En éliminant ce', es", cj/, t})" entre les équations

tang(<p'- t |>') = tang(<i>"-«p") > tang ? ' = ^!, tang ? " tang^'=^4' ta ng *" = £=4,

03 0? 02 £Ç X OL i 0? OS ^

on obtient une équation du troisième degré par rapport à x et y 7 qui doit coïneidir avec l'équation (1). Or, la première des équations précédentes est satisfaite par les valeurs que cp', <p", cj/ et cj/ prennent au point S (*), où se coupent les droites A1A2 et A2A1, et au point Si, où se coupent les droites A1A2 et A'iA*, puisqu'on a évidemment en ces points d— § f = ty n — <p". Donc, les points S et Si sont placés sur la focale considérée. Nous pouvons ajouter que ces points sont correspondants» En effet, les bissectrices des angles formés par les droites A2A1 et A2A1, qui passent par le point A2 de la courbe et par les points correspondants Ai et Ai, et des angles formés par les droites A2S et AâS', qui passent par le même point A 2 et par les points correspondants S et S', doivent coïneidir ; donc le point S ; doit être placé sur la droite A1B1, et doit par suite coïneidir avec Si.

Nous avons donc le théorème suivant:

Si (Ai, Ai) (A2, Ag) sont deux couples de points correspondants de la focale, le point S où se rencontrent les droites AiA 2 ' et A2A1, et le point Si où se rencontrent les droites AiA 2 et A1A2, sont deux points correspondants de la même courbe.

58. Si, dans ce qui précède, on fait tendre A2 vers Ai, A 2 tend vers Ai, les droites A1A2 et AâAi vers la droite AiAi, S et Si, respectivement, vers le point où AiAi coupe 1 cubique et vers le point correspondant R; et, comme A1A2 et A1A2 deviennent à la limite tangentes à la cubique aux points Ai et Ai, on conclut que ces tangentes passent par E. Nous pouvons donc énoncer la conséquence suivante de la proposition précédente :

Les tangentes à une focale en deux points correspondants Ai et Ai coupent cette cubique au même point - ce point et celui où elle est coupée par la droite Ai Ai sont correspondants .

Il en résulte que, pour tracer la tangente au point Ai de la focale, il suffit de déterminer par la construction donnée au n.° 54 le point Ai correspondant à Ai, et ensuite le point R correspondant au point où AiAi coupe la cubique ; la tangente demandée passe par R.

A propos des tangentes à la focale nous ferons encore ici la remarque suivante, dont nous profiterons plus tard pour démontrer un théorème général de la théorie des cubiques : les points de contact des tangentes menées du foyer singulier à la cubique sont placés sur la parallèle à l'asymptote représentée par V équation cc = — A; la tangente à la même cubique en ce foyer coupe V asymptote à un point situé sur la courbe.

( L ) On est prié de faire la figure, qui se réduit à deux droites SiAjA 2 et SxA^A^, qui se coupent au point S t , et à deux autres A 2 Ai et A t A^ qui se coupent à un point S.

59o On peut déterminer, et d'une infinité de manières, dans le plan de la cubique (1) deux couples de pôles tels que le produit des distances dun point quelconque de cette courbe aux pôles d'un couple soit égal à celui de ses distances aux autres deux.

Cette proposition est une conséquence de la théorie d'une classe importante de courbes sphériques donnée par Laguerre en 1868 dans le Bulletin de la Société philomatique de Paris. Elle fut ensuite déduite par M. Darboux de quelques propriétés des points imaginaires données dans son important ouvrage: Sur un classe remarquable de courbes et de surfaces (1873, 3. e partie), où cet éminent géomètre a étudié une classe très général de courbes algébriques qui comprend les cubiques que nous considérons à présent. Avant d'en exposer la démonstration, nous allons indiquer succintement ces propriétés.

i$O Considérons deux points P et Q dont les coordonnées soient (a, b) et (a', b 1 ). Les droites qui passent par ces points et par les points circulaires de l'infini, c'est-à-dire les droites représentées par les équations

se rencontrent en deux nouveaux points P' et Q' dont les coordonnées sont

a, = y (« + «') + y h = Y (b + b') + j(af-a),

al = ~~ (a + a') - y (& - V), b[ = ±(b + V)-±. (a' - a),

et ces coordonnées satisfont aux conditions

4- ib{ = a -f- ibj ai — ib i = a 1 — ib 1 , a'i -\- ib[ = a! + ib l 9 a[ — ibi = a — ib.

Les points P / et Q' qu'on détermine de cette manière, nommés par M. Darboux points associés à P et Q,, jouissent des propriétés suivantes:

1. ° Si P / et Q' sont associés à P et Q, P e£ Q son^ réciproquement, associés à P' e£ Q'.

2. ° Si deux points sont réels, les points associés sont imaginaires conjugués.

3. ° Le 'produit des distances d un point quelconque M du plan à deux points fixes est égal au produit des distances du même point aux points associés.

En effet, on a, en représentant par (a?, ?/) les coordonnées de M,

MP 2 = (x — af + (y — b)% = (se — % — a + îô) (se + % - a — ib), MQ' 2 = (se — % — a' + il/) {x + iy — a! — ib') 7

MP' 2 = (se — — «i -f + % — — ^i) = (a? — % — a' + (^ ~r îy — a — ib),

- MQ/' 2 = (se — z?/ — + ibi) (se z?y — al — ibi) = (se — iy — a + i5 ) (se -j- % — a' —

et par conséquent

MP 2 .MQ 2 -MP /2 .MQ /2 .

