On voit immédiatement

au moyen de l'équation polaire de la trisectrice que cette courbe est la cissoïdale de la droite AB, dont la distance à l'origine est égale à a, et du cercle OKM2, dont le centre C a pour coordonnées (2a, 0) et dont le rayon est égal à 2a. Donc, elle peut être construite en prenant sur chacune des droites MOM2 qui passent par O, un point M tel que le vecteur OM soit égal à la différence des vecteurs OMi et OM2 des points où cette droite coupe AB et la circonférence OKM2.

Pour tracer les tangentes et les normales à la cubique considérée, on peut employer l'un ou l'autre des théorèmes donnés aux n. os 20 et 21, dont il résulte que la sous-normale polaire OK2 de la cubique considérée au point M est égale à la différence entre la sous-normale polaire de la droite AB au point Mi (OKi) et la sous-normale polaire du cercle au point M2 (— OK) ; et que les tangentes à la cubique au même point M et au cercle au point Ma coupent la droite AB en deux points équidistants de Mi.

On a donné d'autres méthodes pour construire la trisectrice et ses tangentes ; on peut voir quelques-unes dans les travaux mentionnés ci- dessus.

71* En appliquant à la trisectrice de Maclaurin. la doctrine des n. os 35, 30 et 36, on obtient les résultats suivants :

1. ° Cette courbe est inverse de la hyperbole exprimée par l'équation

ax = y* — 3a? 2 ,

et possède deux foyers réels dont les coordonnés sont (6a, 0), (—2a, 0). Les distances n, r% et r d'un point quelconque de la courbe à ces foyers et au point double sont liées par la relation

3ra — ^^ + 2^,

2. ° La même cubique et la podaire de la parabole représentée par l'équation

par rapport au point double. Le sommet de cette parabole coïncide avec le point V et la directrice passe par le foyer (—2a, 0) de la cubique.

3. °^ Toute droite passant par V coupe la courbe en deux points tels que le produit de leurs distances à V est égale à VO 2 .

72. Le rayon de courbure de la trisectrice de Maclaurin à un point quelconque est donné par la formule

JL

a (1 + 8 cos" 2 19) 2

d'où résulte que les valeurs de ce rayon aux points V et sont respectivement égales à — a et 2a \J 3, et que la courbe n'a pas de points d'inflexion à distance finie.