FM OF

ou, en représentant par p la distance de M à F, par ri et r Q les distances de M ! à F ; et à 0, et par a\ la distance de à F,

On trouve de même, en représentant par p' et les distances de M et à l'autre foyer de la conique tt par v% la distance de M' au point inverse de ce foyer,

Il résulte de ces équations et de l'équation bipolaire de la conique le théorème suivant:

Les distances r , n et r% des points de la cubique inverse d'une conique au point double et aux foyers de la cubique sont liées par la relation linéaire homogène

a\ r{ -f- a$ r% = 2er

dans le cas de V ellipse, par la relation

ai ?'i — a% r% = + 2er Q

dans le cas de Vhyperbole.

30. Les courbes qu'on vient de considérer coïncident avec les podaires des paraboles.

Pour démontrer cette proposition, cherchons l'équation de ces podaires, et, pour cela, considérons une parabole quelconque et un point M de son plan et prenons pour axes des coordonnées les parallèles à l'axe et à la directrice de cette parabole conduites par ce point. Alors l'équation de cette courbe prend la forme

(t/4 -f bf = 2p (xi + a),

et les équations de ses tangentes et des perpendiculaires à ces droites passant par M sont, respectivement,

(jji -\-b)y — px = 2ap — byi — -f px\

et

(yi + b)x+py = 0.

Or, ces équations et l'équation de la parabole donnent, en éliminant x\ et y\ : l'équation demandée

x (v? + y*) + ax 2 + bxy+-^-y^ = 0,

dont résulte que la podaire de la parabole considérée, par rapport au point M, coïncide avec la cissoïde (n.° 24) dont les paramètres a, (3 et c sont déterminées par les équations

et dont le point double est situé au centre M de la podaire. Cette cissoïde est cuspidale quand ô 2 = 2ap, c'est-à-dire quand le point M coïncide avec un point de la parabole; est crunodale quand b % > 2ap, c'est-à-dire lorsque le point M est situé dans la région du plan de la parabole vers laquelle cette courbe tourne la convexité, et est acnodale quand 5 2 < 2ap, c'est-à-dire quand le point M est situé dans la région du même plan vers laquelle la parabole

VOL. IV D

tourne la concavité. Si le point M est pris sur Taxe de la parabole, la cissoïde correspondante est droite ; elle est oblique dans le cas contraire. Si le point M est situé sur la directrice de la parabole, l'équation de la cubique considérée prend la forme

(10) a . (a ,« + yî)+ |. ( y8 a .î ) + J i ^ = 0,

et représente la courbe nommée sirophoïde, que nous allons étudier bientôt. Si le point M est situé sur la tangente à la parabole à son sommet, c'est-à-dire si l'on a a = 0, la cubique considérée coïncide avec une courbe étudiée par Uhïhorn en 1809 dans ses Entdeckungen in der hoheren Gometrie, laquelle est nommée ophiuride et jouit de la propriété suivante: une des tangentes au point double est perpendiculaire à l'asymptote réelle. Si le point M est situé sur l'axe de la parabole, à distances égales du sommet et du foyer de cette courbe, on a la courbe nommée par M. Peano visiera, que nous retrouverons plus loin,

Réciproquement, si la cubique (4) est donnée, on détermine au moyen des équations (9) les constantes a, h et p qui figurent dans l'équation de la parabole dont elle est la podaire par rapport au point double.

La conchoïde de Sluse.

31. Soient ÀB une droite et un point donné (fig. 3) et, sur chacune des droites OC,

qui passent par 0, prenons, à partir du point C où elle coupe AB, clans la direction OC, un segment CD tel qu'on ait

0CxCD = 7fi*

W- étant une quantité donnée. Le lieu des points D qu'on obtient ainsi est une courbe considérée par Sluse dans une lettre adressée à Huygens {Oeuvres de Huygens, t. iv, pag. 246), pour laquelle M. G. Loria a attiré l'attention dans une Note insérée au Mathesis (1897, p. 5), où il a donné à cette courbe le nom de conchoïde de Sluse.

Pour obtenir son équation, il suffit de remarquer qu'on a

Fig. S