CHAPITRE HL

Expériences sur les lois de la résistance des milieux imparfaits h la pénétration des projectiles.

Hypothèses admises par les géomètres.

I. La théorie des impressions réciproques qui se prorliiisent dans le choc de deux corps animes de vitesses différentes, a été depuis long-temps établie d’une manière fort simple et fort claire par don Georges Juan (i) dans son Examen maritime. Ce savant espagnol est [>arti de l’hypothèse c[ue, pendant la durée du choc, la résistance à la déformation ou à l’impression reste constante et proporlioauelleà l’amplitude de cette impression, c’est-à-dire à l’aire de la plus grande section qu’on peut y faire perpendiculairement à la direction du mouvement, à l’instant que l’on considère. 11 a établi les divei'scs formules à l’aide desquelles on peut calculer, à un instant quelconque du choc, en fonction de cette résistance constante, qu’il nomme dureté, et du volume de l’impression, la vitesse de chacun des corps, la force de percussion ou l’elfort réciproque qu’ils exercent respectivement l’un sur l’antre, et dans certains cas le temps écoulé depuis le commencement du phénomène. Cette théorie, d’où l’on déduit les lois du choc des corps, pendant la durée de l’impression , si importantes pour les arts et en particulier pour celui des constructions militaires, a été reproduite et enrichie,

(i) Examen mari lime, livre 1 , cliap. VI, de U percussion, (orne I, pages ii 8 et suivantes. Traduction de Levèque; Paris, 1763.

Sun LE FHOTTBHERT.

depuis son auteur, d’abord par M. de Prony (i), puis par M. Navier dans ses savantes notes sur Y Architecture hydraulique de Béiidor (^2). Mais malheureusement l’experience n’étant pas encore venue conlirmer complètement les hypothèses sur lesquelles elle est fondée , les conséquences que ces géomètres en avaient tirées n’ont pas acquis toute l’autorité qu’elle aurait pu leur donner, et il est resté sur les phénomènes qui se passent pendant la durée de la compression , une incertitude que les abstractions de la mécanique rationnelle n’ont pas contribué à diminuer.

C’est pour la faire cesser, s’il m’est possible, que j’ai pensé ({u’à l’occasion des expériences, dont je rendrai compte plus tard , sur le frottement , pendant le choc , il serait utile de rechercher les moyens de mettre en évidence les lois de la réaction réciproque des corps dans l’acte du choc, par des procédés qui permissent, dans certains cas, de déterminer la loi même du mouvement de |>énétration d’un corps dans un autre. Je crois y être parvenu , d’abord en combinant mes appareils de manière à obtenir des courbes qui donnent une relation continue entre l’espace et le temps, lorsque) l’un et l’autre étaient assez grands pour que l’amplitude de cesxourbcs permit, d’en, étudier la loi; puis, dpns^les cas où îles impressions étaient plus faibles, en recherchant directement la relation entre le volume de ces impressions et les autres données de l’expérience, pour m’assurer si elles satisfaisaient aux lois déduites du premier mode d’expérimentation.

Je regre.^te de n’avôir encore pu étendre ces recherches

(i) TtouvelU ytrchiuettire hydraulique , tome I, pages ao8 elàuivantes.”' (a) Arehitedurt hydraulique ^ a* édition, page 76,1 note x. ' .

Go NOUVELLBa EXPERIENCES

aussi loin qu'il serait nécessaire, mais ne les ayant entreprises qu’incidemment , je n’ai pas dâ m’écarter de l’objet spécial de mes expériences, dont elles n’étaient qu’un accessoire , et j’ai été , quant à présent , forcé de me borner à observer les effets de la jiénétration d’un cor[>s dur, tel qu’un projectile de fonte, dans de l’argile à divers degrés de dureté et dans du sable. Mais ce que je n’ai pu faire, doit être entrepris dans le courant de l’année prochaine sur une plus grande échelle par une commission d’officiers d’artillerie, dont je fais partie, et nous espérons étendre aux cas les plus ordinaires des constructions et de la guerre les procédés d’observation que j’ai employés, en y apportant de nouveaux perfectionnemens. Je ne présente donc les résultats de mes recherches sur ce sujet, en i833, que comme une sorte d’introduction , et pour montrer le parti que l’on peut tirer dans le cas actuel des appareils chronométriques dont j’ai déjà fait usage, et que j’ai modifiés de la manière suivante.

