CB F . C
x* + y* — 2ax — 2$y-
h étant supposée différente de et de — A ; .
Si h = 0, on voit au moyen de l'équation (4) et de la relation flC = A ; (y — C) que l'équation des cercles bitangents est alors
(12) à* + y*-2ax-2fy = 2C+V+ r -
Dans toutes ces équations a et |3 représentent des quantités, positives ou négatives, qui doivent satisfaire à (7), et h une racine de (10),
SO. Tous les cercles (11), correspondants à une même racine de l'équation (10), différente de et de — A ; , coupent orthogonalement le cercle déterminé par l'équation suivante :
9(W F fj/2
(13) X' + V + ÂT+i + 2hX + T-Wt + k)- h ( A + h ^°>
comme il est facile de vérifier, en formant les dérivées y' et Y' de y et Y, en substituant leurs valeurs dans la condition y'Y +1 = et en tenant compte des équations (11) et (13).
On voit de même que les cercles (12) coupent aussi orthogonalement le cercle représenté par l'équation
on/
Donc, tous les cercles bitangents à la cubique (3), ayant leurs centres sur la parabole (7), coupent orthogonalement un cercle jixe, dit cercle directeur. Les valeurs des coordonnées y{) de son centre sont
(15) xi = -h, 3/i = -^7qrx 5
et la valeur m du rayon est déterminée par la formule
Les conclusions obtenues aux n. os précédents doivent être modifiées quand la cubique a un point double. En effet, l'analyse qu'on vient d'exposer détermine alors non seulement les cercles bitangents à la cubique, mais encore les cercles simplement tangents passant par le point double, puisque chacun de ces derniers cercles rencontre, comme chacun de ceux-là, la cubique en deux couples de points coïncidants» Dans ce cas l'une des séries de cercles bitangents est donc remplacée par une série de cercles tangents qui passent par le point double.
81. Rapportons la cubique à des axes qui passent par le centre de l'un des cercles directeurs. En posant pour cela
et en éliminant ensuite F au moyen de l'équation (9), on trouve l'équation
on/
(16) x f (a/* + y'*) = (A + 3/z) x^ + (A' + h) y 2 + - -—— x r y' - mV,
J\. ~\~ fl
m représentant le rayon du cercle considéré.
On voit d'abord, au moyen de cette équation, que la condition pour que m 2 soit égal à zéro, c'est que la cubique ait un point double et que le centre du cercle directeur considéré coïncide avec ce point.
Si m 2 est différent de zéro, l'équation précédente ne change pas quand on remplace x!
m X , t m "V -VT 1 1 ! , y
par -7^— — w et y par l9 - ia> . .Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant: x À -\-y' À x'*-L-y% . ■
La cubique (3) coïncide avec la courbe inverse, quand le centre d'inversion est le centre d'un cercle directeur et le module de la transformation est égal au carre du rayon du même cercle.
82. On voit au moyen de l'équation (B) que la droite représentée par l'équation
passe par les points de contact de la cubique considérée avec le cercle bitangent correspondant à la même valeur de h et de [3. Cette droite passe aussi par le point (—h f — / z ) • Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
Toutes les droites passant par les deux points de contact de chacun des cercles bitangent s à la cubique (3) qui appartiennent à la même série, se coupent au centre du cercle directeur correspondant.
Une première conséquence qu'on tire de ce théorème c'est que les points ou les cercles directeurs coupent la cubique considérée coïncident avec les points ou le cercle oscillateur a un contact de troisième ordre avec cette cubique. En effet, la condition pour que les deux points de contact d'an cercle bitangent avec la cubique coïncident, c'est que la droite qu'on vient de considérer devienne tangente à ces deux courbes en un même point; et ce point doit être situé sur la circonférence du cercle directeur qui a le centre sur la droite considérée, pour que le cercle bitangent mentionné puisse couper ce cercle directeur orthogonalement. Ce théorème n'est pas applicable au point double des cubiques unicursales. Si G' = ; il faut, pour que l'énoncé précédent subsiste, considérer l'axe qu'alors possède la courbe, comme un cercle directeur ayant le centre à l'infini.
Au théorème qu'on vient de donner on peut ajouter cet autre, qu'on a démontré en même temps: chaque cercle directeur passe par les points de contact des tangentes à la cubique issues de son centre.
Comme deuxième conséquence du théorème énoncé ci-dessus on peut retrouver aisément celui qu'on a démontré au n.° 81.
