APPLICATIONS NUMÉRIQUES
Exemple I. (Problème 1, page 31).
latit. estimée 20°34' Nord, longit.estimée55°18'Ouest,
on a observé la hauteur © — 4%°26'00”, heure correspondante du chronomètre 7:29"15°. Le ciel s'étant couvert, on n’a pu prendre la hauteur méridienne; mais à 4” de l'après-midi environ, on a observé : haut © = 70°2820”, heure du chronomètre 14*32"01‘. Dans l’intervalle des observations on a fait 27 milles au $22°E du monde; l'erreur instrumentale est nulle, et la hauteur de l’œil de 4 mètres. On de-
mande le point pour l'instant de la seconde observation. État (retard) du chronomètre sur Paris 5"12"38°, marche négligeable.
Heures de Paris. Déclinaison . Équation du temps. Pehrehrôn:, 7172045 Le 10 avril à 0h + 8°10' 53" B Le 10 avril à OP 0hO01m11: 5 état (retard) 5 12 38 (en4r,+ 55,2) +00 38 (en 4", — 0,68) —00 5
4re H, M. de Paris 0 41 53 le 10 avril.
2° h. chron. 11°32"01:
état (retard) 5 12 38
sb RT oh dd Ÿ ” LE
2° H. M. de Paris 4 44 39
re D=—8 11 31 B +03 42
Are E= +0 01 11 ,0 —02 ,8
Point estimé.
27,0 au S 22 E
Le hauteur © — 44°26 00” 2e hauteur C)— 70°28' 20” 1=95,0 Sud e—10,1
correction +11 30
— 44 37 30 L— 920 34 00 colog cos0,02860 . A=— 81 48 30 cologsin0,00445 L 2S—147 00 00 S— 13 30 00 log cos 1,45334 S—H— 28 52 30 logsin1,68386
; H. V. du lieu —20" 59"00 | | “ Équat. du temps— 0 01 11 p'= —0",20 (tabl. 1)
RE 031 (tabl 1) : H. M. du lieu—21 00 11 Are H. M. de Paris— 0 41 53 p=+0,17
re longitude = 3 41 42 —55°25" 30” Ouest n Changement en longitude g— 10 40 Est
re longitude ramenée—55 14 50, Ouest
g=10,7 Est
— 20 09 00 colog cos0,02745 A— 81 4% 50 colog sin0,00452
S— 86 17 10 logcos2,81140 S—H=— 15 36 40 logsin1,42992
6) H..V; du lieu —1" 0259:
Équat. du temps—0 01 08
H. M. du lieu—1 04 07
9e H. M. de Paris —4 44 39
2° Jongitude—3 40 32
p'= +0,53 (tabl. 1) p'=—1 ,80 (tabl. II)
—=55°08' Ouest
Re EE
Avec chacune des deux hauteurs on a fait un calcul d'angle horaire, et l’on a déterminé pour chacun d'eux les corrections Pagel » au moyen des :
tables I et IT, d’après la règle donnée au problème I. On peut alors tracer :
sur une feuille de papier quadrillé (fig. 6) les droites de hauteur relatives à chaque observation. On devra remarquer que, le navire s'étant déplacé | dans l'intervalle, la première droite a été transportée parallèlement à ellemême d'une quantité égale au chemin.
estimé. Au lieu de passer par le point
= 2034 Nord,
dont les coordonnées sont G,— 552530" Ouest,
point A ayant pour latitude L, + / = 920"09" Nord et pour longitude G, + 9 —=551450" Ouest. À partir de ce point A comptons 10 divisions :
elle passe par un.
dans le sens vertical et 1,7 sur la droite, puisque, d’après le signe de p, la latitude augmentant, le second point doit être pris dans l’Æs{ du premier; la droite AB représente la première droite de hauteur amenée à l'instant de la deuxième observation. On trace la seconde droite CD d'une facon analogue, et le point N d’intersection donne la position du : navire à 1” de l'après-midi. On a ainsi
{ L = 201620" Nord, | G—= 551330" Ouest.
