TU 7Ï

* = - J log ( V 7 2 - 1 ) + a S/ 2 (l + f 2 ^ -f 2 Aco da>) -

L'intégrale de première espèce qui figure dans les formules précédentes sera retrouvée plus loin, quand nous nous occuperons de la rectification de la lemniscate de Bernoulli. L'intégrale de deuxième espèce qui entre dans ces mêmes formules est celle dont dépend la

rectification des ellipses dont l'excentricité est égale à -i-t/2.

44. Considérons maintenant la strophoïde oblique. En partant de l'équation cartésienne de la courbe, qu'on peut écrire de la manière suivante:

ax cos a + x V 'a 1 — x 2.

x + et sm a

on obtient aisément sa forme. La droite (fig. 6) PQ V déterminée par l'équation x = — a sin a,

a sm^ oc

en, est une asymptote et la coupe au point H, dont l'ordonnée est égale à ; les tangentes aux points U et T, dont les coordonnées sont

. + a cos a

~~ ' J il + sma

sont parallèles à cette asymptote; à l'intervalle compris entre x = — a et x = oc l'ordonnée y est réelle, elle est imaginaire pour toutes les autres valeurs de x. Donc, la courbe est située dans

la bande comprise entre les parallèles à l'axe des ordonnées qui passent par U et V et est coupée en deux points par chacune des parallèles à cet axe située dans la même bande. Ces points coïncident quand cette droite passe par l'origine des coordonnées, où la courbe a un point double.

On voit immédiatement par l'équation (2) que les angles formés par les tangentes à la strophoïde au point double ont les valeurs

, oc r ce

et qu'elles coïncident, par conséquent, avec OLi et OKi. Ce résultat est, d'ailleurs, une conséquence immédiate d'un théorème général démontré au n.° 20, ou, ce qui est le même, de la définition de la strophoïde comme cissoïdale du cercle OLiA et de la droite KL d'où il résulte que M tend vers quand la droite variable OA tend vers OKi, ou vers OLi.

On voit encore, au moyen de la même équation (2), que les valeurs Ri et Râ des rayons de courbure des arcs OCU et ODjU au point, double sont, respectivement,

Ri = 7 = ?

a a sm — - cos-^-

et que, par conséquent, les centres de courbure correspondants coïncident avec les points où la perpendiculaire à OC passant par C coupe OLi et OKi.

La courbe rencontre l'axe des abscisses aux points O et Dj, où x = a sin ce. La droite DiO coupe la courbe au point C où y = a cos a, qui coïncide par conséquent avec le centre du cercle considéré au n.-° 37. Ces résultats sont, d'ailleurs, une conséquence immédiate de la définition géométrique de la courbe.

L'expression de y écrite ci-dessus fait voir que l'hyperbole représentée par l'équation

axeosec

x -f- a sm a

coupe toutes les cordes parallèles à la asymptote en deux parties égales et passe par les points O, U et T; une des asymptotes de cette hyperbole coïncide avec l'asymptote réelle de la cubique.

45. Pour tracer la tangente ou la normale à la strophoïde au point M, on peut appliquer le théorème démontré dans le n.° 20, d'après lequel la sous-normale polaire de cette courbe au point M est égale à la différence entre la sous-normale polaire de la circonférence au point D et celle de la droite KL au point E. On peut résoudre le même problème au moyen

du théorème exposé au n.° 21, d'après lequel le point où la tangente à la cubique au point M coupe l'asymptote est symétrique, par rapport à 0, du point de KL dont la distance à E est égale à la distance de ce point à celui où KL est coupée par la tangente au cercle OAD au point D.

46. La propriété de la strophoïde droite démontrée au n.° 41 peut être étendue à la strophoïde oblique. Pour cela, remarquons d'abord que les droites CM (fig. 6) et OY se coupent à un point F tel que FM = OP. En effet, les triangles MCO et CED sont égaux, puisque CD = CO, OM = ED, EDC = COM; et on a par conséquent

MC = EC, MEC = EMC = FMO, d'où il résulte premièrement

FOM = MEC — FMO et ensuite MF = OF. On trouve de mûmeNF = OF. Donc (7) CN = CF + FO, CM = CF-FO.

Nous nous arrêterons quelques moments aux conséquences de ces égalités.

1. ° Il en resuite que la strophoïde peut être définie comme le lieu des points M et N qu'on obtient et prenant sur chacune des droites qui passent par un point C, à partir du point F où elle coupe la droite donnée OY, deux segments FM et FN égaux à la distance FO de F à un point donné O pris sur OY, C'est ainsi que la courbe considérée fut définie pour la première fois par Barrow (1. c).