4.° Si Von représente par V l'angle sous lequel on voit d'un point quelconque M du plan le segment PQ, on a

MQ'

On a, en effet, en représentant par co et oV les angles formés par MP et MQ avec l'axe des abscisses,

x — a = MP cos to , ?/ — 5 = MP sin co,

se — a! = MQ cos o', y — b f = MQ sin co'

et par suite

se — a + £ (?y — S) = MPe fw , se — a ! + i (?/ — 5') = MQe iu) '.

Mais l'angle V est égale à la différence to — co', et par conséquent il est donné par la formule

îy = no>-o)/) = m(x + iy~a-ib ) MF.MQ^ + ^y--^-^) 6 MB(x + iy — a 1 — iV) " MP 2 {œ + iy — a' — iô') '

dont on déduit, en ayant égard aux expressions de MP et MQ' écrites ci-dessus, la relation qu'on voulait établir.

61o On peut maintenant démontrer la proposition énoncée au n,° 59. On a, en effet, V et V 7 représentant les angles sons lesquels on voit d'un point quelconque M de la cubique les cordes Ai A2 et Ai Ai considérées au n/ J 56, et Bi, Bg, Bi, B 2 ' les points associés à Ai, Ag, Ai, Ag,

. v MBi . v/ MB I MB 9. MBi

et par suite, si V = V ; ou V = V + tc,

MBi . MB 2 ' = + MB2 . MBi .

On doit remarquer que les pôles qui satisfont à la question considérée sont imaginaires quand les cordes Ai A2 et A{ Ag sont réelles et qu'ils sont réels quand les points Ai et A2 et les points Ai et A 2 sont imaginaires conjugués» En particulier, ces pôles sont réels lorsque Ai et A2 sont deux points imaginaires placés sur une parallèle à l'asymptote réelle de la cubique, puisque dans ce cas ils sont conjugués de même que les points A{ et Ag (n.° 55).

f>2 e Le lieu des points (x, y) d'où deux segments de droite Ai A2 et Aî A 2 sont vus sous des angles égaux ou supplémentaires est une focale ou une hyperbole équilaiére.

Le lieu des points dont le produit des distances à deux pôles est égal à celui des distances deux autres est une focale ou une hyperbole équilatére.

Ces théorèmes sont, en partie, inverses de ceux qui ont été démontrés aux n/ )S précédents. La coïncidence des lieux qu'ils déterminent est une conséquence immédiate de ce qu'on a dit au n.° 61 ; et il suffit donc de démontrer l'un ou l'autre. Le premier théorème fut établi par Van Eees au moyen de quelques propositions que nous n'exposerons pas ici ; mais nous en allons donner une démonstration directe.

Prenons le point Ai pour origine des coordonnées, la droite A1A2 pour axe des abscisses et supposons que (a, 0), (a, p) et (a', soient les coordonnées des points A2, A',, A^ On a alors

xy — y{œ — a) = (x — ce) (y— P') - (x — a') { y — P) x(x-a) + ?f- (x-*)(x-a')+{y-$){ y -Yy

et, par conséquent,

/ ( œ 2 + f) [(p' p)fic+ (a + a - a!) y] (4) = [a? - pa' + a (0' - p)] x*+ [apV - p<// + a (p + P')] y*

(+ 2a axy - a {azJ + pp') y — a (a$< — pa') a?.

On voit par cette équation que le lieu considéré passe par les points Ai, A2, A' 1? Ag. Il résulte immédiatement de sa définition que les angles formés par la tangente au point Ai avec la droite A1A2 sont égaux aux angles formés par les droites Ai Ai et A{A 2 '. Les points As, Ai et A 2 jouissent d'une propriété analogue. 11 existe deux courbes qui satisfont nn problème énoncé, puisqu'on peut échanger les rôles des points (a, P) et (V,

Supposons qu'une des constantes p ; — p et a -f- a — a 1 soit différente de zéro. Pour démontrer que la courbe représentée par cette équation est alors une focale, nous allons la réduire

à la forme (1), en prenant d'abord pour axe des ordonnées une droite parallèle à l'asymptote., et ensuite en transportant l'origine des coordonnées au foyer singulier, cela, écrivons l'équation de la courbe sous la forme

et posons on trouve

(«,« + f) ( px + qy ) = Acc 2 + Bxij + Cf + Bx + Ey,

q—p tangos, x = X{ cos w + y\ sin to, ?/ — tci sin u> — ?/icoso:>;

cci (x\ + w*) = 4- [(A — C) cos 2<o + B sin 2o) + A + Cl a;?

+ 4-[(C — A) cos2w-Bsin2oj + A + C]2/?

+ [( A — C) sin 2co — B cos 2co] a?j ?/i

+ (D cos 03 + E sin to) xi -f (D sin 03 — E cos (o) ?/i .

En cherchant maintenant les asymptotes imaginaires et ensuite le foyer singulier, on voit que les coordonnées h et Je de ce point sont données par les équations

^ = 4~ [( A — C) sin 2o) — B cos 2a

et, en transportant l'origine des coordonnées à ce point, on réduit l'équation précédente à la forme suivante:

*i + yf) + K A ~ C ) cos 2(o +B sin 2(o - (A + C)] (œ| + j$

2hkp

• ( A + 0) A — D cos 03 — E sin 03]