Description de l’appareil emplofé aux expériences.

a. Pour pouvoir observer sur une certaine étendue la loi du mouvement de pénétration d’un projectile dans de la terre glaise, j’ai pris de la terre de potier, que j’ai fait étendre d’une assez grande quantité d’eau pour la rendre très molle, et j’en ai placé dans une caisse environ Go kilogrammes. Au-dessus de cette caisse était suspendu , à une hauteur déterminée, le projectile qui devait pénétrer dans la terre. Un plateau en cuivre a (PI. i4, fig. 3) couvert d’une feuille de papier et disposé verticalement, recevait un mouvement uniforme, à l’aide d’un contre-|x>ids descendant d’une grande hauteur et d’un volant à ailettes. J’ai donnéau n°4du chapitre pi'écédent la description de cet

Sun LE FROTTEMEnT.

appareil , et me Jjornerai à dire que j’avais d’avance vérifié, par de nombreuses observations, que ce plateau acquérait un mouvement de rotation uniforme, quelques secondes après qu’on avait abandonné le contre-poids à lui-même. Parconséquent le plateau tournaitd’unmouvementconnu, qu’il suffisait d’observer à chaque expérience, j>our avoir le temps , et comme il faisait ordinairement un tour on o",8 ou o", 9 , on voit que chaque degré correspondait, selon les cas, à o",ooaa ou à o",ooa5 ; ce qui permet d’observer des phénomènes d’une durée inappréciable par tous les autres procédés chronométriques.

D’une autre part, le projectile fig. i , PI. i6, est muni d’une tige en fer rond ^ qui y est vissée par un bout et qui est terminée à l’autre par un anneau c, au moyen duquel on le suspend. Celte tige reçoit un curseur d que l’on y iixe à l’aide d’une vis de pression selon la hauteur de chute. A travers ce curseur passe une vise à l’extrémité de laquelle est un pinceau chargé d’encre de Chine, qm; l’on rapproche à volonté du plateau , à l’aide de cette vis. Pour empêcher que la tige ou le boulet venant à tourner sur eux-mêmes , autour d’un axe vertical , pendant la descente ou la pénétration, le pinceau ne se trouvât éloigné du plateau , j’ai fait donner au curseur la forme d’une petite traverse horizontale, dont les extrémités s’engagent dans deux coulisses verticales, m/it et nn parallèles entre elles et au plan du plateau, et comme ce curseur n’a dans ces coulisses que le jeu suffisant pour qu’il y puisse glisser avec liberté, on voit qu’il est obligé de suivre la verticale sans tourner, et qu’il s’oppose ainsi à la rotation de la tige et du boulet, sans toutefois retarder leur mouvement de descente ; c’est au surplus ce que l’expérience a vérifié, ainsi que je l’indiquerai plus loin.

NOUVELLES EXPÉRIENCES Mode de suspension du projectile.

ô. Pour suspendre le boulet à une hauteur convenable et le lâcher à volonté, j’ai employé une disposition tontà-l'ait analogue à celle qui est décrite au n® 7 du chapitre précédent.

Motle (T expérimentation.