Représentons, en effet, par (C) un des cercles bitangents à la cubique donnée, par A et B les points de contact de ces deux courbes, par (C) le cercle directeur correspondant et par O le centre de ce cercle. Comme le cercle (C) coupe perpendiculairement le cercle (C), les points de contact des tangentes à (C) qui passent par O, coïncident avec les intersections de ces cercles. On a donc, en vertu d'un théorème de Géométrie élémentaire bien connu,
OAxOB=m 2 ,
m représentant le rayon de (C') ; et, par conséquent, la transformation par rayons vecteurs réciproques échange les points A et B l'un par l'autre.
Si la cubique est unicursale, A et B coïncident, quand la droite OA, en tournant autour de O, passe par le point double ; et on a donc alors, Ai représentant ce point, OA? = m 2 . Le module de la transformation est donc égal au carré de la distance du centre d'inversion con-
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sidéré au point double. Il en résulte que, si la cubique est unicursale, tous les cercles directeurs passent par le point double.
Nous devons ajouter à ce qui précède qu'il n'existe pas d'autres centres d'inversion tels que la cubique et son inverse, par rapport à ce point, coïncident. En effet, si O représente un centre d'inversion tel que la cubique et son inverse coïncident et si Ai, A?, Bi et B2 représentent les points où deux droites arbitraires passant par O coupent la courbe, on a
OAixOA 2 = OBixOB2,
et, par suite, par ces points passe un cercle qui, quand l'angle des droites tend vers zéro, tend vers un cercle bitangent à la cubique, ayant les points de contact sur une droite passant par O. Donc le point O coïncide avec le centre d'un des cercles directeurs»
Les résultats qui précèdent découlent d'une théorie générale due à Moutard, qui a donné les conditions pour qu'une courbe ou une surface quelconque coïncide avec l'une de ses inverses, et leurs conséquences, en des communications faites à la Société philomatique de Paris, dans l'intervalle de 1862 à 1864. En adoptant une désignation introduite par cet illustre géomètre, nous dirons qu'une courbe quelconque est anallagmatique par rapport â un point quand elle coïncide avec l'une des courbes inverses qu'on obtient en prenant ce point pour centre d'inversion.
83. En écrivant l'équation de la cubique donnée sous la forme
y{x- A') = C ± -{x- A') (x* — Ax l - 2Cx - F)
on voit immédiatement que l'hyperbole représentée par l'équation
coupe par le milieu toutes les cordes de la cubique parallèles à l'asymptote commune des deux courbes.
Cette hyperbole peut être employée pour démontrer d'une manière très simple quelques théorèmes importants relatifs aux cubiques circulaires, comme nous l'avons fait voir dans un travail publié dans les Annali di Matematica (Milan, série 3. e 5 t. xi).
On voit d'abord que les coordonnées des points d'intersection de l'hyperbole avec la cubique sont données par les équations
y(a?-A') = C\ (x-A f ) [x 2 — Ax^ — 2 Ca? — F) — G' 2 = 0.
Mais, en éliminant h entre l'équation (10) et les équations (15), qui déterminent les coordonnées des centres des cercles directeurs, on trouve deux équations qui coïncident avec lesprécédentes.
Donc, les centres des cercles directeurs coïncident avec les points d'intersection de la cubique donnée avec Vhyperbole qui passe par le milieu des cordes parallèles à V asymptote commune.
Il résulte immédiatement de la propriété dont jouit cette hyperbole, de couper par le milieu toutes les cordes de la cubique parallèles à l'asymptote réelle, qu'elle passe par les points de cette courbe où la tangente est parallèle à cette asymptote, et par le point double si la courbe est unicursale. Dans ce dernier cas, si la cubique a un point de rebroussement, la cubique et l'hyperbole sont tangentes à ce point. Donc les quatre points où la cubique et l'hyperbole se coupent, à distance finie, sont distincts si la cubique n'a pas de point double; mais, si la cubique a un noeud ou un point de rebroussement, deux ou trois de ces points, respectivement, coïncident. Dans le premier cas les centres des cercles directeurs sont tous distincts, dans le deuxième et dans le troisième cas deux ou trois, respectivement, coïncident avec le point double, qui est donc le centre de deux ou trois cercles directeurs coïncidants de rayon nul (n.° 81).
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant:
Les centres d'inversion par rapport auxquels la cubique donnée est anallagmatique, coïncident avec les points ou la tangente est parallèle à son asymptote réelle.
