Les recherches de Quetelet e Dande
lin sur les focales du cône mentionnées précédemment furent continuées par Yan Eees dans un Mémoire remarquable inséré au tome v, p. 361, de la Correspondance mathématique de Fig. 9 Quetelet, où il a considéré le cas où la base
du cône est une ellipse (jig. 8) et la tangente AY à cette courbe est perpendiculaire à une section principal ASB de cette surface. Il a trouvé que le lieu des foyers des sections planes passant par AY est alors une courbe représentée par une équation de la forme
(1) »(fic 2 + y 2 ) = A(aî 2 + y 3 )— B»-Cy;
ce qu'on peut voir, d'ailleurs, aisément par l'analyse employée au n.° 51 en y remplaçant l'équation (11) par l'équation
Y» = -^.PR.RQ,
ai et b{ représentant les demi-axes de la base du cône.
On voit aussi aisément que, si le cône se réduit à un cylindre, on a C = 0. Les focales correspondantes à ce cas furent le sujet d'un travail spécial de M. Andreasi, inséré au tome XXX du Giornale cli Matematiche de Battaglini, où il en a donné quelques propriétés.
Si A = et B = 0, on a, en faisant C = — a-, une équation représentant une solution du
problème suivant, considéré par Huygens et Leibnitz en quelques lettres intéressantes que ces grands géomètres ont adressées l'un à l'autre: déterminer les courbes dont la soustangente est égale à
a 2 ce — 2x*y 3 a 2 — 2xy ?
ces lettres ont été publiées clans le tome ix des Oeuvres de Huygens (p. 472-475, 537 et 549).
ISSo On détermine aisément la forme de la courbe représentée par (1), en écrivant cette équation de la manière suivante :
— C ± |/0 2 — 4(x~^- A) Ace 2 + Bx)~
e en remarquant que la relation
4 (ce— -A) (ce 3 - Ace 2 + Bx) = G 2
peut être réduite à la forme
1 6x1 - (8 A 2 - 1 6B) x\ + iV~ 4A 2 B -4C 2 = 5
en posant cc = a?i + -^-, et que cette dernière équation donne pour x\ les valeurs
xi = ± -4- ^A 2 — 2B + 2 i/'B 2 + C 2 ,
dont deux sont toujours réelles.
On a, en effet, en représentant par ai, a^ «3, «4 les valeurs correspondantes de x et en tenant compte de l'identité
C 2 — 4 (ce — A) (ce 3 — Ace 2 -f- Bec) = — 4 (ce — ai) (ce — a%) (x — «3) (ce — eu), les résultats suivants :
1. Cas. Si les quatre valeurs de cei sont réelles et ai > ag > «3 > «4, l'ordonnée y est réelle quand ce appartient aux intervalles («<, «2) et («3, a/,), et elle est imaginaire pour toutes les autres valeurs de ce; le point où x — A appartient à l'un des intervalles où y est réelle.
La courbe est donc composée d'un ovale et d'une branche infinie dont la droite exprimée par l'équation ce = A est l'asymptote réelle. Ce cas a lieu quand on a
2. e Cas. Si deux valeurs de X{ sont imaginaires, le produit des deux facteurs correspondants x — «3 et x — en, est positif, et on voit que la courbe est formée d'une seule branche infinie, dont la droite x = A est l'asymptote réelle. Ce cas a lieu quand on a
3. e Cas. Si deux des valeurs de X{ sont égales, la courbe a une branche infinie avec un noeud; la condition pour que cette circonstance ait lieu est
En posant
A = — 2 a sin a, C = — a 2 sin 2a = Aa cos a et en remarquant que la condition qu'on vient d'écrire donne
B--4-A 2 --S--a 2 cos2a, 4 A 2 '
on voit que l'équation (1) représente alors la strophoïde dont les paramètres a et a (n.° 48) sont déterminés par les équations écrites ci-dessus.
Nous ajouterons encore à ce qui précède que, en tous ces cas, la cubique considérée a deux asymptotes imaginaires représentées par 1* équation y = ix et y = — ix ; elle a donc un foyer singulier, qui coïncide avec l'origine des coordonnées,,
54* En abordant maintenant l'étude des propriétés des courbes représentées par l'équation (1), nous allons exposer, en premier lieu, quelques-unes des propositions avec lesquelles Van.Rees en a ouvert la théorie.