4. Cette description suiTit pour faire comprendre le mode d’expérimentation , et l’on conçoit facilement actuellement que, quand après avoir observé pendant un temps suflisant la vitesse du plateau , on amène le style au contact, il décrit sur la feuille de papier un cercle ({ue j’appellerai cercle de départ, et dont les subdivisions donnent la valeur des temps. Cela fait, on lâche la tige, et dans sa descente le style trace sur le plateau une courbe , dont la première partie correspond au mouvement uniformément accéléré du projectile dans l’air, et dont la seconde, qui se raccorde tangeiitiellement à la première, correspond au mouvement de pénétration. Comme le style part do repos avec une vitesse nulle ^ il s’ensuit que la première |>ortion de la courbe est k son origine tangente au cercle de départ, mais la loi du mouvement, dans cette preimère période, étant connue, il est facile de retrouver exactement cette origine , comme nous le verrons tout à l’heure. Lorsque le projectile a perdu toute la vitesse dont il était animé, le style, revenu au repos, trace sur le plateau un nouveau cercle , que je nomme cercle d arrivée; mais, attendu que le ralentissement est graduel , la courbe de pénétration se raccorde tangentiellementavec ce cercle en un point qu’on ne peut déterminer que par le calcul et après le relèvement total de l’expérience. On observera d’ailleurs que le projectile descendant vertica-

SUB LE FROTTEMENT

Icment, la ligne droite qu’il parcourt est nécessairement tangente au cercle décrit du centre du plateau, avec un rayon égal à la plus courte distance de ce centre à cette verticale, distance constante et que l’on retrouve de suite à chaque expérience, en décrivant du centre du plateau un cercle qui touche la courbe du mouvement.

Relèvement des courbes.

5. D’après ce qui précède , le relèvement des courbes n’offre aucune diinculté, et nous allons en donner pour exemple la i” expérience du tableau n® 1, Planche i5, iig. 3. Supposons d’abord l’origine de la courbe, ou son point de départ O, déterminée; par ce point menons la ligne oA tangente au cercle de moindre distance, déterminé comme il vient d’étre dit; cette ligne oA sera évidemment la verticale parcourue par le style dans sa descente. Divisons-la eu parties égales d’abord de deux en deux millimètres pour les parties voisines de l’origine, puis à partir de o'",oi de centimètre en centimètre, ce qui suffit pour l’exactitude. Du centre c du plateau et avec la distance de chacun de ces points de division cotés J, 4, 6.... /O, /5, 30 , etc., pour rayons, décrivons des arcs de cercle qui rencontrent la courbe en des j>oînts que nous coterons 3, 6 lo, i5, etc. , et considé-

rons un de ces points , par exemple celui qui est coté 6o et qui correspond à une chute du projectile égale à o"*,o6o. 11 est évident que puisque le point 6o de la courbe est venu psser au point 6b de la verticale, le plateau a décrit l’angle 6o, c,6o -49"j 5 pendant que le style est descendu de o”',o6o, et comme d’après l’observation directe le plateau a parcouru dans cette expérience un tour ou 36o° en o",8o, ou un degré en o",oo2i3, il s’ensuit que le

temps CNJOulé , pendant la descente de o"*,o6o, a été de 49 ", 5 X OjOo^aa — o",io 99 . Kn appliquant le même raisonnement à tous les ]>oints, on forme le tableau suivant qui donne les temps et les espaces parcourus.

RfU‘vement de la première expérience du tableau n" 1 sur la pénétration.

VileMc unifurme ilu platcAii , un tour en o*,8o^ ou un degré en o%ooiia.

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o,os 5

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o,oi 5

io3,g 1 10,0

o.oio

O.OiJo

Déiermination de F origine des courbes.

6. Nous avons su[q>osé plus haut que l’origine o de la courbe nous était connue, et il est facile à présent de démontrer comment on la détermine. En effet, dans nos expériences, le projectile et .sa tige descendant librement sous l’action de la gravité , sans que rien s’oppose à son mouvement, puisque la résistance des coulisses , dans lesquelles glisse le curseur, est tout-à-fait négligeable, et que, vu la petitesse des hauteurs de chute qui n’ont pas dépassé o”',ao, il en est de piéme de la résistance de l’air;

il s’ensuit qu’en appelant h la hauteur dont ce projectile est descendu à un instant quelconque , t le temps ëconid au même moment, à partir du départ, on aura,

h=^, ou t® =■ -.A — o, 5 oi A, g étant égal à g"*, 8088.