Hxembple EE, (Problème 1, page 33.)
latit. estimée 12040’ Nord,
Le2janv.1876, vers8”50" dusoir, étant par | | Net à à longit. estimée 44°21' Est, on a observé successivement :
dans l'Ouest. hautG. . .- . 22°13 40” heure du chron 1435225! dans l'Ouest. haut. Achernar. 14 53 00 d° 11 36 38 dans l'Est. ; / haut. Swius. 297 16 00 do 11 38 15
On demande la position exacte du navire. |
État (retard) du chron. 6"18"59. — Élévation de l'œil 4 mètres. — Le déplacement du navire dans l'intervalle des observations est négligeable.
heure chron, 1135925:
État (retard) 6 18 52
M. de Paris 5 54 17 ur l’'observat. 18 46 51
H. S. de Paris >e observation
A, S. de Paris O0 42 21 3° observation 0 01
> H. S. de Paris 0 43 5S
ral, horiz. 36'29”,8 (Callet) —00 5
du lieu 56° 29,3
MÇ— 41830:
A(—93 20 8 P— dulieu— 3 38 58 cParis= 0 41 08 bas
ngitude— 2 57 50 —44°27! PERRIN, TABLES.
demi-diam. hor. 15
Éléments de la Lune.
LE TCEAL Ph.
vier à 6" de Paris A(—923"2038,9 + IÉ
correction pour 5,7 101,8 133 Dur l’observation R(—923 20 28 1 33 D(—539 47" À + correction pour 5",7 +01 26 1057 | ————— 755 jour l'observation D(—5°34 13" A 86.07 Lune.
hauteur observée CC 22° 43 40” ression apparente — 03 30 h uteur apparente €. 22 10 10 (paral. — réfract.) + 49 55 demi-diamètre 049 25 | H— 93 15 30 L— 12 40 00 cologcos0,01070 A— 95 34 10 cologsin0,00206 2S—131 29 40 À S— 65 44 50 log cos 1,61359 S—H— 42 29 20 logsin1,82959 1,45594 1,72797
0,11 (tabl. 1)
p'=—0 14 (tabl. 1)
30” Est
correction pour H, M.
Calcul des heures sidérales de Paris correspondant aux observations.
On a retranché 12* à la somme pour faire concorder le résultat avec l'heure approchée de Paris fournie par la longitude estimée.
Le 2 janvier à OP, temps sidéral 184553,
de Pari F e Paris À + 00 08 ,9
T. S. pour l'observation 18 46 51,
Achernar
hauteur -X 14°33" 00!
colog cos 0,01070 colog sin 0,27421
log cos 2,61282 log sin 1,98033
CRX—I 33 07 H.S. du lieu —3 40 43
2e H.S. de Paris—0 42 21
p'==—3",01 (tabl. 1) p'=—0 ,36 (tabl. Il)
ne
Longitude —2 58 22
Sirius
hauteur X 37°16/ 00”
AL —21"01"54 ÆAX— 6 39 42
H.S.du lieu— 3 41 36 3°H.S. de Paris=— 0 43 58
Longitude = 2 57 38
—= 44935" 30” Est
Passe
colog cos 0,01070 colog sin 0,01836
log cos1,31079 log sin 1,81706
= + 0,42 (tabl. 1) "= +0,23 (tabl. I)
+ 0,6 2430" Est
Mg + : à Vis
On commence par Calculer les heures sidérales de Paris relatives à chaque observation; puis on fait un calcul d'angle horaire avec chaque hauteur, en employant la latitude estimée 12°40';'et l’on en conclut trois heures sidérales du lieu; d’où trois longitudes. Cette façon d'opérer est un peu plus rapide que celle qui consiste à transformer séparément en heure moyenne chaque heure sidérale du lieu obtenue par le calcul. On détermine ensuite, au moyen des tables I et If, les corrections Pagel p relatives à chaque observation. Prenant alors une feuille de papier quadrillé (fig. 1), on trace les droites de hauteur des différents astres observés, comme dans l'exemple précédent. Ces lignes, en se coupant deux à deux, forment un petit triangle à l’intérieur duquel se trouvait le navire au moment de l’observation, et l’on a ainsi pour position à 8° 50" du soir :
—19° 43 00” Nord,
( L | G—44°96'40" Est.
