CD = P ° , CD
cos a
Donc, Y équation polaire de la courbe considérée est
a Ifi
(1) p = -T- + — costf;
k cos a
et, par suite, Y équation cartésienne de la même courbe est
32. On voit aisément au moyen de l'équation (2) que la cubique de Sluse a la forme indiquée dans la figure 3 e . Elle a un axe, qui coïncide avec celui des abscisses, une asymptote AB ; dont l'équation est x = a, et un point isolé, qui coïncide avec l'origine des coor-
données ; l'abscisse du sommet Ci est égale à
La cubique de Sluse a deux points d'inflexion à distance finie. Pour les déterminer, exprimons x et y en fonction rationnelle d'un paramètre variable t, en faisant y = tx dans l'équation de la courbe ; il vient alors
x = a + • — — — ■ — — 5 y = at 4- — - — , — — •
Les valeurs de t correspondantes aux points d'inflexion sont donc données par l'équation dx dhj __dy â?x m F 2 + a 2 - 3a 2 f, 2
ou
et les coordonnées de ces points par les équations
Sluse a attribué à Huygens l'invention d'une méthode pour déterminer ces points (Oeuvres de Huygens, t. iv, 1891, p. 292).
En éliminant & 2 entre les équations qu'on vient d'obtenir, on trouve l'équation
qui représente une cissoïde de Diodes. Donc on a le théorème suivant, découvert par Sluse (Le, p. 247):
Le lieu des points d'inflexion des cubiques de Sluse ayant la même asymptote et le même point singulier est une cissoïde de Diodes.
33. Si l'on prend sur la droite OD (fig. 3) un segment CD' égal à CD, le lieu décrit par D', quand D parcourt la courbe considérée ci-dessus, est représenté par l'équation
(3) a(x — a) (x 1 y*) = — kPx-,
et on passe immédiatement des propriétés de la courbe (2) pour celles de la courbe (3) en remplaçant & 2 par — 1<? dans les formules et dans les théorèmes obtenus précédemment.
La nouvelle courbe a la forme indiquée dans la figure 4 e , quand a 2 ^>& 2 , et a la forme indiquée dans la figure 5 e , si a 2 <& 2 . Dans le premier cas elle a deux points d'inflexion
Fig. 4
Fig. 5
réels, à distance finie, et dans le deuxième cas deux points d'inflexion imaginaires. Le segment OB est dans les deux cas égal h a. Quand W 1 = a 2 , l'équation considérée représente la cissoïde de Dioclès. Les angles formés par les tangentes à la cubique au point double avec l'axe des abscisses sont donnés par l'équation
tang 6 = ?
et les rayons de courbure des deux arcs à ce même point sont donnés par la formule (n.° 25)
34. Les cubiques représentées par les équations (2) et (3) coïncident avec les cissoïdes droites considérées au n.° 24, puisque l'équation de ces cissoïdes est
(as 2 + y 2 ) oc = c (œ 2 + y%) — 2tfœ 2 ,
et on peut toujours déterminer les paramètres qui figurent dans l'équation d'une de ces classes de courbes, quand on donne ceux qui figurent dans l'autre, au moyen des équations
a = c, ip 1<? — 2<xa.
Il en résulte d'abord une manière de construire les cubiques de Sluse, plus simple que celle employée par ce géomètre, et de construire leurs tangentes. Il en résulte aussi que ces cubiques coïncident avec les jpodaires des paraboles, rapportées aux points de l'axe, et avec les courbes inverses des coniques, rapportées aux sommets.
35. En appliquant la doctrine exposée aux n. os 28 et 29, on voit que les coordonnées des foyers de la cubique représentée par l'équation (2) sont (2a, + 2k) et que les distances d'un quelconque des ses points à "ces foyers et au point double sont liées par la relation
on voit de même que les coordonnées des foyers de la cubique représentée par l'équation (3) sont [2 (a + 0] et qu'on a
(a — h) n -j- (a + Je) r% = 2ar ,
quand a>&, et
(Je — a)r\ — (Je + «) ^2 = i 2a7- , quand a<&, n désignant la distance au foyer [2(a + ft) 7 0] et r% la distance à l'autre foyer.
36. L'équation des cubiques de Sluse rapportée au point Ci comme origine et à CiX comme axe des coordonnées polaires (r, to) est
ar 2 cos cd + j^2a (a + A-^ cos 2 to + & 2 sin 2 toj r + a |a + A-j cos co = 0.
On voit au moyen de cette équation que la cubique considérée coupe chacune des droites qui passent par Ci en deux points tels que les segments n et r% compris entre Ci et ces points satisfont à la condition
On voit aussi au moyen de la même équation que le rayon de courbure de la cubique au
point Ci, où r = et a> = — ? est donné par la formule
(q* + fe a ) a
La strophoïde.
Considérons un cercle de centre C et de rayon CA (fig. 6), et tirons par son centre
la droite KL, qui forme avec CA l'angle a.
Prenons ensuite sur chacune des droites qui passent par un vecteur OM égal à la différence des vecteurs OD et OE des points D et E où cette droite coupe le cercle et la droite KL. Le lieu des points M qu'on obtient de cette manière est la courbe nommée strophoïde. Cette courbe est donc une cissoïde crunodale. Si a = 90°, la strophoïde est dite droite; si ce est différent de 90°, on dit qu'elle est oblique.
On peut trouver V équation polaire de la strophoïde au moyen des relations
OM = OD — OE, OD = 2a cos 0,