Par conséquent , toute la partie de la course du projectile comprise entre l’instant du départ et celui oh il atteint la surface de la terre, donnera dans le relèvement une courbe parabolique dont tous les élémens sont connus.

Il suit de là que si l’on calcule, par la formule ci-dessus, les temps correspondans à diverses valeurs h=o"',oi, O" ,04, etc., jusqu’à A = o"‘,i 5 qui, dans le cas actuel, est la hauteur totale de chute, et que l’on en déduise les angles correspondans décrits par le plateau, au moyen de la relation

o'.ooaa'

dans le cas actuel; puis qu’à partir dœ points ao,4o..... i 5 ode la courbe, on prenne sur les cercles correspondans des arcs ao, ao.... t^o, 4 o, etc., des nombres de degrés trouvés, les extrémités ao, 4 o.... i 5 o de ces arcs devront se trouver sur une même ligne droite , tangente au cercle de moindre distance, et passant par l’origine de la courbe, dont elle fixera la position sur le cercle de départ.

Il faut remarquer que, bien que les points de division de la courbe aient été déterminés à l’aide de la droite oA, dont nous venons de rechercher la vraie position, il u’y a pas de cercle vicieux dans le raisonnement précédent , parce que toutes les tangentes au cercle de moindre résistance étant, à partir de leur rencontre, divisées comme l’a 3* Mémoire. 9

^'OUVEI.Le8 EXPERIENCES

été la ligne o\, peuvent servir à tixer les points de division de la courbe.

On voit donc que le relèvement de ces courbes peut se faire avec la plus grande précision, et que si le mouvement uniforme du plateau est vérifié et observé avec l'exactitude qu’on peut y apporter, on obtiendra la loi du mouvement avec une approximation qui dépasse tout ce qu’on a fait jusqu’à ce jour. Eu ellet, je n’ai imprimé au plateau qu’une vitesse d’un tour en o",8o; mais rien n’est plus facile que de le faire tournera un tour en o", 5 o et même à o",u 5 ; et alors en supposant qu’on ne poussât |>as l’appréciation des angles au-delà des quarts de degrés, on jwurrait obtenir les temps à moins de o",ooo 347 > ou même de o", 000173.

Observation générale sur lu précision dont les mojens (F obser\<a~ tion cmplojés sont susceptibles.

L’emploi de ces appareils, (jui [leuvent se modifier île bien des manières, permet donc d’observer les lois de certains mouvemens qui s’accomplissent en moins d’un centième de seconde, et d’avoir pour les représenter des courbes d’un développement assez grand , pour qu’on puisse les étudier en détail et en déduire les lois des mouvemens qu’elles représentent. Ce n’est pas ici le lieu d’entrer dans des détails sur li« applications et les modifications dont ces procédés sont susceptibles, et je me réserve d’en indiquer [)lusieurs dans une notice spéciale.

Motifs qui ont obligé h renfermer, pour le moment, ces expériences dans des bornes étivites.

8. Je terminerai cet examen des procédés d'opération et de relèvement, en répétant que les expériences, dont je

Sun LE FROTTEMENT.

rends compte , n’ont ëtë entreprises qu’incidentellement et comme essai , et que j’ai cherché à les faire avec les moyens d’exécution que j’avais déjà sous la main , ce qui a resserré dans des bornes très étroites les liniites dans lesquelles j’ai opéré. C’est ainsi , que voulant employer les disques plans en cuivre qui me servaient dans les expériences sur le frottement , et qui n'ont que o,34 de diamètre , je n’ai pas pu obtenir des courses plus grandes pour le style, et que par suite j’ai été obligé de borner les hauteurs de chute à o^j^o au plus. Enfin , comme de premiers essais se ressentent plus ou moins d’un peu d’inexpérience des choses que l’on étudie, j’ai trouvé que le mode de direction de la tige n’était pas aussi précis que je le pouvais désirer. On verra néanmoins par les résultats et par les courbes données pour exemples, que cette imperfection est peu sensible dans le cas actuel. Tous ces inconvéniens n’existeront pas pour les ex[)ériences qui seront entreprises, d’après ces procédés, par la commission dont j’ai parlé et qui s’occupera activement de ces recherches au printemps prochain.

