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Fig.

Y 2 ^PR.RQ;

mais les côtés PR et AR, RQ et RC, AC et AS des tri aux relations

angles APR, Q,CR et ASC satisfont

PR sin o BQ RQ sin (cp + 2o) AC sin 2 a X cos a RC AC — X cos a

d ~~ sin (cp + 2a) ' donc la conique considérée a pour équation :

Y 2 cos 2 a = X sin cp [d sin 2a — X sin (cp + 2a)] 6

Le grand axe m de cette conique et la distance c des foyers à son centre sont donnés par les formules

d sin 2a d sin a cos (ce + a)

sin (cp + 2a)

sin (cp -j- 2a)

dont il résulte que, si r et cp représentent les coordonnées polaires des points F ou F / dans le système qui a pour origine le point A et pour axe la droite AS, l'équation de la focale est

d sin 2a d sin a cos (cp J r a)

''2sin (cp"+2a) + sin (cp + 2a)

Nous allons maintenant démontrer que cette équation représente une stroplioïde oblique, et, pour cela, nous prendrons pour axe des coordonnées polaires la perpendiculaire baissée de A sur SB. On a alors^ en représentant par l'angle formé par AC avec cette droite,

<I> = -^ — 2a — cp, et par suite,

cl sin 2a cl sin a sin (c[> -j~ a)

2 cos à cos cj>

Mais, en représentant par T{ et les deux valeurs de r données par cette équation, on a

cl sin 2a cP sin 2 a cos (6 + 2a)

ri -f- r% = — ? r-i = ?

coscp coscp

et par suite

Q sin 2a ( cV- sin 2 a cos (cj>-(-2a) ^ cos 6 * ! cos 6 " 5

ou, en passant aux coordonnées cartésiennes,

x (ce 2 + ?/ 2 ) = 2c£ sin a cos a (ce 2 -|- ?/ 2 ) — cV 1 sin 2 a (ce cos 2a — ?/ sin 2a) , ou, en désignant par ai l'angle SAO et par a le segment AO, (12) ce (ce 2 + ?/ 2 ) — 2a (ce 2 4- ?/ 2 ) sin ai — a 2 (x cos 2ai + 3/ sin 2ai) = 0-

Nous avons ainsi l'équation de la focale par rapport à l'origine A, à un axe des ordonnées parallèle à SB et à un axe des abscisses perpendiculaire à cette droite, et, pour voir qu'elle représente une strophoïde, il suffit de remarquer que, si l'on y change x en — ce, on obtient l'équation écrite au n.° 48.

La coïncidence de la focale avec la strophoïde peut être démontrée encore par la méthode géométrique très simple qu'on va voir.

Menons par A la droite AOB, perpendiculaire à SK, et par O la droite OED ; parallèle à SB. Nous avons

AE sin AOE cos a

EO sinEAO cos (s + a) K ^ 7 .

— i -ttt = - . A T , — = — . — 7^-7-7- ' AO = cl sin a, 'a) AO smAEO sin (0 + 2a). 1

AO sinAEO sin(cp + 2a) AO sinAEO sin(cp + 2a) et par conséquent

r = AE + EO;

or, cette propriété caractérise la strophoïde (n.° 46) et fait voir que la focale considérée

coïncide avec cette courbe. Remarquons encore que cette strophoïde (ficj. 9) est tangente en

A à la génératrice SA du cône et passe par son sommet, qu'elle a le noeud au point 0, placé sur Taxe du cône, et qu'elle a pour asymptote la génératrice SB.

Quand a = 0, et par suite ai = -— -, le cône

se réduit à un cylindre, et l'équation (12) fait voir (n.° 41) que la focale coïncide alors avec la strophoïde droite.

Les focales de Yan liées.