OE
a sm oc sin (a — d
Fig. 6
où p, a et 6 représentent le vecteur OM du point M, le rayon OC et l'angle DOA ? lesquelles
donnent
. a sin a sin (a — 26)
(1) p = 2acos0 — -r— ( m =«— '
w k sin (a — 0) sin (a — 0)
En représentant par 6 ! l'angle formé par OM avec la droite OX, perpendiculaire à la
rite donnée KL, et en tenant con l'équation précédente sous la forme
droite donnée KL, et en tenant compte de l'égalité = + — — on peut mettre encore
sin (a + 20')
7 k cos
d'où l'on déduit l'équation cartésienne de la courbe considérée, rapportée à OX et à la perpendiculaire en à cette droite :
(3) (a? 2 + ?/ 2 ) x = a [(ce 2 — y 2 ) sin a + 2xy cos a] .
38. La plus ancienne mention connue de la strophoïde droite se trouve en deux lettres écrites par Verdus à Torricelli en 1645, dont il résulte que Roberval fut probablement le premier géomètre qui s'est occupé de l'étude de cette courbe, désignée alors par le nom de pteroïde. Ces lettres furent publiées par Boncompagni dans son Bulletino (t. via, 1875). La même courbe fut étudiée plus tard par Moivre, en 1715, dans les Philosophical Transactions ; par Agnesi dans ses Instituzioni Analitiche (Milano, 1748, p. 378 et 391); etc.
Il paraît que c'est Montucci qui lui donna pour la première fois le nom de strophoïde, dans un article publié em 1846 dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (t. v, p u 470). Lehmus, dans ses Aufgaben aus der hoheren Maihematik (Berlin, 1842, p. 120), l'a nommée hukumaeide ; et Booth l'appela logocy clique dans un article publié dans le Quarterly Journal of Mathematics (1858 et 1859) et dans son Treatrise on some New Geometrical Methods (1873, t. i, p. 292).
Les plus anciens travaux connus dans lesquels la strophoïde oblique fut considérée sont les Lectiones geometricae de Barrow (1669, p. 69), où ce géomètre en a déterminé les tangentes, et deux mémoires de Casali insérés aux Instituti Bononiensis Comment arii (t. iv, 1757), dans lesquels l'invention de cette courbe est attribuée à Torricelli. Postérieurement Quetelet s'en est occupé dans un mémoire intitulé : De quibusdam locis geometricis neenon de curva focali, publié à Grand en 1819, mémoire dans lequel il a donné à cette courbe le nom de focale à noeud; par ce motif, elle a été appelée quelquefois focale de Quetelet, Ce mémoire a été suivi d'un autre de Dandelin inséré au dans le tome H, p. 169, des Mémoires de V Académie de Bruxelles, où furent continuées les recherches de Quetelet.
Les strophoïdes droite et oblique ont été l'objet de beaucoup d'autres travaux dont on peut voir les titres dans une liste publiée par Tortolini en 1860 dans les Annali di Matematica, t. ni, et transcrite dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (1861, p. 82)>
et aussi dans une autre, plus moderne et plus complète, publiée par M. Gunther dans l'ouvrage intitulé Paraboliches Logarithmen und paraboliche Trigonométrie (Leipzig, 1882). L'histoire de ces courbes a été le sujet d'une notice publiée par M. G. Loria dans son Bulletino di Bïbliograjia (1898, p. 3).
39. Nous allons passer maintenant à l'étude de la strophoïde droite. L'équation cartésienne de cette courbe est
d'où l'on déduit qu'elle a la forme indiquée dans la figure 7 e . Elle coupe l'axe des abscisses
aux points et C, où x = et x = a, et le premier de ces points est double; à chaque valeur de x comprise entre — a et a correspondent deux points réels disposés symétriquement par rapport à cet axe ; et la droite PQ, qui a pour équation x= — a, en est une asymptote. Les tangentes en les points
où l'abscisse est égale à -^-a(t/5— 1), sont
parallèles à OX, et les tangentes en le point double forment avec l'axe des abscisses des angles de 45° et —45°.
40. En portant de l'équation polaire de la strophoïde droite:
Fig. 7
cos20 cos d
on trouve l'expression suivante de son rayon de courbure :
q(l + sin 2 6) 2 : 4cos 4 0(l + 2sin 2 0)'
On voit au moyen de cette formule que la courbe n'a pas de points d'inflexion réels à distance finie, et qu'on a, au point C, R = -i-co et, au point 0, R~a l/2.
41. En remplaçant dans l'équation (4) x par a — x, pour transporter l'origine des coor-.
données au point C, on obtient l'équation
9 (a — xifœ{
où. l'on suppose que CD est la direction positive de Taxe des abscisses. En posant ensuite a? = r cos io et ?/ = rsino3, on trouve l'équation polaire de la courbe, rapportée au point C comme origine et à OD comme axe:
