville d’arrêt touchât. la bride du ressort, ce qui a conduit, pour les premières lames ou les plus fortes, jusqu’à des charges de 44 à 48 kilogrammes, pour les secondes jusqu’à 18 et 20 kilog., et pour les troisièmes jusqu’à 10 kilogrammes.

Sous chacune de ces charges, le dynamomètre prenait une flexion particulière dont on obtenait la trace, en amenant le plateau mobile g au contact avec la pointe du pinceau, et en le faisant tourner à la main , on obtenait une suite de cercles concentriques au plateau et au cercle de repos , correspon— dans chacun à un effort déterminé exercé à la circonférence de la poulie. En répétant cette tare des ressorts un nombre suffisant

de fois au commencement des expériences, puis, en les renouvelant pendant et après, on a obtenu une suite de feuilles de tare ou de flexion, à l’aide desquelles on a pu construire des échelles de flexion des ressorts , qui ont beaucoup simplifié le relèvement des expériences*.

Le zéro de ces échelles correspond au cercle de repos que l’on traçait à chaque tare, et même dans un grand nombre d’expériences, pour, s’assurer s’il était constamment le même, ou si l’appareil n’avait pas subi d’altération , et les divisions successives correspondent à des charges de a, 4> G, 8, etc. kilogrammes, agissant à la circonférence de la poulie, don! le rayon moyen, y compris la demi-épaisseur de la corde ou de la courroie, est de o m ,3o85. À gauche du zéro, le point c (Fig. 4) représente l’extrémité du diamètre du cercle de repos , et les distances ca , c4, c6 , c8 , etc. , sont de grandeur naturelle , les diamètres des divers cercles de flexion eorrespondans aux charges de a , 4 j 6 , 8 , etc. kilogrammes. On voit qu’il suffit alors de prendre , avec un compas, le diamètre de la courbe de flexion obtenue dans chaque expérience et de la porter sur l’échelle du ressort à partir du point c, la division où l’autre pointe s’arrêtera, indiquera, en kilogrammes , l’effort moteur exercé par la courroie à la circonférence de la poulie. - .

En comparant les résultats de l’opération que je viens de détailler avec les dimensions des lames, on pourrait déduire, pour chacune d’elles , la valeur du coefficient d’élasticité A , mais

* On pourrait objecter tjue dans cette tare des ressorts la charge du plateau équilibrait non-seulement la tension du ressort, mais encore le frottement de l'ceil de la poulie, et que par conséquent la Courbe de (lésion correspondant dans chaque cas à un effort disponible à la circonférence de la poulie , réellement moindre que celte charge, mais si l’on observe d'abord que l'on avait tenu compte du frottement produit par le poids propre de la poulie , puisque , par la disposition de l'appareil , lors de celte opération, la résistance du ressort agissait verticalement en sens contraire de la charge, de sorte que la pression produite par ces deux forces n'était égale qu’à leur différence toujours &aex petite , on admettra sans doute avec nous que le degré d'approximation de la méthode employée était bieu suffisant pour le genre d'expériences dont il s'agit.

une circonstance particulière rendrait celte recherche un peu compliquée. Dans le projet de la machine, les lames devaient avoir sur le rayon une légère inclinaison , afin que les courbes de flexion et celles du repos fussent toujours à quelque distance du centre du plateau, ce qui avait pour but de les espacer plus également les unes des autres. Mais le mécanicien à qui la construction fut confiée, ayant, par inadvertance, pratiqué la mortaise dans le sens du rayon, il a fallu plus tard, pour obtenir l'écartement convenable, donner aux lames une légère courbure qui, jointe à la variation du point de contact de la cheville de pression , compliquerait notablement la comparaison des flexions observées avec les résultats du calcul. On voit bien d’ailleurs que cette circonstance n’a aucune influence sur l’usage auquel l'appareil est destiné et que la tare expérimentale des ressorts tient implicitement compte de toutes les influences.

\ \ . Usage de l’appareil comme dynamomètre de rotation. En terminant ici tout ce qui est relatif à la disposition et à l’usage de l’appareil , je ferai observer que, si l’on remplaçait l’arbre en fonte par un cylindre de même diamètre extérieur, mais d’un plus grand diamètre intérieur, réduit à la longueur de o”",3o occupée par le système de la poulie, des ressorts et du manchon mobile, et qui porterait des vis de centrage, on pourrait adapter le tout à un arbre quelconque d’une machine de rotation et mesurer ainsi l’effort , et par suite , la quantité de travail nécessaire pour faire marcher différens outils particuliers d’une usine. Ainsi modifié, cet appareil s’appliquerait, par exemple, avec succès aux cardes et aux métiers de filature, aux métiers à tisser, aux tarares, aux bluteries , et à une foule d’autres machines de fabrication , et constituerait alors un véritable dy namomètre de rotation , dont la construction, plusieurs fois tentée par les mécaniciens, n’avait jamais, je crois, été exécutée avec succès, et avec la précision et la sensibilité dont cclui-ci est susceptible.

