COS (0 D COS
(A + C) k — D sin 03 + E cos <
[(A — C) cos 03 + B sin œ] + — [(A — C) sin 03 — B cos 03]
2p LV 7 1 J 1 2p
La condition pour que la courbe représentée par cette équation soit une focale est donc celle-ci:
4D [(A — C)p-\-Bq] — 4E [(A - C) q - Bp] + (A + C) [: A - C) 2 + B 2 ] - 0.
Or, en appliquant cette condition à l'équation (4) on voit qu'elle est vérifiée.
Si P ==■ a = a' — a, c'est-à-dire si Ai, Ag ; Aj, A 2 Zes sommets d'un parallélogramme, la courbe représentée par (4) est une hyperbole êquilatere.
On pourrait aussi obtenir le deuxième théorème directement, en partant de l'équation de la courbe :
(«» + f) [{x ~ a,f + y*] = [(x - ai f + f] {(x - a[f + (zj~
rapportée à un pôle pris comme origine et à une droite passant par un autre pôle prise comme axe des abscisses, en réduisant cette équation à la forme (5) et en appliquant ensuite la condition (6).
On peut démontrer aisément au moyen du second théorème qu'on vient d'énoncer la propriété suivante des focales :
La courbe inverse d'une focale par rapport à un point de la même courbe est une autre focale, dont les pôles sont les points inverses de ceux de la première.
Supposons que l'équation quadri-poîaire de la focale considérée soit
(7) ' MA.MAi=MP.MPi,
M représentant un point quelconque de la focale donnée et (A, Ai), (P, Pi) deux couples de pôles. On a, comme au n.° 29, en représentant par M 7 , A 7 , Ai, P 7 , Pi les points inverses de M, A, Ai, P, Pi par rapport à un point du plan de la courbe,
MA OA M Ai OAi MP OP MPi OPi
M'A 7 OM 7 Wk[ OM' M'P OM 7 MT/ OM 7 et par suite la courbe inverse peut être exprimée par l'équation quadri-polaire
Mais, si le point est placé sur la courbe considérée, ce point satisfait à l'équation (7)^ qui donne
OA.OAi = OP.OPi,
et l'équation (8) prend la forme
M'AM'Ai'^M'P.MT!,
d'où résulte que la courbe inverse de la focale donnée est alors une autre focale ayant pour pôles les points (A', Ai), (F, Pi).
Si le point n'est pas pris sur la courbe, l'équation (8) représente une quar tique qui sera retrouvée plus tard sous le nom de cassinienne.
Il est à remarquer que le théorème énoncé n'a pas lieu dans le cas de la strophoïde, quand le point coïncide avec le point double; on a déjà vu que la courbe inverse est alors une conique.
64U Le lieu des foyers des coniques inscrites dans un quadrilatère est une focale ou une hyperbole équilatére.
Réciproquement , la focale (1) est le lieu des foyers des coniques inscrites dans le quadrilatère dont les sommets sont deux points arbitraires Ai, As de cette focale et les p> oints correspondants Ai, Ki, le sommet A[ étant opposé à Ai.
On déduit aisément ce théorème de la première des propositions démontrées au n.° 62 et d'une propriété des focales énoncée au n.° 56, au moyen du corollaire suivant d'un théorème bien connu de la théorie des foyers des coniques: si F est un j foyer d'une conique inscrite dans un quadrilatère, les côtés opposés de ce quadrilatère sont vus de F sous des angles égaux.
$à& @ Le lieu des points de contact des tangentes menées par un point donné A aux cercles qui passent par deux points fixes B{ et E>2, est une focale.
Cette focale passe par le point A et ce point en est le foyer singulier. Elle passe aussi par les points Bi et Bg, et la polaire du point A est un cercle passant par ces points.
En prenant la droite qui passe par Bi et Bg pour axe des ordonnées et la perpendiculaire menée par le milieu du segment Bi B^ pour axe des abscisses et en représentant par (a, P) les coordonnées du point donné, par c l'ordonnée de Bi et par b l'abscisse du centre d'un quelconque des cercles, les équations de ce cercle et de la polaire de A sont
ofî j y% 2bx = c 2 , a(x — 6) -f- $y — c 2 -f- bx.
En éliminant b parmi ces équations, on trouve l'équation du lieu considéré, à savoir:
x (as- 2 -f- y 2 ) = a — y~) + 2p xy — c*x -f- c 2 a,
ou, en transportant l'origine des coordonnées au point A,
x (x* + ?/) + 2a {x* + if) + (a 2 - ^ + c*-) x + 2a py = 0.
On en conclut que le lieu considéré est une focale de Van Rees et que toutes ces focales peuvent être engendrées de la manière indiquée clans l'énoncé du théorème, en déterminant pour cela a, |3 et c par les équations
oc = — ^ , p = —-Ç-, 4AV 2 = 4A 2 B-A 4 + 4C 2 .