Cette manière de construire la strophoïde peut être étendue évidemment à d'autres courbes, en remplaçant la droite OYpar une courbe quelconque (C). Le lieu des points qu'on obtient alors, en prenant sur chaque droite qui passe par C, à partir de son intersection avec (C), deux segments égaux à la distance de ce point à 0, est une courbe dite strophoïdale de (C). La théorie générale des strophoïdales fut considérée par M. Barbarin dans la Hévue de Mathématiques spéciales, 1894, par Gr. de Longchamps clans le Mathésis, 1894, etc.

2. ° Il résulte des égalités OF = MF et OF = NF l'égalité des angles OFM et FMO et celle des angles FON et FNO, au moyen desquelles on voit aisément que les vecteurs OM et ON des points M et N, situés sur une même droite passant par le centre du cercle OAD, sont perpendiculaires l'un à l'autre.

3. ° Représentons par r et o) les coordonnées polaires des points de la cubique rapportées à C comme origine et à CO comme axe; il résulte des égalités (7) et des suivantes:

CF __ sin FOC sin a FO sin FCO sin co 'CO " sin OFC sin {â+ûj ' C O ~ " slnÔFC ~ sin (a + û) ?

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que l'équation polaire de la courbe est alors

a (sin a + s in to)

sin (a + co)

On voit par cette équation que la tangente à la cubique au point C fait avec OC un angle

égal à a et que la valeur du rayon de courbure à ce point est égale - — ~ — •

4 sin. oc

4,° En représentant par r Q le segment de la droite CF compris entre C et l'asymptote de la cubique et en tenant compte que la distance des droites KG et OY est égale à la distance des droites OY et PH, on peut écrire

CM + CN = 2CF = r .

On voit au moyen de cette relation qu'une partie de la cubique considérée est la cissoïdale de l'autre partie et de l'asymptote, et que, par conséquent (n.° 21), les tangentes à la cubique aux points M et N coupent l * asymptote en deux points équidistants de celui où elle est coupée par la droiteMF ; ce théorème n'a pas encore été remarqué, je crois. Il en résulte, comme corollaires,, que la tangente à la cubique au point G passe par le point H où la strophoïde coupe son asymptote, et que les points U, C et T sont situes sur une même droite.

47 « En comparant l'équation (3) avec l'équation (10) du n.° 30, on voit qu'elles coïncident lorsqu'on a

2a sin ex =p, 2acosa = — b.

Les strophoïdes coïncident donc avec les podaires des paraboles, rapportées aux points de la directrice. On peut déterminer au moyen de ces équations les deux paramètres a et a, qui entrent dans l'équations de la strophoïde, ou les deux paramètres b et p, qui entrent dans l'équation

de la parabole correspondante, quand les autres sont donnés.

48. La courbe inverse de la strophoïde par rapport à son point double est l'hyperbole représentée par l'équation

a [(ce 2 — y*) sin a -\- 2xy cos a] — m^x = 0.

La cubique considérée a donc deux foyers, qui coïncident avec les points inverses des foyers de cette hyperbole (n.° 28), et les distances de chacun de ses points aux foyers et au

point double sont liées par une relation linéaire, dont les coefficients, se déterminent par la méthode exposée au n.° 29.

Dans le cas de la strophoïde droite les coordonnées des foyers sont [ — 2a (1 + y/ 2), 0] et la relation entre les distances r , r\ et r* des points de la cubique au point double, au foyer [— 2a(l-V2), 0] et au foyer [— 2a (1 + ~sj~2 ), 0] est

La strophoïde a deux asymptotes imaginaires dont les équations sont

y = + i (x — a sin a) + « cos a ;

le point d'intersection de ces asymptotes a pour coordonnées (a sin a, a cos a).

La courbe a donc un singulier qui coïncide avec le centre C du cercle OÂD (fig. 6).

Si Ton prend pour origine des coordonnées ce point, l'équation de la courbe prend la forme

x (x? + 3/ 2 ) + 2a (ce 2 + y^) sin a — a?x cos 2a -f- a^y sin 2a = 0.

49. Chacune des droites qui passent par U (ou T) coupent la strophoïde en deux points, différents de U (ou T), et les segments pi et pa de cette droite compris entre ces points et U (ou T) satisfont à la relation

pi p2 =™ 2 ,

m désignant la distance de U à (ou de T à 0).

Ce théorème est analogue à un autre relatif à la cissoïde qui a été énoncé au n.° 19, et on peut lui appliquer toutes les considérations faites alors.