42 - Formules employées au calcul des expériences. D’après la description précédente des diverses parties de l’appareil, on conçoit facilement que la puissance qui fait tourner * l’arbre, est la différence de tension des deux brins de la courroie, et que le dynamomètre a pour objet de nous fournir le moyen de déterminer à chaque instant cette différence de tension. Mais on observera que la tension de la lame du ressort ne mesure réellement qu’une partie de cette différence des tensions , l’autre portion étant évidemment détruite par le frottement de l’œil de là poulie sur l’arbre en fonte. D’une autre part, la tension du ressort et ce frottement concourent à vaincre la résistance que les tourillons éprouvent à tourner dans leurs coussinets. Pour exprimer ces circonstances par des formules, d’où nous puissions déduire , dans chaque cas , la valeur du frottement , nous admettrons qu’il suit encore ici les lois reconnues pour les surfaces planes, et l’examen des résultats nous montrera si cette hypothèse est conforme à la nature des faits.

Appelons

Q la charge totale de l’arbre , y compris son poids propre , celui de tout l’appareil dynamométrique, de la poulie, des tourillons et des disques,

p = 5o kilogrammes , le poids de la poulie , t la tension d’un brin conducteur de la courroie, t la tension du brin conduit,

« = 5t°, «' = 45° les angles que ces tensions t et t font respectivement avec la verticale,

F la tension du ressort,

L son bras de levier, par rapport à l’axe de l’arbre ,

R = o ro ,3o8 le rayon extérieur de la poulie, y compris la demiépaisseur de la courroie, r le rayon des tourillons mis en expérience, r* = o m ,oG le rayon de l’œil de la poulie ,

f le rapport du frottement à la pression pour le tourillon, et le coussinet mis en expérience,

f le même rapport pcfur l’œil en fer de la poulie et l’arbre en fonte, nous l’avons trouvé égal à o,i44 (voyez n° io),

N la pression exercée par les tourillons de l’arbre sur leurs coussinets,

N' la pression exercée par la poulie sur l’arbre.

Il est facile de voir, d’après ce que nous avons dit plus haut, qu’entre les tensions t et f, la tension F du ressort et le frottement de la poulie sur l’arbre, on aura la relation

(t — OR = FL + /"'NV,

et qu’entre le frottement des tourillons sur leurs coussinets, la tension F du ressort, et le frottement de l’œil de la poulie sur l’arbre, on aura

FL + /‘'NV = fSr,

d’où l’on tirera

’ FL + / v NV ' Nr ;

expression dans laquelle la valeur de FL se déduira facilement de la courbe de flexion du ressort comparée à l’échelle de tare, ainsi que nous le verrons plus loin , mais où les pressions N et et N' sont encore à déterminer. Or il est facile de voir qu’on a

N = y/(Q + tcos* + <' cos a')’ (t sin • + f'sin

et

N' = V(p + t cosa + f cos n'y + (fsin« -f" t'sm*')\

On ne fait pas entrer, dans ces expressions , la tension F du ressort, parce qu’elle agit tantôt pour augmenter ,• tantôt pour diminuer la pression des autres forces, et que ses effets se compensent sensiblement.

Dans l’une ou l’autre de ces expressions, il est évident, à

priori , que le premier terme sous le radical est plus grand que le second, et des valeurs des angles * et *’ l’on déduit

cos* = 0,6293, sin* = 0,777, cos*' = sin*' = 0,707.

Par conséquent on aura , d’après un théorème connu de M. Poncelet , pour la valeur exacte à ^ près de ces radicaux.

et

0,96 Q + (0,96 cos * + o,4 sin*) t 4- (0,96 cos «' 4- o,4 sin a) (

( 0,96/) + (0,96 cos* -|- o,4sin«)< + (0,96 cos *'4-o,4 sin «O f

| = Oi96Q4-o>9i5l4-o>9<> , f'> | = 0,96^4* °>9i5 <4- 0,961 f*.

Ce qui donne, par substitution,

FL 4- (0,96^ 4- o, 9 1 5 1 4- o, 96 1 f) /Y ~~ (0,96 Q 4- o,gi5f 4-°>96 i f)r ’

ou bien , en se rappelant que/' =0,144} r' = o m ,o6 et p = 5 o kil., • • •

FL 4- 0,4 1 3 4- 0,00781 4- 0,0082 tf

\ 5. Détermination des diverses quantités qui entrent DANS LA FORMULE PRÉCÉDENTE. Passons en revue les quantités que contient cette relation, pour indiquer, comment on pourra les déterminer dans chaque expérience.

La quantité FL est le moment de la tension F du ressort agissant à la distance L de l’axe , l’échelle de tare , dont nous avons montré la construction au n° 10, nous met à même d’en déterminer la valeur , puisqu’elle nous donne pour chaque courbe de flexion la poids ou l’effort qui agit à la circonférence moyenne de la poulie pour produire cette flexion , ou la tension correspondante et comme cette échelle tient d’ailleurs implicitement compte du frottement de l’œil de la poulie sur l’arbre en fonte

expériences sur le frottement DES TOURILLONS. 55 dù au poids de cette poulie , on voit qu’en appelant P le poids indiqué par l’échelle , on devra avoir