Exposition des jonnides employées pour le calcul des lésuUats de Cexpe'rience.

9 . Avant de rapporter les résultats des expériences que j’ai faites sur la pénétration des projectiles daus la terre glaise et dans le sable, je dois exposer les formules que j’ai employées pour les calculer, ainsi que les diverses conséquences qui s’en déduisent et qui doivent être vérifiées par le tracé des courbes et par ces résultats euxméroes. A cet effet je rap|>ellerai qu’ayant à reconnaître une loi hypothétique qu’un petit nombre d’expériences paraissaient avoir confirmée, la marche, la plus naturelle

était de l’admettre d’abord, pour en comparer les conséquences avec les faits. J’ai donc admis que la résistance des corps mous à la pénétration d’un projectile sphérique, est

1°. Indépendante de la vitesse du mouvement;

3 ". Proportionnelle à chaque instant à la surface du cercle de la sphère intercepté par la surface du corps choqué. De plus, attendu qu’il s’agit ici de projectiles en fonte, pénétrant dans des corps mous, j’ai pu regarder les corps choquans comme incompressibles. On verra que j’ai opéré, dans certains cas, sur des corps mous dont la masse restait sensiblement immobile pendant la pénétration , et dans d’autres sur des corps auxquels l’acte du choc imprimait une certaine vitesse, pendant que le projectile J pénétrait. J’ai tenu compte dans chaque cas de ces circonstances , ainsi qu’on le verra , et je vais d’abord établir les formules relatives au premier.

Appelons :

p, le poids du projectile, y compris celui de sa tige directrice;

D, son diamètre;

h , la hauteur de chute au - dessus de la surface de la terre glaise;

y = V 2gh , la vitesse due à cette hauteur ;

€ , la profondeur dont la sphère a pénétré dans la terre au bout du temps t;

d, le diamètre du cercle de la sphère intercepté au même instant par la surface du corps mou;

V , la vitesse que possède encore le projectile au bout du temps t;

R , la résistance que la terre glaise oppose au même instant au mouvement du projectile;

Sun LE FROTTEMEKT.

Nous remarquerons d’abord que , d’après l’hypothèse de de la proportionnalité de R è la surface interceptée, que nous nommerons , avec don Georges Juan, l’amplitude de l’impression , il s’ensuit que la quantité de ti-avail

consommée au bout du temps t par la résistance sera pro- {X>rtionnelle au volume de l’impression, et que si l’on nomme K un coef&cient constant pour un même corps mon et exprimant le rapport de la résistance à la surface, ou ce qui revient au même, la résistance par mètre quarré,

I, le volume de l’impression, on devra avoir /Rrfe = KI;

de sorte que l’expression de la quantité de travail , consommée par la résistance cherchée, dépendra de celle du volume de l’impression.

Dans le cas particulier qui nous occupe, on doit partager la durée de la pénétration en deux périodes ; la première qui s’écoule depuis l’instant où le projectile atteint la surface de la terre et celui où il a pénétré de sou rayon, et la seconde, qui commence à ce dernier instant, et se. termine lorsque le projectile a perdu tout mouvement relatif dans l’intérieur de la masse.

Dans la première période, on a, à un instant quelconque ,

a cause que ^ -^ = e (D — e),

et par snite'ia quantité de 'travail totale développée en

sens contraire du niouvenient, pendant le temps /, ou ]M>ur la profondeur de pénétration e, a pour expression

fKde = K.Trfe (I) - e) rfe = K->re‘ (7 - ,

la constante étant nulle, puisqu’on a à la fois e=o et R=^o.

D’une autre part le projectile est soumis à l’action de la pesanteur, qui, pendant le temps t, a développé sur lui et dans le sens du mouvement la quantité de travail

pe.