Le nombre de ces centres est égal à quatre, si la cubique n'est pas unicursale, à deux, si elle a un noeud, à un, quand elle a un point de rebroussement,
La proposition précédente doit être modifiée quand C ; = 0, c'est-à-dire quand la cubique est symétrique par rapport à l'axe des abscisses. Alors l'hyperbole se réduit à la droite x=A ! , qui coupe la courbe à l'infini ? et à la droite ?/ = 0, qui passe par les centres d'inversion par rapport auxquels la cubique est anallagmatique, et par le point double si la courbe est unicursale ; et on voit, comme dans le cas précédent, que le nombre des points par rapport auxquels la courbe est anallagmatique est égal à 3 si la cubique n'est pas unicursale, à 1 si elle a un noeud, à quand elle a un point de rebroussement.
84. Une autre conclusion qu'on peut déduire de la doctrine qui précède c'est que les racines de l'équation (9) sont toutes distinctes quand la cubique n'est pas unicursale, et que deux ou trois, respectivement, coïncident quand la cubique a un noeud ou un rebroussement. Dans le premier cas la cubique est l'enveloppe de quatre séries distinctes de cerclts bitangents. Dans les autres cas elle est l'enveloppe de deux séries ou d'une série de cercles bitangents et d'une série de cercles simplement tangents passant par le point double.
Cette propriété dont jouit l'équation (9), d'avoir quatre racines distinctes quand la cubique n'est pas unicursale et d'avoir deux ou trois racines égales quand elle est unicursale, est d'ailleurs facile de démontrer directement.
En effet, la condition pour que cette équation ait une racine multiple est
h(A' + h) 1 (A' + hy h et coïncide (n.° 80) avec celle qui exprime que le rayon m du cercle directeur correspond
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dant est nul; l'équation (16) fait alors voir que la cubique considérée est unicursale et que le centre du cercle directeur correspondant à la racine de (9) considérée coïncide avec son point double. Donc, si la cubique n'est pas unicursale, les racines de (9) sont distinctes. Supposons, réciproquement, que la cubique soit unicursale et que son équation soit
x (x? + y*) = Picc 2 + Qixy + Riy 3 ,
et transportons l'origine des coordonnées au point (o, "TtQa)* Cette équation prend alors la forme (3), où
A = Pi, A' = Ei, 2C = i-Q|, 2C' = RiQ,, F = ^-R 4 Q].
En appliquant maintenant l'équation (10), on trouve celle-ci:
h" + (Pi + Qi) A 3 + (PiRi - -i- QJ) h* = 0,
au moyen de laquelle on voit que, dans ce cas, deux des valeurs de h sont égales à 0, si Q| — 4PiRi est différente de zéro, c'est-à-dire si la cubiqué a un noeud, et que trois des valeurs de h sont égales à 0, si l'on a
QÏ-4PiRi = 0,
c'est-à-dire si la cubique a un rebrous sèment.
Comme conséquence de ce qui précède on peut déterminer en chaque cas le nombre des séries de cercles bitangents distincts et le nombre des centres d'inversion par rapport auxquels la cubique donnée est anallagmatique, et on retrouve ainsi les résultats obtenus précédemment.
85. On a déjà vu (n.° 28) que Plucker a désigné par le nom de foyer d'une courbe le point par lesquel ou peut mener à cette courbe deux tangentes dont les coefficients angulaires soient +i et — i, et que, quand les points de contact de ces tangentes sont situés à l'infini, le foyer correspondant est dit singulier, et. quand ces points sont situés à distance finie, il est dit ordinaire.
On connaît des règles générales pour déterminer le nombre des foyers de chaque espèce: nombre qui dépend de la classe de la courbe, laquelle, dans le cas des cubiques circulaires, est égale à six, quand la courbe considérée n'a pas de point double, à quatre quand elle a un noeud, et à trois quand elle a un point de rebroussement. Dans le premier cas le nombre des foyers ordinaires est égal à 16, dont quatre sont réels ; dans le second cas, il est égal à 4, dont deux sont réels; dans le troisième cas, à un, qui est réel.
Pour démontrer cette proposition, rappelons d'abord que la classe n d'une courbe plane quelconque est donnée par la formule de Plûcker :
où m représente l'ordre de la courbe, 8 le nombre de ses noeuds, et v celui de ses points de rebrou s sèment. Dans le cas particulier des cubiques on a, par conséquent, m =6, si la cubique n'a pas de point double, ?2 = 4 quand elle a un noeud, et n = 3 quand elle a un point de rebroussement.