La Polaire aurait fourni une vérification commode et rapide de cette latitude; mais le ciel étant couvert de ce côté, il a été impossible de l'observer.
On voit par cet exemple le parti qu’on peut tirer des observations de nuit, ainsi que la disposition à suivre dans les calculs. Chaque hauteur observée donne lieu à un simple calcul d'angle horaire, et fournit une ligne de position pour le navire; on pourrait donc en tracer un nombre illimité. Dans la pratique il est bon d’en avoir au moins #r'ots, pour juger quel degré de confiance on doit accorder au résultat. On observe pour cela trois astres dont les relèvements au compas diffèrent entre eux deux à deux, de 40° à 70° environ, ou de 110° à 130°, de telle sorte que les droites obtenues se coupent dans de bonnes conditions; en définitive, on doit chercher autant que possible à se rapprocher du triangle équilatéral. Dès que les observations sont terminées, il faut avoir soin de relever au compas les astres choisis; dans le cas où l'état
du ciel empêche de voir les constellations, cette précaution permet de s'assurer ensuite si l'étoile observée est bien celle que l’on a présumée (voir problème III et exemple II) ; ce relèvement ne sera jamais inutile d'ailleurs, même comme simple contrôle du calcul.
La durée de l'observation s’élevant à peine à quelques minutes, il n'y à généralement pas lieu de tenir compte du chemin parcouru dans l'intervalle. Pourtant si la vitesse du navire était considérable, on ramènerait, au moyen de l'estime, toutes les droites au moment de l’une quelconque d'entre elles, comme nous l’avons fait dans l’exemple [.
Exemple EE (probleme 111, page 35).
{latit. estimée 12°40' Nord, (longit. estimée 44°21' Est, on à observé 52°30 pour la hauteur d’une étoile dont le relèvement vrai était le N 25° E du monde. On demande le nom de cette étoile.
Le 2 janv.1876, vers 853" du soir, étant par
On entre dans la table F avec la hauteur 52°30 comme argument vertical (Péclinaison) et l'azimut vrai 25° comme argument horizontal, et l’on obtient ainsi le nombre z'= + 3',08. On prend ensuite dans la table IT, avec la latitude 12° 40’ et l’azimut 25°, le nombre z” = — (0,49 qui a le signe —, parce que l’azimut est compté du pôle élevé. La somme algébrique (z'+ 7") donne z = + 2,59, nombre avec lequel on entre comme Correction Pagel dans la table IT, la latitude servant d’argument horizontal. On trouve ainsi pour angle au pôle de l’étoile 21°,5 puisque z a Le signe +, soit 4° 26".
L'astre étant dans l'Est, son angle horaire est égal à (24* — P), c’està-dire à 2934": or, au même instant l'heure sidérale du bord est donnée par la somme suivante (formule de la page 34) : |
Heure vraie astronomique du bord 8h53" Equation du temps (avec son signe) + 04 (C. des T., page 14)
Temps sidéral correspondant, . . . 18 47 (C, des T., page 15) Heure sidérale du bord. , . . . ,. 97 44
De H.S. on retranche : Angle horaire de l’astre. . . . . .. 92 34
On a ainsi pour : Ascension droite de l’astre. . . . . 510% à quelques min. près.
En parcourant alors le catalogue de la Connaissance des temps, on trouvé deux étoiles brillantes auxquelles cette ascension droite peut
ND eee
convenir, la Chèvre (5"07*) et Æigel (5" 08"); mais ce dernier astre a une déclinaison australe de &, et il eût été impossible de le relever au N 25° E du monde, le navire se trouvant dans l'hémisphère Nord. La déclinaison de l’autre étoile étant de 46° boréale au contraire, il y a toute probabilité que l’astre inconnu soit la Chévre (x du Cocher). Comme vérification, du reste, on peut calculer directement la déclinaison de cette étoile inconnue, en renyersant la marche indiquée dans le problème 1. Au moyen de l’azimut 25° et de la latitude 12°40, on
trouve (table II) p = — 2,20; avec l’angle au pôle 1° 26" calculé plus haut et la latitude, on prend (table Il) 2’ = +0,57; d’où l’on déduit p—=p—p"—=—2,11. Avec ce dernier nombre et l'angle au pôle
1° 26", on entre dans la table [, et l’on obtient pour déclinaison 45° 4 environ, déclinaison qui est de même nom que la latitude, c’est-à-dire boréale, puisque p' a le signe —, et que l’astre est dans l'Est. Cette déclinaison est précisément celle de la Chévre.
