En partant de l'égalité

yi+scos 2 ^:

add

Sa dd

cos 2 01/1 + 8 cos 2 6 \/ï+ 8 cos 2 d'

on trouve, pour déterminer la longueur des arcs de la courbe considérée, la formule suivante:

1 — -g- sin 2 ^

■ sin 2 e

La première des intégrales qui entrent dans cette formule, représente la longueur d'un arc d'hyperbole. En lui appliquant donc la formule de Legendre, bien connue, qui détermine la longueur des arcs d'hyperbole :

on trouve s = 3a

cos 2 0i/l — £2 sill 2fl J v/l F 2 sin 2

& 2 sin 2 6 dd -

tang 1/1 — 7c 2 sin 2 6

sin 2 0*0 + tang

y/i-Asin 2 *

Donc, la longueur des arcs de là trisectrice de Maclaurin dépend d'une intégrale elliptique de l. e espèce et d\me autre de 2. e espèce.

Le problème qu'on vient de considérer fut résolu, au moyen d'une analyse différente de celle qui précède^ par Gr. de Longchamps dans une Note publiée en 1887 aux Comptes rendus de V Académie des Sciences de Paris.

74. L'aire comprise entre la trisectrice et les vecteurs qui correspondent aux angles 6° et 0i est déterminée par la formule

A = — [tang Oi + 4 sin 2 6 L — tang O — 4 sin 2 fl ].

En posant O = 0, fj[ = -7p e ^ en multipliant le résultat par 2, on voit que l'aire de la boucle ONVMO est égale à 3a V3 (Maclaurin, 1. c).

75. Pour justifier le nom de trisectrice, donné à la courbe qu'on vient d'étudier, nous allons indiquer comment on peut résoudre au moyen de cette courbe le problème de la trisection de l'angle. '

Supposons VG = a, FQV-a, FGV = (o. On a

OF sinFGO p sinco

~> ou - —

OG sinGFO 2a sin(a> — a)

Mais, puisque © = tc — a, on peut mettre l'équation de la courbe sous la forme

- 4a cos a.

cos a

En éliminant p entre ces deux équations, on trouve l'égalité

4sin 3 a — 3 sin a

tang a) = T) - o— = tang 3a,

& 3 cos a — 4cos 3 a b 7

dont il résulte que l'angle FOV est égal au tiers de l'angle FGV.

Les cubiques circulaires.

76. Les cissoïdales du cercle et de la droite (et par conséquent les cissoïdales particulières considérées dans les pages antérieurs sous le nom de cissoïde de Dioclès, de eonchoïde de Sluse, de strophoïde, etc.) et les focales de Van Rees appartiennent à une classe de cubiques, nommées cubiques circulaires ou cycliques de 3. e ordre, qui ont pour équation

(1) (ax + ly) (a» + if) = P^ 2 + Qxy + R3/ 2 + Tx + Vy + Y.

Toutes ces courbes ont une asymptote réelle, déterminée par l'équation

, 7 P6 2 -Qa& + Ra 2

= -qr^ >

et deux asymptotes imaginaires dont les coefficients sont égaux à + i et — i ? i représentant

On voit aisément au moyen de cette dernière équation que, si l'on change la direction des axes des coordonnées, en prenant pour nouvel axe des ordonnées une parallèle à l'asym-

ptote réelle, le terme de (1) qui contient le produit by disparaît et l'équation de la courbe prend la forme

(2) (œ* + y*) x = Pi* 2 + Q&y + R, y* + Ttx + TJy + V 4 .

Si l'on change maintenant l'origine des coordonnées, en la transportant au point ((), ~ Qi^j , l'équation des cubiques circulaires prend la forme plus simple

(3) (x* + i/)x = Aœ 2 + A'y* + 2Cx +2C f y + F.

Si la cubique considérée est unicursale et si l'on prend le point double pour origine des coordonnées, l'équation (2) prend la forme

(a? 2 + ?/ 2 ) x = Pias 2 + Qixy + Ri?/ 2 ,

au moyen de laquelle on voit que les cubiques circulaires unicursales coïncident avec les cissoïdes étudiées aux n. os 24 à 30.

77, En abordant la théorie générale des cubiques circulaires, nous allons chercher les courbes inverses de ces cubiques par rapport à un point quelconque de son plan.

En prenant, pour cela, ce point pour origine des coordonnées et une parallèle à l'asymptote de la cubique donnée pour axe des ordonnées, l'équation de cette courbe peut être mise sous la forme (2) ; et, en y posant

nfîxi Trfiyi

on obtient celle-ci:

Vi {x\ + yf)* + m 2 (Tm + U 4 y0 (x\ + yf) + m* (P** 2 + Qi x m + Ri y\) - m*xi - 0,

qui représente une quartiqne bicirculaire (courbe qui sera étudiée plus tard), quand Vi est différent de zéro, c'est-à-dire quand le centre d'inversion n'est pas pris sur la cubique.

