CN = CF + FO, CM = CF — FO

dont il resuite une manière facile de construire la strophoïde, en traçant seulement des droites.

Une autre conséquence qui résulte de ces relations c'est l'égalité des segments FM, FN et OF, et par suite celle des angles FOM et FMO et des angles FON et FNO. On en conclut que l'angle formé par OM avec OX est égal à ~ ~ et que l'angle formé par ON

avec la même droite est égal à — % — ~ •

Il résulte enfin de ces mêmes relations l'identité

CMxCN = ÔC 2 = a 2 ,

laquelle est, d'ailleurs, un cas particulier de celle qu'on a démontrée au n.° 36.

42. L'aire comprise entre la strophoïde, l'axe des abscisses et une parallèle à l'axe des ordonnées, menée par le point (a?, ?/), a pour expression

A= / x\/ - dx = a À arc tang \ / ■ • ' / — T - + 1

En posant x = a et en multipliant par 2, on trouve que la valeur de l'aire de la boucle est donnée par la formule

& [ ^2a^-~aK

VOL. IV E

La valeur de Taire comprise entre la courbe et l'asymptote est donnée par la formule

La somme des deux aires qu'on vient de considérer est donc égale à 4a 2 . Le problème de la quadrature de la strophoïde fut étudié pour la première fois par Moivre (1. c).

43. On peut déterminer la longueur des arcs de la strophoïde droite au moyen des intégrales elliptiques de I e et 2 e espèce, comme l'a fait voir Booth (1. c, p. 304) en se basant sur la considération de la courbe inverse de la strophoïde. Nous allons résoudre maintenant le même problème au moyen d'une analyse différente.

En appliquant à l'équation (6) la formule

ds =

on trouve

7 l + smto. A 1 . 9 7 1 /— (1 + smo3)(l +cos 2 œ)

ds = a V 2 -s 1 / 1 — — sm 2 to do» = - - a V 2 : L

cos 2 o) V 2 2 / i

cos 2 03 i I 1 — — - sin 2

do3

sin 03 doo ~i

(1 | sin (o) y/ 1 ^ sm 2 03 S^/ 1 — — sin 2 03 %J 1 — \- sir

et on peut, par suite, calculer les longueurs des arcs ON et OM de la courbe considérée au moyen de la formule

j (1 sin 03) Ao:

sin 03 cZod

où o)i et Ao3i représentent l'angle MCO et la quantité \J 1 — ^-sin 2 to, et où Ton doit prendre

les signes supérieurs quand on veut appliquer cette formule à l'arc ON et les signes inférieures si l'on l'applique à l'arc OM.

Pour réduire la première des intégrales qui figurent dans l'expression de s aux intégrales

elliptiques normales, on peut employer les relations connues

2 cos coA (

1 + sin co J (1 ± sin co) Aco J \

r sin 2 co<;/co a [ T. 7

/ r = 2 / / Aco dvù

J Aco l J Aco J

sin 2 co da Aco

qui

i donnent

(1 + sin co) Aco

cos coi Acoi 1 + sin coi

Aco Jco.

Pour calculer la dernière intégrale de l'expression de s, on peut y faire sin 2 co = £, et on obtient

f sin o c/co V 7 2 f

i Aco "~ ~~2~ J s/ a — tu

et par suite

= -— log (2 sin 2 œ — 3 + 2 /2 cos co Ato)

V 2 log (cos (o — l/ 2 Aco) + const. ,

— log [2f- 3 + 2 (2 - 1)}

sin co do Aco

Y2 1oi