Remarque. — Si l'astre observé a l'éclat d’une étoile de première grandeur, il ne faut pas oublier de consulter aussi les éphémérides des planètes Vénus, Mars, Jupiter el Saturne. Dans l'exemple actuel, l’ascension droite obtenue ("10") ne s’applique à aucune d’elles pour la date considérée (2 janvier 1876).
Exemple EV (probleme 11, page 34).
Le 7 mai 1876, étant par 37° 30° de latitude Nord et 12° de longitude Ouest, on a relevé le soleil au S 63° E du compas vers 8*15" du matin ; au moment de l'observation le compteur marquait 5" 08", et son état (retard)sur Paris était de 3° 54" 20°. On demande la variation du compas.
La première opération à faire consiste à calculer l’heure vraie du bord pour le moment de l’observation, au moyen de la formule donnée page 95 :
f Heure notée sur le compteur. . . . . 5"08",0 État absolu (retard) sur Paris. . . . 3 54 ,3
Équation du temps (avec son signe). + 03 ,6 (Connu. des T., page 93) ( Longitude Ouest (réduite en temps). —0 48 ,0
Heure vraie du bord. ....,. ... 8 17 ,9 soit 8:18" du matin
De cette heure on conclut l’angle au pôle P —3"42", puisque le
L) soleil est dans l'Est du méridien ; d'autre part, la déclinaison du soleil prise à vue dans la Connaissance des temps est de 16° 56’ boréale : on a ainsi tous les éléments nécessaires pour le calcul d’azimut.
Avec D—17°00"B et P—3149%, on prend (table I). . . . .. p'—=—0",37 Aveu L=3130'N et P—3149», on prend (table. I[).1. , 2.2 p'= +0,53 La somme algébrique de ces deux nombres donne. . . . . . . p =+0,16
On entre alors dans la table IT avec ce nombre + 0,16 comme correction Pagel et la latitude du navire 37°30' N, et l’on trouve ainsi pour l’azimut vrai du soleil S 82,8 E. La variation du compas est donc de 19%,8 soit 20° NO.
Le calcul logarithmique au moyen de la formule (1) donne pour azimut exact 82° 53.
Exemple V (probleme 11, page 34).
Le 13 mars 1876, étant par 25°15" de latitude Sud et 99 30° de longitudée Est, on a relevé la lune au $S 83° O du compas à 5" 48" du matin, heure vraie du bord. On demande la variation du compas.
Avec la longitude réduite en temps (99° 30'— 6" 38") et l'équation du temps prise à vue(+10"), on calcule l'heure moyenne approchée de Paris pour l'instant de l'observation; ce qui donne 11? 20" du soir environ, le 42 mars astronomique. On prend alors dans la Connaissance des temps les éléments de la lune relatifs à cette heure et à cette date, soit
2 D Cr 19" 14/ansirale
Pour avoir maintenant l’angle au pôle de l’astre, on fait la somme algébrique suivante :
Heure vraie astronomique du bord. . 17"48"00*
Dors Équation du temps (avec son signe). + 09 30 (C. des T., page 18) our Temps sidéral à midi moyen... .. 23 21 52 (C. des T., page 19) PRE Correction pour l'heure de Paris. . . + 01 52 (C. des T., page 661)
Heure sidérale du bord. . . . . . . . 17 2114 On retranche de cette heure : ÆQ 13 32 00
Ce qui donne : Angle horaire © 3 49 14
du (OU
L'angle horaire étant plus petit que 12", la lune est dans l'Ouest du méridien, et son angle au pôle est de 3*49". On peut alors effectuer le calcul d'azimut :
Avec D—1211" À et P—3?49", on prend (table 1). . . . . . p'= +0,26 Avec L—925°15 S et P—3"49%, on prend (table IT)... . . . p'=—0",30 La somme algébrique de ces deux nombres donne. . . . . . . p=—0,04
On entre enfin dans la table III avec ce nombre --0',04 comme correction Pagel et la latitude du navire 25° 15 Sud, et l’on obtient pour azimut vrai de la lune N 87°,9 O. La variation du compas est donc de 9° NE. |
Le calcul logarithmique au moyen de l'équation (1) donne pour azimut exact 87° 38°.