Si le centre d'inversion coïncide avec un point de la courbe, et si l'une, au moins, des quantités Ti et Ui est différente de zéro, l'équation précédente représente une autre cubique circulaire.

Si l'on a Vi =0, ïi =0 et Ui =0, c'est-à-dire si la cubique donnée est unicursale et le centre d'inversion coïncide avec le point double, l'équation précédente représente une conique, qui passe par ce centre, comme d'ailleurs l'on avait déjà vu au n.° 26.

38* En continuant l'étude de la théorie générale des cubiques circulaires, nous allons démontrer que ces courbes sont les enveloppes de cercles bitangents dont les centres sont situés sur des paraboles que nous déterminerons ; et, pour cela, nous allons appliquer une méthode analytique employée par M. Darboux dans une question analogue, dans son important' Ouvrage : Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques (Paris, 1873, P. 114).

Considérons le cercle dont l'équation soit

(4) a* + y* = 2(œc+to + i),

et cherchons les conditions auxquelles il doit satisfaire pour qu'il soit bitangent à Tune des courbes représentées par l'équation (3).

Pour résoudre ce problème, remarquons d'abord que les points d'intersection du cercle avec la courbe considérée coïncident avec les points d'intersection du même cercle avec la conique représentée par l'équation

(5) 2 (ax + §y + y) x — (Ax 9 - + Ay + 2Cx + 2C'y + F) = 0,

et que, par conséquent, la condition pour que le cercle soit bitangent à la cubique (3), c'est que ce cercle et la conique (5) soient bitangents. Nous allons donc chercher les conditions pour que cette dernière circonstance ait lieu.

Pour cela, désignons par h un paramètre arbitraire et considérons l'équation

( 2(ax+fo + i)x--(Ax* + A l } ,* + 2Cx + 2C't, + F)

(— h {x? + if — 2ax — 2$y — 2j) = 0,

qui représente toutes les coniques qui passent par les points d'intersection du cercle (4) avec la conique (5).

Pour que les courbes (4) et (5) soient bitangentes, il faut que 1 ''équation (A) représente deux droites coïncidantes. Or, en supposant A / +^ différent de zéro et en écrivant cette équation sous la forme

OÙ

D = (Pa? + pA-C0 a + (A' + A)[(2a-A-^^ on voit que, pour cela, il faut qu'on ait D == 0, quelle que soit la valeur attribuée à x. Le&

conditions pour que la cubique considérée et le cercle soient bitangents sont donc

(p(Ap-C')+(A' + A)(-r-C + Aa) = 0.

La première et la seconde de ces équations donnent

et de la dernière, en substituant à a et 7 les valeurs qu'on vient d'obtenir, il résulte ensuite

Cette dernière équation donne, en général, quatre valeurs pour 7^; ensuite les équations (7) et (8) déterminent les valeurs correspondantes que a et y doivent avoir, pour que le cercle (4) soit bitangent à la cubique considérée. La constante [3, qui entre dans les mêmes équations, reste arbitraire.

De ce qui précède on conclut qu'il existe, en général, quatre séries de cercles bitangents à la cubique circulaire considérée et que cette courbe est V enveloppe de chacun de ces systèmes de cercles.

En outre, comme a et (3 représentent les coordonnées du centre du cercle (4), il résulte de l'équation (7) que les centres des cercles de chaque série sont situés sur une même parabole*

L'analyse précédente doit être modifiée quand est une des racines de l'équation (10), c'est-à-dire quand Y A! = C /2 . Des équations (6) on déduit alors les relations :

a= Y A ~W' P c '= a '(ï- c )> fa'-c»,

dont la première détermine le lieu géométrique des centres de l'une des séries de cercles bitangents à la cubique, et la seconde la valeur de y-

Quand — A' est l'une des racines de (10), c'est-à-dire quand C 7 = 0, l'analyse précédente

VOL, IV I

doit aussi être modifiée. En exprimant que l'équation (A) donne deux valeurs égales pour a?, quelle que soit la valeur attribuée à y, on trouve alors les équations

dont la première indique que les centres des cercles bitangents de la série correspondante à la racine considérée sont situés sur Taxe des abscisses, et dont la seconde détermine la valeur de la quantité 7, dont dépendent les valeurs des rayons de ces cercles.

7®. En substituant dans l'équation (4) à y sa valeur, donnée par (8), on trouve l'équation des cercles bitangents à la cubique considérée, à savoir :

œ* + y* — 2ax — 2^y-~

ou, en tenant compte de (7),