On observera que si par le point b on mène une

horizontale bm, ainsi que par les points c , d , e, etc., de la courbe qu’on veut employer pour déterminer R, puis qu’on projette les points d , tf, d , etc. , de rencontre de ces dernières sur la première bm, en des points d', (T, e", etc., les lignes bd', bd', be", etc. , seront précisément les valeurs de d(t — correspondantes aux diverses valeurs de t des points c, d, e, etc. De même la projection des points c, d, e sur l’horizontale bm, ou plus simplement leur plus courte distance à l’ordonue’e prolongée du point b, donnera les valeurs de e — d relatives à ces points. On pourrait aussi trouver graphiquement les valeurs de mais l’obliquité des intersections des

horizontales qu’il faudrait mener par les points c, d , e, jusqu’à leur rencontre avec la parabole du mouvement accéléré , pouvant parfois apporter de légères erreurs aux résultats, j’ai préféré calculer ce terme directement.

Observations sur la vérification des lois admises au n’ g.

19. Telle est la marche que j’ai suivie, pour vérifier ta loi de la pénétration et déterminer la valeur de la constante, dans toutes les expériences où j’ai pu obtenir graphiquement la loi du mouvement; si je ne l’avais appliquée qu’à des projectiles de même diamètre, comme le calcul précédent n’est relatif qu’à la seconde période de la pénétration , la portion de son mouvement , qui a

3* Mémoire, 1 1

82 NOVVBLLES EZPi^MEKCES

lieu après qu’il a pénétré de son rayon , la constance des valeurs obtenues pour K prouverait seulement que le mouvement du projectile est uniformément retardé, pendant cette période , et que par conséquent la résistance est indépendante de la vitesse. Mais comme j’ai fait des expériences sur des projectiles de diamètres très dilTérens , et <{ue j’ai trouvé pour K. des valeurs qui sont sensiblement les mêmes, cet accord prouve déjà que la résistance est proportionnelle à l’étendue de la surface interceptée.

Autre mode de vérification de ces lois relatif aux premiers instans de la pe'nctmtion.

20. Mais outre ce moyen de vérification , j'en ai employé un autre qui montre avec évidence que la même loi a lieu dès les premiers instans de la pénétration, ce qui est fort important pour la théorie du choc, dans le cas de petites impressions. Voici en quoi il consiste ; Ayant déterminé K d’après la méthode précédente et la courbe tracée dans la seconde période de la pénétration , je calcule, au moyen de la formule 7 du n° 12,

et de la méthode approximative de Th. Simson , les va- > leurs de t, qui correspondent à diverses profondeurs de pénétration , et je compare ces valeurs déduites du calcul avec celles que l’expérience m’a fournies par le tracé des courbes. L’identité presque pKirfaite des valeurs obtenues dans les deux cas, montre que, même dans les premiers instans de la pénétration, les lois admises pour

SUR LB FROTTEMENT. 83

l’établissement des formules ci-dessus , sout très exactement vériliées dans le cas de nos expériences.

Tous les résultats du calcul et de la comparaison cidcssus sont consignés dans le tableau n° i , relatif aux expériences où l’on a déterminé le coefficient par l’observation de la loi du mouvement.

Observations sur la forme des courbes du mouvement.

ai. A cet examen des diverses circonstances de la pénétration , je crois devoir ajouter quelques observations sur les variations du mouvement du projectile, à partir de l’instant où il atteint la surface du corps mou dans lequel il pénètre, et sur la forme que doit, par suite , affecter la courbe de son mouvement.

Au moment où le projectile atteint la surface du corps mou , il est animé d’une vitesse que nous avons représentée par V = V agA ; il pénètre dans le corps , mais dans les premiers instans, où la profondeur de l’impression est très faible , son poids étant encore supérieur à la résistance, la force qui le sollicite.

P de

agit encore dans le sens du mouvement, et celui-ci continue à être accéléré, mais non plus uniformément; il le devient même de moins en moins et cesse complètement de l’être lorsqu’on a

K irt^ d*e

T’ -dF = ^‘

A cet instant, si le diamètre d du cercle intercepté était égal à celui de la sphère , là résistance cesserait de

croître, elle deviendrait constante et le mouvement se continuerait uniformément avec une vitesse facile k déterminer, puisqu’on a e = °, et que la formule (i) du n“ 9 nous donne

Mais attendu que la résistance du milieu est le plus souvent très grande, par rapport au poids du projectile, elle le surpasse bien avant l’instant où d =D, et audelà de la position pour laquelle

on a K , et par suite la force

agit en sens contraire du mouvement et tend sans cesse à le retarder. La courbe devra donc avoir un point d’inflexion , dont la position sera facile à déterminer , puisqu’il répond à la relation précédente

= = Rw(D— e);

d’où l’on tire

— et (i5) e = —

le signe — étant évidemment celui qui convient à la question, puisqu’on a toujours alors ^

Passé ce point, le mouvement continue à se retarder de plus en plus rapidement, jusqu’à la position où rf=D D » ^

ou « = - , au-delà de laquelle il devient unirormément retardé.