Considérons un point Ai situé sur la cubique, et par ce point et par le foyer singulier 0, origine des coordonnées, menons une droite OAi, représentée par l'équation y = Kx\ soit B| l'autre point où cette droite coupe la courbe. Alors les abscisses x 1 et x" des points Ai et Bi sont données par l'équation
(1+K 2 )œ 2 — (1 + K 3 ) A^ + B + CK = 0,
laquelle fait voir que x 1 et x' 1 satisfont à la condition
les ordonnées y' et y[ des mêmes points satisfont à la condition y\ qu'elles correspondent au même signe du radical qui entre en (1/).
'= -^r x 1 ' d'où résulte x 1
Tirons maintenant par Bi une droite parallèle à l'axe des ordonnées, c'est-à-dire à l'asymptote réelle de la cubique, et représentons par y" l'ordonnée du point Ai où cette droite coupe la courbe. Alors, corne y" et y[ correspondent à des signes contraires du radical qui entre en (1'), y" et y 1 correspondent aussi à des signes contraires du même radical; donc, si les coordonnées du point Ai sont
ou
R = /C 2 - 4x' (x 1 — A) (x"* — Ax'+ B),
celles du point Aî sont
et, si les coordonnées de Ai sont
celles du point Aj sont
Il résulte de ce qui précède que, dans les deux cas, les coordonnées (x r , y 1 ) et (x" y !r ) des points correspondants Ai et A[ satisfont aux conditions
Ces relations furent données par Van Rees dans le travail mentionné ci-dessus ; il en a déduit diverses propriétés des courbes considérées, dont nous allons indiquer quelques-unes.
55. La deuxième et la troisième des relations (2) donnent immédiatement
donc le produit des distances du foyer singulier à deux points correspondants Ai et Aj est constant.
De la première des mêmes relations résulte que les points correspondants à deux points d'une focale placés sur une parallèle à T asymptote réelle sont situés sur une autre*
5Ha Soient d et o n les angles qui forment avec l'axe des abscisses les droites qui passent par un point quelconque (ce, y) de la cubique et par les deux points (œ f , y 1 ) et (as", y 11 ). On a
tang (p 1 + - ^ " ^ ( ^ ~ ^ + (X ~ d) (J/ ~~ J/I) *
(x - a/ j (a? — x") — (y — ij) {y — ou, en tenant compte des relations (2),
2xy — (y l + y l! )x-Ay + C &vr 1 ; x^ — y 1 — Ax + (y , +y f )y + B
ou enfin, en éliminant B au moyen de l'équation de la cubique,
(3) tang (<?' + ?") = — y
Mais, en représentant par d/ et è ;/ les angles formés avec l'axe des abscisses par les droites qui passent par le même point (ce, y) et par deux autres points As et Ag dont les coordonnées (x u y[) et (x' n y" { ) satisfont aux conditions (2), on a
tang (-y ~!-4/') = — •
Les angles cp, cp', è et <j/ satisfont par suite à une des équations <[/ + ib 7 = cp' + cp", + c|>" = % + (<p' + cp 7 ),
ou
<|/ — cp' = cp 7 — c|/' 7 <J>' — cp ; ^ tu + cp 7 — c|>".
Donc, Zes angles sous lesquels on voit d'un point quelconque de la cubique la corde Ai A^ et la corde correspondante A./ A 2 sonf égaux ou supplémentaires.
On peut encore déduire de la formule (3) une autre conséquence remarquable. Comme l'angle formé par la bissectrice de l'angle des droites qui passent par le point (x 1 y) et par
les points correspondants Ai et Ai' avec l'axe des abscisses est égal à -~ (cp' -j- et comme
cette quantité ne varie pas avec ces derniers points, on voit que par chaque point de la courbe passent deux droites, perpendiculaires Vune à Vautre, qui divisent en deux parties égales tous les angles qui ont ce point pour sommet et dont les cotés fassent par deux points correspondants. VOL. IV G