La deuxième partie du théorème énoncé peut être démontré aisément au moyen d'une des équations de la focale qu'on vient d'écrire.
Si cs=0, le lieu qu'on vient de considérer est une strophoïde. Cette courbe est donc le lieu des 'points de contact des tangentes aux cercles qui passent par un point fixe.
La manière très simple de construire les focales qui découle du théorème énoncé a été indiquée par Chasles dans le tome VI, pag. 207, de la Correspondance mathématique de Quetelet et ensuite dans son Aperçu historique (2. e éd., 1875, p. 286).
@6« Nous allons maintenant étendre à toutes les focales une proposition énoncée au n.° 46 à l'égard de la strophoïde.
En rapportant la cubique (1) aux coordonnées polaires, on trouve
p 2 cos = Ap — B cos 6 — C sin 6 ; et par conséquent, pi et p2 représentant les racines de cette équation^
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant:
La focale de Van Rees est la cissoïdale d'elle même et de son asymptote réelle par rapport au foyer singulier.
Comme conséquence de ce théorème et de celui qui a été démontré au n.° 21 il résulte cet autre:
Si par le foyer singulier de la cubique considérée on mené une droite quelconque D, les tangentes à cette courbe aux points d'intersection avec D coupent V asymptote réelle en deux points équidistants de celui où elle est coupée par D.
Nous avons donné ces théorèmes, dont un cas particulier a été déjà énoncé au n.° 46, dans un article inséré aux Nouvelles Annales de Mathématiques (4. e série, t. vi), où nous avons même démontré que la condition pour qu'une cubique quelconque soit la cissoïdale d'elle même et d'une droite, c'est qu'une de ses asymptotes coïncide avec cette droite et que les deux autres se coupent dans un point de la cubique, et que ce point est alors le pôle de la cissoïdale.
VOL. IV H
67. Avant de passer à un autre sujet, nous nous arrêterons encore quelques moments aux focales, pour faire deux remarques qui se rapportent au cas où ces courbes ont un noeud.
La première remarque concerne le dernier théorème du n.° 56. Comme le noeud de la courbe est un point correspondant à lui-même, nous pouvons énoncer alors ce théorème de la manière suivante :
Si 'par un point arbitraire (ce, y) d'une strophoïde on mené deux droites passant par deux points correspondants quelconques A\ et A[ , une des bissectrices des angles qu 'elles forment passe par le noeud de cette courbe.
La deuxième remarque se rapporte à la doctrine du n.° 64. Dans le cas de la strophoïde, deux des foyers des coniques inscrites au quadrilatère y considéré doivent coïncider, et une de ces coniques doit par suite se réduire à un cercle ayant le centre au point double ; nous avons donc les théorèmes suivants :
1. ° Si (Ai, Ai) et (Aa, A2) sont deux couples de points correspondants, il existe un cercle qui est inscrit au quadrilatère dont (Ai &[) sont deux sommets opposes et (A2, Ag) les deux autres, et qui a le centre au point double de la cubique,
2. ° Le lieu des foyers des coniques inscrites à un quadrilatère circonscrit à un cercle est une strophoïde ayant le noeud au centre de ce cercle; le lieu des points d'où deux cotés opposes de ce quadrilatère sont vus sous des angles égaux, est cette même strophoïde.
La Trisectrice de Maelaurin.
68. On appelle trisectrice de Maelaurin la courbe dont l'équation polaire est
p = — °— r 4a cos 0,
et l'équation cartésienne
x (x 2 -j- y T ) = a (y 2 — Sx 2 ).
Cette courbe est une de celles qu'on a employées pour résoudre le problème célèbre de la trisection de l'angle. Elle fut considérée pour la première fois par Maelaurin dans son Treatise of Fluxions (p. 198 du t. 1 de la traduction française de Pesenas) ; et elle a été étudiée ensuite en plusieurs travaux, dont nous mentionnerons les suivants : Schoute, Sur
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la construction des courbes unicursales 'par points et par tangentes (Archives Néerlandaises^ t. xx ? 1885); A. Lima, Sobre uma curva do terceiro grao (J ornai de Sciencias mathematicas, t. vi, p. 13); G. de Longchamps, Essai de la Géométrie de la règle, Paris, 1890, p. 102.
69. En écrivant l'équation cartésienne de la courbe sous la forme
on voit aisément qu'elle a la forme indiquée dans la figure 10. Elle a un axe, qui coïncide
avec celui des abscisses; un point double à l'origine des coordonnées, où les tangentes forment des angles de +60° avec l'axe des abscisses ; un sommet V dont la distance à l'origine est donnée par l'égalité QV = 3a; deux points ISf et Nj, dont les coordonnées sont
où la valeur absolue de y est maxime; et une asymptote dont l'équation est x = a.
ffig. 10