Puis donc qu’au bout de ce temps sa vitesse, qui était V à l’origine, est devenue e, on aura, d’après le principe des forces vives ,

d’où l’on tirera , attendu que V’ = agA ,

(i) e" = ag(A-4-e) — K^e='(D — ?e).

expi-ession qui nous donnera la vitesse v du projectile , à un instant quelconque de la première période de la pénétration, quand on connaîtra R, ou réciproquement

ag (fc -t- e) — y*

On voit, par cette formule, que si la loi admise était une fois démontrée pour un corps, il suffirait d’observer la pénétration totale à laquelle correspond c = o> et que

lo. Dès que le projectile est parvenu à une profondeur e = ® , la seconde période commence, la résistance devient constante et a pour expression

La quantité de travail élémentaire qu’elle développe dans l’instant dt est

R//e = K de ,

ou en intégrant

y R f/e — K ^ e -f- const.

Dans cette relation on déterminera la constante en remarquant que, d’après ce qui précède, on a à la fois '

D ® /• U t D* xD D^*\ V D *

ce qui donne pour le travail total développé par la résistance R, depuis le commencement de la pénétration Jusqu’à une profondeur quelconque e plus grande que le rayon de la sphère,

■ •Uir.b ftf> , -RJ/W' „ , ;.lp

. ma, t)"

Ou remarquera que quand le diamètre du projectile sera très petit par rapporta la pénétration totale e , on pourra

négliger le terme j, par rapport à e, et qu’alors le travail total de la résistance sera exprimé par le produit du facteur constant K, et du volume d'un cylindre dont la base serait le grand cercle de la sphère et qui aurait pour hauteur la pénétration totale. C’est aussi par cette règle que l’on calcule ordinairement ce coefficient dans les grandes pénétrations.

Mais il est plus exact, et pour nos expériences il est indispensable, de ne prendre que la valeur rigoureuse du volume de l’impression , qui est représentée par le facteur

En appliquant , comme précédemment, le principe des forces vives , nous aurous donc pour l’équation du mouvement pendant cette seconde période

J - V») - :xpe - K.'t (e - §); d’où, attendu que V* = agA ,

expression qui nous donnera la vitesse du projectile à un instant quelconque de cette deuxième période, et d’où l’on tirerait comme précédemment

de sorte que la loi étant une fois démontrée , on déduira la valeur de K de l’observation des pénétrations totales et

SUR LE FROTTElfEMT.

de la relation ci ••• dessus, en y faisant v donnera

O, ce qui

Cas où ton fait usage des formules ci-dessus.

1 1 . Dans les expériences sur le frottement pendant le choc d’un corps dur tombant sur un corps mou , placé sur le traîneau , et dont je rends compte au chapitre suivant, J’ai observé chaque fois le diamètre et la profondeur des impressions, et comme je n’avais pas pu obtenir la loi du mouvement de pénétration, j’ai été obligé de me borner à l’emploi des formules ( 3 ) du n° 9 et (6) du n" 10 pour la détermination du facteur K, dont les valeurs sont consignées au tableau n” 111,

Cas où ton a observé la loi du rruruvement de pénétration.

Durée de la première période.

12. Mais dans les expériences spéciales sur la pénétration, l’appareil ayant été disposé, ainsi qu’il a été décrit auxn°* 1 et suivans, et les courbes relevées du mouvement de pénétration donnant une relation graphique entre les espaces parcourus et les temps, j’fii dû cb^fcher à les comparer avec celles que l’on peut déduire des formules précédentes. A cet effet l’équation du n° 9 relative k la première période

= (S)‘=»isr C*+ f)-

, -îiKp ■ :*■

ooas donqe

de

y Mémoire. tO

NOl)VKLI.ES EXP£IIIE>Ci:S

Cette expression est celle d'une transcendante elliptique et ne peut s’intégrer que par les méthodes relatives à ce genre de fonctions, et qui n’étaient pas connues lorsque don Juan publia sa Théorie <h la pénétration. C’est pour échapper à la difficulté, alors insurmontable, de ce calcul, qui tient à la forme sphérique du projectile, que cet ingénieur a traité le cas où l’amplitude de l’impression serait proportionnelle au quarréde la profondeur de pénétration, ce qui se rapporterait à un cône. Bien que ce cas ne se présente guère dans les applications, il pourrait être intéressant de l’examiner sous le rapport de la théorie.

