V'4AC+B
Il est une autre circonstance très fréquente dans la pratique où l’on peut obtenir avec une approsimation .suiHisante la durée de l’impression. C’est quand sa profondeur est très petite, par rapport au diamètre du projectile, parce qu’aloi'S, pouvant négliger | e par rapport à 1> sous le radical , l’expression à intégrer se réduit à
de
+ e) — ^ De>
et revieutau cas examiné par D. G. Juan.
En complétant le quarré de la quantité qui est sous le radical , on trouve par les méthodes connues
la constante étant d’ailleurs nulle comme on l’a dit plus haut.
Durée de la deuxième /K'riode et durée totale de la pénétration.
Ô:-’ if
i5. Qiiantè la durée de la deuxième période, elle est beaucoup plus facile à déterminer, parce que la résistance devenant .^constante dès son origine, le mouvement est uniformément retardé , et que si , en conservant les notations précédentes, nous appelons :
V la vitesse que le projectile conserve à la fin de la première période de la pénétration; *
la durée de cette première pe'riode déterminée j>ar approximation , comme il a été dit ci-dessus ;
e', la profondeur de pénétration correspondante au même instant ;
On aura, d’après le principe des forces vives,
d’où
En intégrant une première fois, on trouve
et comme on a simultanément ,
t -J- const. ;
et t — t'y
cette intégrale prise à partir de cette limite, devient
Une seconde intégration donne, à partir de la même limite ,
16. Les équations (10) et (ii) du numéro précédent supposent que l’on connaisse la vitesse v' du projectile, à la fin de la première période de la pénétration , ou à l’instant où il s’est enfoncé de son rayon ; c’est ce qui sera facile, au moyen de l’équation (i) du n° 9, en y faisant
e — Alors l’équation (lo) nous donnera la durée de la seconde période de la pénétration , en y supposant
SUR T.E FROTTEMENT
U = O ; on en tire, en effet, Oa) ■
et comme on a pu déterminer par approximation, ainsi qu’il a été dit aux n" i3 et i4, la duree t! de la première période , on aura pour la durée totale de la |)énétration à la profondeur e.
Détermination de la valeur de K.
17 . Tout ce que nous venons de dire sur les luoyeus de déterminer les quantités t et e en fonctiou de e, à un instant quelconque de la pénétratiou , suppose que l’on a, par des observations préliminaires , obtenu la valeur de la constante K, et il nous reste à faire voir comment nous y sommes parvenus, à l’aide des courbes du mouvement données par nos appareils.
Dans le choc d’un projectile sphérique , nous avons vu que' l’impossibilité'd’intégrer l'équation différentielle entre l’espacé et Te temps ne permet pas d’établir entre ces quantités,' une i'eUtion çous forme finie, 'de laquelle on déduirait la ^valeur de K relative à chaque point de la 'courbe , èn'^^substrtûant les coordonnées de ce point. De là i^ulte nè connaissant pas cette quantité K , on
i^e'pwt pas^bteoir exactement la vitesse finale de la preml^ P^iode. Mais pe que le calcul ne peut nous don- Qffil' ci^uréa^nent , le*^ tracé des courbes nous permet de l'avoir avec arae appxMtimation bien suffisante.
, RemarquOnÜ j en çflèt', PI. XVI, tig. 3, relative à la pramiére n° 1 , sur un boulet du
8o NOUVELLES EXPERIENCES
calibre de ix, dont le diamètre est D = o",ii8, et qui tombe d’une hauteur de o",i5, que nous pouvons facilement déterminer le point b de la courbe qui correspond à la fin de la première p<hiode; car l’abscisse de ce point est évidemment égale à
A -h H = o",ao9,
et nous pouvons, avec un peu de soin, mener très approximativement (i) la tangente bl au point A, et la tangente trigonométrique de son inclinaison sur l’ordonnée , nous donnera une valeur très approchée de la vitesse du projectile au point A de sa trajectoire.
Cela fait, l’équation (ii)du n** i5 va nous servir à vérifier si la loi que nous avons admise, est conforme aux faits et nous donnera le mo^en d’obtenir la valeur de K relative k chaque expérience.
En effet , on tire de cette équation ,
(l4) K-= jjg; ~ ’
et si l’on substitue successivement dans cette relation dir verses valeurs de e et de t correspondantes à des points de la courbe et prises sur le relèvement, on aura pour chacun de ces points une valeur de et la loi que nous avons admise sera démontrée, si toutes les valeurs de K, ainsi obtenues, sont égales ou du moins assez peu différentes, pour qu’on puisse raisonnablement attribuer ces divergences, soit aux variations inévitables de la dureté même du corps pénétré, soit à la légère incertitude que
(■) J'ai eberebé i employer, pour la dclenoination de œtte tangente, queir quet-unes det miitbodea graphiques connue^; mais le peu de courbure de la courbe le» rend au moins aussi incertaines que l’usa^ immédiat de 1a règle, qui, par suite de ce peu d« courbure, ne peut conduire à des erreurs notables.
SUB LE FBOTTEHENT. 8t
le procédé graphique employé pour déterminer a pu laisser sur sa vraie valeur.
Moyen gmphique d’abréger les calculs.