Toutes ces circonstances sont parfaitement reproduites par les courbes du mouvement, quoiqu’elles s’accomplissent dans un intervalle de temps souvent moindre que o",io, et lorsque enlin la vitesse du projectile est éteinte, la courbe devient tangente à l’ordonnée qui correspond au point de la pénétration toUleJ mois, attendu la difficulté de fixer la position du point de contact, le tracé ne donnerait qu’avec incertitude la position de ce point, si le calcul ne permettait pas de le déterminer ainsi que nous l’avons vu aux n“* i3 et suivans.

Formules employées pour calculer les résultats des pénétrations obtenus dans les expériences pour la transmission du mouvement par le choc.

aa. Il me reste enfin a eiablir les formules que j’ai employées pour calculer les résultats des pénétrations obtenues dans les expériences sur la transmission du mouvement par le choc, rapportées au chapitre précédent. On se rappelle que la caisse suspendue au dynamomètre étant remplie de terre glaise ou de sable {voy. n" 3 et snivans, y laissait tomber un projectile en foute’ qui pénétrait plus ou moins dans la matière molle et imprimait à la caisse une cerUine vitesse; mais bientôt la distance du dynamomètre détruisait ce mouvement , dont les courbes de flexion du ressort nous donnent l’araplitude totale. Nous considérerons ce qui se passe dans la première oscillation descendante, la seule qui nous intéresse pour la question actuelle, et, en conservant les no^

86 NOUVELLES EXPEAIENCES

tâtions pr^ëdentes, nous appellerons de plus T l’accroissement variable de la tension du dynamomètre exprimé en kilogrammes, pendant l’acte du choc ou de la pénétration; f la 'flèche ou plutôt l’augmentation de flexion qu’il reçoit à un instant quelconque, par l'action du choc.

Remarquons d’abord que l’accroissement de tension T, que reçoit le dynamomètre, est sans cesse dirigé en sens contraire du mouvement, qu’il tend d’abord è empêcher de naître, puis à détruire, et que dans chaque élément du temps dt il développera une quantité de travail exprimée par

Trf/,

et que pour avoir le travail total développé par cette résistance, pendant la durée totale de l’oscillation descendante, ou pendant que le ressort prend un accroissement de tension /, il faut obtenir la valeur de

fldf

pendant cet intervalle.

Or, rien n’est plus facile , par suite de la construction de cet appareil, car il résulte de sa forme, et l’expérience prouve que les accroissemens des tensions et ceux des flexions sont dans un rapport constant, et que dans le cas actuel le ressort prend une augmentation de flèche de o'*,ooo3i4 pour chaque accroissement d’un kilogramme dans sa tension , de sorte qu’on a toujours .

—Tl = T.

o,ooo3i4

On en déduit donc

a o,ooo3i4 '

Cela posé, il est facile d’établir l’équation des forces vives relative à une oscillation descendante de la caisse, depuis l’instant où le choc et la pénétration commencent jusqu’à celui où ils Unissent , et pour lesquels la vitesse de la caisse est nulle dans chaque cas.

En eflet, le projectile qui est animé d’une vitesse V — V^igh possède à son arrivée la force vive

qui , à la fin de l’oscillation , est entièrement détruite , d’une part par la résistance R de la terre à la pénétration, et qui développe une quantité de travail

/Rde,

et de l’autre par l’accroissement total de tension que le dynamomètre a pris, et dont nous venons de calculer la quantité de travail.

Mais il faut observer que le projectile pénétrant d’une quantité e dans la terre et descendant avec la caisse de la quantité f, dont la tension du ressort s’est accrue, la gravite a développé sur lui , dans le sens du mouvement, une quantité de travail mesurée par

et que la caisse , dont le poids est P, y compris celui de la lame antérieure du ressort , comme il a été dit au n° 1 1 du Chap.ll, étant aussi descendue de la hauteur y, la gra' vité lui a communiqué la quantité de travail

KOUVELLES ElPÉniEKCES

On aura donc , pour l’ëqualion des forces vives rela* tive à cette oscillation ,

J ^ = a[/Rrf^ 4- JUdf - P {e -H/) - P/].