Eappelons encore que, en posant dans l'équation d'une ligne (a) y = , x = — ?
cette ligne se transforme en autre du même ordre, et que cette transformation jouit des propriétés suivantes:
1. ° Si deux lignes ont un contact d'ordre v, leurs transformées ont aussi un contact de cet ordre.
2. ° A chaque point multiple d'une courbe correspond un point multiple de la même nature de sa transformée; les deux courbes sont donc de la même classe.
Cette transformation est employée souvent pour étudier les points des courbes situés à l'infini, et nous allons l'appliquer à la question que nous voulons résoudre. Eemarquons pour cela que, si dans l'équation
on pose
' x, ' x== xT
la droite correspondante se transforme dans une autre, déterminée par l'équation Yi = i + AXj, qui passe par le point (0, i), et que, si la première droite est tangente à une courbe donnée C, la seconde est tangente à sa transformée C'. Mais le nombre des tangentes à la courbe C ; qui passent par le point (0, i), est égal à n quand ce point n'appartient pas à la courbe, kn — 1 quand il coïncide avec un point ordinaire de la même courbe, à n — 2 quand il coïncide avec un point double, etc. (*). Donc le nombre des tangentes à C dont le coefficient.
(*) On peut voir une démonstration algébrique de cette proposition dans l'ouvrage Courbes planes de Salmon (1884, p. 89). Kous avons publiée une autre dans 'L? Enseignement mathématique (t. vu, 1905).
angulaire est i, est égal à n dans le premier cas, à n — 1 dans le second, à n — 2 dans le troisième, etc.
En appliquant maintenant la transformation (oc) à l'équation des cubiques circulaires, on trouve l'équation suivante :
Yx\ + Mtfpi + 2ay L x\ + 2Gx\ + Ax { = 1 + y\ ,
par laquelle on voit que (0, i) est un point ordinaire de la courbe qu'elle représente.
Donc, le nombre des tangentes à la cubique circulaire dont le coefficient -angulaire est égal à i est n~ 1, en représentant, comme dans le cas général, par n la classe de la cubique considérée. Mais, comme une de ces tangentes doit coïncider avec l'asymptote de coefficient angulaire i de la courbe (n.° 76), le nombre des tangentes considérées qui ont leur point de contact à distance finie est égal k n-— 2.
On voit également que le nombre cl es tangentes à la même cubique qui ont pour coefficient angulaire — i et qui ont leur point de contact à distance finie est aussi égal
Les tangentes du premier groupe coupent celles clu second en (n — 2)- points, qui sont les foyers ordinaires de la cubique circulaire considérée, et, par conséquent, le nombre de ces foyers est égal à 16, 4 ou 1, selon que n est égal à 6, 4 ou 3„
Les foyers réels de la courbe résultent de l'intersection de chaque tangente du premier groupe avec sa conjuguée du second groupe; la courbe a, par conséquent, quatre foyers réels, quand elle n'a pas de point double ; elle en a deux, quand la courbe a un noeud, et elle en a un, quand la courbe possède un point de rebroussement.
Les foyers singuliers résultent de l'intersection des asymptotes conjuguées. Dans le cas de l'équation (3) ces asymptotes ont pour équation
et la courbe a par conséquent un foyer singulier réel, dont les coordonnées sont
Il est facile de voir que ce point coïncide avec le foyer des paraboles (7).
On voit aussi aisément, au moyen de l'équation de la première polaire d'un point (œ\ y 1 ) par rapport à la cubique considérée, que la condition -pour que cette polaire soit un cercle, c'est que le point coïncide avec le foyer singulier.
80. Cela posé ? nous allons déterminer les foyers ordinaires des cubiques circulaires» VOL. IV J
Supposons que xi et yi représentent les coordonnées d'un de ces foyers. Alors les droites représentées par les équations
y — yi =i(x — xi\ y — yi= — i(x—xi)
sont tangentes à la courbe considérée, et par conséquent le cercle imaginaire dont l'équation est
(x — xif-\-(y~ yïY = 0,
sera bitangent à la même courbe ; il est donc compris parmi les cercles représentés par l'équation (H), quand n'est pas Tune des racines de (10), ou par les équations (11) et (12), clans le cas contraire. Dans le premier cas, l'identité
on/fi jp n/2
a» +y* - 2ax - 2fo - -£,-q^ - 2hcc - + ^ + - + h (A + h) = (x - xtf + (y - y { ?