Exemple VE (problème IV, page 37).
Le 95 février 1876, étant par 45° 20’ de latitude Nord et 140° de lonsitude Est, on demande quelle sera la hauteur de Régulus à 8*32° du soir, temps moyen du lieu.
La Connaïssance des temps donne pour ARéqulus les éléments suivants :
M X = 10"02*, DKX-— 1234 boréale.
Il s’agit tout d'abord de calculer l’angle au pôle de l’astre :
Heure moyenne du lieu. . . , . « . . 322 Temps sidéral correspondant. . . . . 22 18 Heure sidérale du lieu. . . . . . .. 30 50 On retranche de cette heure ÆAYX 10 02 et l’on a : Angle horaire de Réqgulus. . 20 48
L'angle horaire étant plus grand que 12?, Régulus se trouve dans l'Est du méridien, et son angle au pôle est égal à 3" 12". Avec cet élément on peut calculer l’azimut vrai de l’astre, que l’on trouve être le S 67° E.
On cherche alors dans la table TI la correction Pagel correspondant à une latitude de 45°20' et à un angle de 48° (angle au pôle de Ré-
AE à ES
gulus); on trouve ainsi k'= + 1,27 avec le signe +, parce que l'angle au pôle est plus petit que 90°. On entre ensuite dans la table IT avec la latitude 45° 20° et l’azimut 67° comme arguments, et l’on obtient le nombre 4"=— 0,43 avec le signe —, parce que l’azimut est compté du pôle abaissé, La somme algébrique (4° 4”) donne 4— +0/,84. On cherche enfin ce dernier nombre dans la table I avec l’azimut 67° comme argument horizontal, et l’on voit dans la colonne intitulée Déclinaison que l'angle correspondant au nombre 0',84 est de 37° ? environ. La hauteur de Aégulus est donc de 37° 40" au-dessus de l'horizon, parce que k est un nombre posthif.
La hauteur exacte calculée par logarithmes est de 37° 52’.
Exemple VIE (problème V, page 38).
Calculer l'heure moyenne du coucher apparent du bord supérieur du soleil le 12 juillet 1876, pour une latitude de 46° Nord.
La Connaissance des jemps donne les éléments suivants, qu'il suffit de prendre à vue :
DO—921° 54 boréale, équation du temps = + 5"",3.
On entre alors dans la table IT avec 46° comme latitude et la distance polaire 68°,1 comme angle au pôle, et l’on trouve le nombre p=0/,42. Dans le tableau de la page 39, ce nombre correspond à 7*39" environ, qui représente ainsi l'heure vraie du coucher vrai du centre du soleil. Pour avoir maintenant l'heure moyenne du coucher apparent du bord supérieur, il faut faire la somme suivante :
Heure vraie du coucher du centré. « .1. 1. 1 1412, 72 59% 0 Correction (tableau de la page 40). . . . . . . . . .. +06 ,3 Équation du temps (avec son signe), . . . . . . . . . . +05 ,3
Heure moyenne du coucher apparent du bord supérieur. 7 50 ,6
Le calcul rigoureux par la formule habituelle d'angle horaire donnerait 7° 50" 02: ; on voit donc que l'erreur n'’atteint pas une minute. Du reste, toutes les fois qu'on fera l’interpolation avec soin en calculant p,, on pourra compter sur une approximation d’une à deux minutes de temps.