Méthode approximative pour calculer la durée de la prcmièiv période de la pénétration.

i3. Mais si l'expression ci-dessus présente des difficultés d'intégration qui la rendent peu commode pour les applications, on peut néanmoins en déduire, avec toute l’exactitude désirable, la valeur approchée de la durée de la première période de la pénétration , à l’aide de la méthode d’approximation de ’l'h. Simson ou de celle que M. Poisson a donnée dans la deuxième édition de son Traité de MécanUjue (t). J’ai employé la première de ces deux méthodes , en opérant ainsi qu’il suit, fi’intégrale à calculer est

t = f — — I const.

I y/af <A -f — K y (n — J n

On observera d’abord que la constante est nulle , si l’on compte le temps à partir du commencement de la péné-

(i) Traité de Mécanique Je M. Pvissou , a* éJiùou, tome I , n"’ i3 et iuivans , et Journal de V École Polytechnique , i8* cahier , page Sao.

SUK LE FROTTEMENT.

Iralion , ce qui est plus commode, et l’on se rappellera que le dénominateur exprime la valeur de la vitesse»’ du projectile à l’instant qui correspond à la profondeur de pénétration e.

La profondeur totale étant, pour cette période, donnée

à priori et égale à ^ , je la partage en quatre parties et je

nomme les valeurs corres{)ondan tes de e,

e, — O, Ca — g , Cj — ^ — -g- , C 5 — ^ ,

et je calcule les valeurs correspondantes du radical , ce qui donne celles de la vitesse v relatives aux diverses pénétrations e,,ea, etc. En les désignant respectivement par

= Vagh, I’.,, ('3, »»4, fs,

on en déduit ensuite celles du coefficient düTérentiel , que je représente par

Es

et finalement la valeur approchée de l'intégrale qui est (8) i = g [E. -h Es + 4 (Ea E4) -I- 3E3I

l> ,!. Mil' -Il k1. !.

jiutK méthode cFintégration par approximation.

•Il; ■ ' J I '

14. Lia méthode précédente est suffisamment exacte pour tous les cas où le projectile pénètre d’une quantité plus grande que son demi- diamètre, mais lorsqu’au contraire 1 a pénétration est moindre , la vitesse étant nulle

à la fin de cette période, la dernière valeur de E = -j; devient infinie, et il n’est -plus possible d'employer ni l’une ni l’autre des méthodes d’approximation indiquées

1^5 NOÜV ELLES ElEÉEIEIfCES

II faut alors recourir au développement cond membre de l’expression à intégrer ,

en série du se-

rf/ =

Pour l’obtenir nous ferons remarquer que le polynôme du troisième degré , qui est sous le radical , a toujours une racine réelle, donnée à priori par 1 observation , et égale à la profondeur toule de pénétration , puisqu’à cette valeur correspond

=-. igh — ige — + I ^ = O-

D’après cela, en appelant a cette racine réelle ou cette profondeur totale, il sera facile de mettre 1 expression précédente sous la forme

Or, on a

rf/ =

(a — e) ’ <fc t/A + Be — O*’

série dans laquelle les termes vont sans cesse en diminuant , puisque l’on a toujours e < <* ou au plus e — a à la fin de la période. En se bornant , pour les applications, aux trois premiers termes, 1 expression à intégrer revient à

. , * , t r<fe N

rf/=‘7ïl,j/A-+B<r-<i«* "*t/A:+B<-Cir* >-4«*»/A+B«— OV»

qui, par les méthodes connues, donne, en prenant les intégrales depuis e = o jusqu’à e = a,

SUR LE FKOTTEKEKT.

V'aC L\aa^i.4-o* 4^/V C \aa