donne
xi = a, yi = P,
et
9 nu,. TT p/2
^+^+A^Î + 2fel + T-X(AM:Â)-^ A + 7 ^ -
En comparant cette équation à l'équation (13), on conclut que les foyers sont situés sur les circonférences des cercles exprimés par cette dernière équation. Donc, les points d'intersection de chacune des paraboles représentées par l'équation (7) avec la circonférence du cercle directeur correspondant à la même valeur de h, sont les foyers ordinaires de la courbe. Ce théorème est dû à Hart (Salmon: Courbes planes ? Paris, 1884, n. os 168 et 271).
On voit de même, au moyen des équations (12) et (14), que ce théorème a lieu quand l'une des valeurs de h est nulle. Quand la courbe a un axe et quand elle est unicursale, ce théorème doit subir des modifications qu'on va voir.
87. On a vu au n.° 78 que, si — A / est une des "racines de (10), l'une des paraboles (7) se réduit à deux droites, qui coïncident avec l'axe des abscisses. Dans ce cas, le théorème précédent ne donne pas les foyers correspondants à cette valeur de h; nous allons donc les chercher directement.
Remarquons, pour cela, que la condition pour que le point (x\, 0) soit un foyer de (3), c'est que chacune des droites représentées par l'équation
coupe cette courbe en deux points coïncidants. Mais les valeurs que x prend aux points d'intersection de ces droites avec la cubique sont données par l'équation
(2œi — A + A') — {x\ + 2 M Xi + C) x +■ Mx\ - F = 0,
dont les deux racines sont égales quand
^ 4A'aj3 + (2C + 4 A A') x\ + (8F + 4CA') x { + C 2 + 4F(A ; -A) = 0.
Donc, les valeurs de x\ données par cette dernière équation représentent les abscisses des foyers cliercliés.
88* • La méthode employée précédemment pour déterminer les foyers des cubiques circulaires est applicable à toutes les courbes de ce nom, qu'elles soient ou non unicur sales. Mais, dans le premier cas, elle donne des solutions qui ne satisfont pas à la question. Cette circonstance résulte de ce que, si la cubique donnée est unicursale, la méthode rapportée, fondée sur la théorie considérée aux n. os 78 à 80, alors ne détermine pas seulement les centres des cercles bitangents de rayon nul; elle détermine encore les cercles simplement tangents de rayon nul passant par le point double de la cubique, c'est-à-dire les points par lesquels on peut mener à cette courbe une tangente dont le coefficient angulaire soit égal à + i ou — i et encore une autre droite qui passe par le point double et dont le coefficient angulaire soit, respectivement, égal à — i ou + i. Nous devons toutefois ajouter que quelques auteurs donnent à la notion de foyer un sens plus étendu, de manière à comprendre tous les points qu'on vient de considérer, en désignant par ce mot tous les points où passent deux droites de coefficient égal à + i et — i qui coupent la courbe en deux points confondus.
Nous devons rappeler ici qu'on a déjà indiqué au n.° 28 une méthode pour déterminer les foyers ordinaires des cubiques circulaires unicursales, fondée sur la propriété dont jouissent ces courbes d'être inverses des coniques.
89. Pour appliquer les doctrines qu'on vient d'exposer, considérons en premier lieu la strophoïde droite, qui a pour équation (n.° 39)
On a alors
A = a, A J = -a, C = 0, C ; = 0, F^O; et, par conséquent, l'équation (10) donne^
À la première solution correspond la parabole représentée par l'équation
et les cercles exprimés par ces autres, données par les formules (12) et (14):
La courbe considérée est donc l'enveloppe des cercles représentés par la première équa tion, dont les centres sont situés sur la parabole. Ces cercles passent par le point double et ne sont pas bitangents à la cubique ; les quatre points d'intersection de la parabole avec le cercle directeur X 2 + Y 2 = ne sont pas donc foyers de cette cubique.
A la solution h = — a correspond la parabole
et les cercles
x* + y* — 2aœ-2$y + 2aa = 0, X 2 + Y 2 -2aX = 0.
La courbe est alors l'enveloppe des cercles représentés par la première équation, qui ont les centres sur la parabole, et le cercle représenté par la dernière équation coupe la parabole au point (0, 0), qui coïncide avec le point double de la cubique, et aux points ( — 2a, +2 ai '/2), qui sont les foyers imaginaires de cette cubique.