Ee I ES
Exemple VIE (problème VI, page A).
Déterminer l'angle de route initial à suivre pour se rendre de Valparaiso à la pointe d’Akaroa de la presqu'île de Banks (Nouvelle-Zélande) en suivant l'arc de grand cercle.
Les positions géographiques des deux lieux considérés sont :
Valparaiso (point de départ). . . L— 33°02’ Sud G— 7403" Ouest. Akaroa (point d'arrivée). . . , . L'—243°5l' Sud G'—170°45" Est.
Différence en longitude. P—115°12/
Avec ces éléments le calcul de l'angle de route s’effectue de la manière suivante :
Avec L'=43%51" Sud et P—115°12 on prend (table 1). . . p'=—+1",06 Avee L=—33°02’ Sud et P—115°12 on prend (table I), . . p”—=+0,31
La somme algébrique de ces deux nombres donne, , , . .. p—+1,37
Avec L=—33" Sud et p= +1,37 on trouve (table IIT) comme angle de route V=S 41,10.
Exemple IX (problème IX, page 44).
Calculer la distance en milles à parcourir en suivant l'arc de grand cercle de l'exemple précédent.
L’angle de route initial pour cet are de grand cercle est $ 41° O. Avec L=33°02" Sud et le supplément de P == 64°48", on trouve (table ID). #7 =—0,56 Avec L=—33°02’ Sud et l'angle de route V — 410, on trouve (table Il)... m"=+0,74
. La La somme algébrique de ces deux nombres donne. . . .. . .. . . ... m = + 0,18
Avec ce nombre + 0,18, comme correction Pagel, et le complément 49° de l'angle de route comme latitude, la table IT donne l'angle 830,2 qui représente la distance cherchée; en la multipliant par 60, on obtient 4992 milles, à 10 ou 15 milles près.
Dans cet exemple il y a grand avantage à suivre l’arc de grand cercle, qui abrége le chemin à parcourir de près d’un dixième; la dislance des deux mêmes points en suivant la loxodromie serait, en effet, de 5435 milles environ.
MNT; ou
Exemple X (problème VII, page 49).
En suivant l’arc de grand cercle de l'exemple VIIT, par quelle latitude maxima le navire sera-t-il entrainé?
On entre dans la table IT avec la latitude de départ 33° 02, et l’on cherche sur la même ligne horizontale le nombre 1,37 qui a servi à calculer l'angle de route initial (exemple VII); on obtient ainsi pour angle au pôle correspondant 2%5°,3 dont le complément 64°,7 représente la différence en longitude (G,, — G) entre le point de départ et le point de latitude maxima. |
On entre alors dans la table IIT et l’on cherche dans la colonne verticale intitulée 0° la latitude de départ 33° 02’; on suit la ligne horizontale correspondante jusqu'à la colonne verticale ayant pour argument la différence en longitude 6%°,7. L’angle obtenu en faisant cadrer est la latitude maxima 56°,6 (e).
Exemple XI (probleme VIII, page 43).
Déterminer l'angle de route initial à suivre pour se rendre de Valparaiso à la presqu'île de Banks sans dépasser le parallèle de 45°.
On entre dans la table II et l’on cherche dans la colonne verticale intitulée 0° la latitude de départ 33°02’; on suit la ligne horizontale correspondante jusqu'à ce qu'on trouve un angle égal à la latitude de 45° qu'on ne veut pas dépasser. En faisant l'interpolation à vue, on voit que l'argument vertical correspondant est 49°,5 qui exprime la différence de longitude entre Valparaiso et le premier point de tangence.
Connaissant la différence de longitude entre ces deux points ainsi (e) Les trois exemples qui précèdent, ainsi'que l'exemple XII, sont extraits du Cours de navigation de M. Dubois, qui obtient par logarithmes : angle de route initial, 419,0; distance orthodromique, 4985 milles; latitude maxima, 56°34/.
. L , n En comparant ces résultats aux nombres fournis par nos tables, on voit qu’elles donnent une exactitude bien suffisante pour la navigation.