Lies courbes de flexion du dynamomètre nous donnent facilement la valeur de f, puisqu’il sufEt de leur mener une tangente parallèle à l’axe de leurs abscisses sur le relèvement , ou de décrire sur la courbe minute un cercle concentrique au plateau qui les touche en leur point le plus éloigné du centre, La distance de la tangente à l’axe des abscisses, dans le premier cas (PI. i5, fig. 4)> et la différence du rayon du cercle tangent à celui du cercle de départ dans le second (PI. i5, (ig. i), sera la valeur de f. On pourra donc facilement calculer f^df.

On a mesuré dans chaque cas la valeur de e, ou plutôt celle du diamètre d du plus grand cercle d’impression*, on aura donc aussi les valeurs de p (e-f- /) et de P/i Quant à fVi.de, nous savons, (n** 9 et 10} , qu’avec des projectiles sphériques, lorsque la profondeur de pénétration ne surpasse pas le rayon , on a, dans les hypothèses admises, et qu’il s’agit de vérifier,

/Rrfe = K7re»(® — |),

et quand, au contraire, cette profondeur excède le rayon

on aura donc , dans le premier cas , f = a -9 +f1df-p(e-^f)-Vf],

SUR LE rnOTTEMEST. 89

et dans le second ,

= a [R. =5^ (e - ^ D) ^fldf-p (e +f) - P/] , d’où l’on tire respectivement, en observant que i^ — igh,

V P + e -j- py — fTîdJ

pour le premier cas, et pour le second.

C’est au moyen de ces formules que j’ai calculé les valeurs de K pour la terre glaise et pour le sable, d’après l'observation des pénétrations totales, pendant la durée du choc. Les poids, les diamètres et les hauteurs de chute ayant varié dans chaque série d’expériences , et la quantité R étant restée constante, ainsi qu’ou peut le voir au tableau n“ I, ces observations confirment donc pleinement la loi que nous avons admise , bien qu’elles soient faites dans des circonstances différentes de celles qui les précèdent.

Résultats des expériences sur la résistance de la terre glaise à la pénétration dune sphère en fonte , déduits de Vobservation de la loi du mouvement.

a3. Le tableau suivant contient les résultats des expériences que j’ai faites , en observant la loi du mouvement de pénétration , d’après les procédés indiqués aux n°‘ 3 et suivons. Les valeurs de h sont celles de la hauteur dont le projectile tombe sur la surface de la terre ; celles de e 3 * Mémoire. 1 3

correspondent aux diverses profondeurs de pénétration, de telle sorte que l’abscisse réelle de la courbe est h -f- e. J’ai pris pour e' la valeur conslau te qui corresiiond dans chaque expérience à une profondeur de pénétration égale au rayon du projectile, parce que c’est à partir de ce point que la résistance devient constante. Les valeurs de t — sont données par l’excès de l’ordonnée de la courbe correspondante à la profondeur e sur celle que l’on trouve pour la profondeur é.

Les quantités — t’) et g sont déterminées

comme il a été dit au n° i8 , ainsi que la valeur de K.

Les valeurs de t' sont celles de la durée de la première jiériode de la pénétration ou du temps qui s’écoule depuis l’instant où le projectile rencontre la surface, jusqu’à celui où il a |)énétré de son rayon. Celles de t sont relatives à la durée totale de la pénétration , et je dois répéter que le tracé de la courbe ne peut les donner qu’avec jwu de précision, attendu l’incertitude inévitable qui règne sur la véritable position du [loint de contact.

Enfin , j’ai rapporté la valeur de la profondeur de la pénétration à laquelle le mouvement cesse de s’accélérer, et où la courbe présente un point d’inflexion.

Toutes les courbes relevées dont je me suis servi pour le calcul de ces expériences, ont été construites avec le plus grand soin , de grandeur naturelle pour les abscisses ou les chemins parcourus , et à l’échelle d’un mètre pour une seconde pour les temps , ce qui permet d’apprécier, par le tracé, jusqu’à des dix-millièmes de seconde.

La terre glaise employée dans les expériences dont les i-ésultats sont consignés dans le tableau , était très molle et très collante.

SUB LE FROTTEMENT

TABLEAU I

Expériences sur la résistance de la terre glaise à la pénétration d" une sphère en fonte.

Détermination du coefficient K de la formule R = K par l’observation

de la loi du inouvemcnC de pénétration.

Formule emploj-ée.

^mumm

A«ck«l*