50. Prenons pour axe des coordonnées les droites OLi et OKi (fig. 6), tangentes à la courbe au point double. Alors l'équation de le strophoïde se transforme clans la suivante :

1 x ^ + y 1 ) (® cos y ~ ^ ,sin ~v) = 2a xy,)

qui donne, en posant y = tx, t représentant la tangente de l'angle que le vecteur du point (ce, y) fait avec OLi ,

2at 2 at*

(t* + 1) (cos ~ + 1 sin ~J ' («2 + 1) (cos -J + *sin fj

On voit au moyen de ces équations que la droite représentée par l'équation

ux + vy = 1

coupe la courbe dans les points correspondants aux trois racines t{ } t% et h de l'équation t 3 sin + (|eos ~ — 2av ^ £ 2 + (^sin — 2cm^ t + cos = 0,

et que ces valeurs de £ satisfont à la condition

(9) ti h te= — cot y •

On voit de même qu'un cercle quelconque coupe la strophoïde en quatre points dans lesquels t prend des valeurs t[, t^ £3 et £4, satisfaisant à la condition

(10) titititi= cot* ^ •

Ces relations ont été employées par MM. Balitrand et Valdés pour démontrer quelques propriétés intéressantes de la strophoïde en deux travaux publiés dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (1893, p. 430; 1894, p. 243). Nous en allons indiquer quelques-unes.

1. ° La strophoïde a un point d'inflexion réel et deux imaginaires, correspondants aux valeurs de t données par l'équation

*3 + cot^ = 0.

La même courbe a quatre points où le cercle osculateur a un contact de troisième ordre avec elle, correspondants aux valeurs de t déterminées par l'équation

* 2 ±cot-ya = 0;

deux de ces points sont réels et les autres imaginaires.

2. ° Le point que la courbe considérée a à l'infini sur l'asymptote réelle correspond à

t = — cot-^-a; donc les valeurs de t correspondantes aux points situés à distance finie où une droite quelconque parallèle à cette asymptote coupe la cubique, satisfont à la condition

VOL. IV F

par suite, les droites qui passent par chacun de ces points et par le point double forment des angles égaux avec les tangentes en ce dernier point.

En faisant ti = — cot-^- dans la dernière égalité, on voit que la valeur de t au point H est égale a — tang — *

3.° La valeur de t au point Di est égale à tang-—, puisque l'angle DiOLi est égal à En tenant compte de cette valeur et de ce que la valeur de t au point H est égale à

— tang — , et en représentant par 0i et 0% les valeurs de t aux points où les tangentes à la cubique en Di et H coupent cette courbe, on trouve

Qi tang 2 == — cot ? (k tang 2 = — cot 5

donc, les tangentes à la strophoïde aux points Di et H coupent cette cubique à un même point.

4.° Si un cercle passe par deux points (^', ii) de la strophoïde situés sur une droite passant par H, il coupe cette courbe en deux autres points (£3, tl) situés sur une droite parallèle à V asymptote réelle.

En effet, on a

et par suite

5. ° Les cercles oscillateurs en trois points situés sur une droite coupent la strophoïde en trois autres points situés sur le cercle passant par H.

6. ° Les cercles oscillateurs de la strophoïde en quatre points situés sur un cercle coupent la courbe en quatre autres points situés sur un autre cercle.

Ces deux dernières propriétés appartiennent aussi à la cissoïde, comme on Fa vu au n.° 6; on les démontre par une analyse semblable à celle qui fut employée dans le cas de cette courbe.

51. La strophoïde apparaît dans la résolution de beaucoup de questions intéressantes. Nous en allons considérer celle où elle a été rencontrée d'abord par Casali et plus tard par Quetelet.

Soit ÂSB la section produite sur un cône de révolution par un plan passant par son

axe SK (fig* 8); et YAX un autre plan, perpendiculaire à l'antérieur, mené par la droite

AY> tangente à la base du cône. Ce second plan détermine, par son intersection avec la surface du cône, une conique AGrC, dont l'axe AC forme avec AS un angle que nous représenterons par cp, et dont les foyers sont F et F 7 .

Cela posé, si le plan sécant tourne autour de la droite AY, la conique précédemment considérée varie et ses foyers décrivent une courbe placée sur plan ASB, qu'on a nommée focale de Queteîet, dont nous allons chercher l'équation.

Pour cela, représentons par cr l'angle ASK et par d la distance AS et cherchons d'abord l'équation de la conique AGrC, rapportée aux axes AX et A Y, On a, X et Y étant les coordonnées AR et GR du point G,