A la solution h = a correspond la droite [3 — 0, et les foyers placés sur cette droite sont alors déterminés par l'équation
x\ + 4caœ\ — 4a 2 x\ = 0,
dont on déduit que les coordonnées des foyers réels de la strophoïde sont
Comme deuxième application, considérons la cissoïde de Diodes
(ce 2 + y~) x = 2a?/ 2 .
L'équation (10) donne alors pour h ces valeurs:
A la première correspond la parabole
et les cercles
la cubique considérée est donc l'enveloppe des cercles représentés par la première de ces équations, qui ont leur centre sur la parabole. Ces cercles passent par le point de rehaussement de la cubique et ne sont pas bi tan g eut s à cette courbe; les points d'intersection de la parabole avec le cercle X 2 + Y 2 = ne sont pas donc foyers de la cissoïde considérée.
A la solution h = — 2a correspond la droite p = ; les foyers situées sur cette droite sont déterminés par l'équation
x\ — 8axl = 0,
laquelle fait voir que la cissoïde de Diodes a un foyer dont les coordonnées sont (8a , 0).
90. L'équation des cercles représentés par l'équation (11), où a est déterminé par (7), peut être mise sous la forme
ce* + y* + 28 V + p*U = W,
et l'un de ces cercles, correspondant à une valeur de p convenablement cheise, doit se réduire à a, 2 +;?/*' = 0, quand on prend l'un des foyers de la cubique donnée pour origine des coordonnées auxquelles elle est rapportée. Cette équation prend alors la forme
cc 2 +?/ 2 + 2pV + p 2 U = 0;
et, comme la cubique est l'enveloppe de ces cercles, J3 étant le paramètre arbitraire, son équation peut être réduite à la forme
Cela posé, supposons que la courbe ait quatre foyers réels sur l'une des circonférences représentées par (13) ou (14), qu'un de ces foyers soit pris pour origine des coordonnées et que (ai, bi) et (a^, 62) soient les coordonnées de deux des autres. Il doit exister deux nombres pi et P2 tels qu'on ait
^+3/ 2 + 2piV + pîU = ^-a 1 ) 2 + (2/-5 1 )^pî, x^ + if + 2^V + ^IJ]^(x-a i f + (y~hf== ? l
on, en éliminant V au moyen de l'équation antérieure et en posant tc 2 + î/ 2 =p^,
Po + Pit/Û=P<, p + p 2 i/Û= P2 ,
ou enfin
(18) (fo-POp = P«Pi-ftl*-
Donc, les distances des points de la cubique donnée à trois foyers réels placés sur la circonférence d'un même cercle directeur, sont liées par une relation linéaire homogène.
Il est convient de rappeler qu'on a donné au n.° 29 un théorème analogue, pour le cas des cubiques circulaires qui ont un noeud, où figure ce point et les deux foyers que la cubique possède dans ce cas.
91. Revenons à la considération du foyer singulier de la cubique (3), pour rapporter l'équation de cette courbe à ce point comme origine des coordonnées. Cette équation est, en effet, utile en quelques questions.
En posant pour cela
on trouve
On voit au moyen de cette formule que la condition pour qu'une cubique circulaire passe par son foyer, c'est que son équation ait la forme
(19) (aï* +y^)x = M. (x^ + y 2 ) + TSx + Py,
quand on prend ce foyer pour origine et une parallèle à l'asymptote réelle pour axe des ordonnées. Donc (n.° 52), les cubiques circulaires ayant le foyer singulier sur la courbe coïncident avec les focales de Van Rees.
92. Si l'on prend pour origine des coordonnées le point où une cubique circulaire quelconque coupe son asymptote réelle, et pour axe des ordonnées cette droite, l'équation de la cubique aura la forme
( œ 2 j y î 2ax ~ 2by) x + 2Cœ + 2C ! y = 0, ou, en coordonnées polaires,
p 2 cos 6 — 2p cos 6 (a cosO + b sin 6) + 2C cos d + 2C sin (5 = 0.
On a donc la relation
pi + p2 = 2 (a cos 6 + b sin 6)
d'où resuite le théorème suivant:
Toute cubique circulaire est la cissoïdale d'elle même et du cercle qui passe par le point où elle est coupée par V asymptote réelle et dont le centre coïncide avec le foyer singulier, le premier de ces points étant pris pour pôle.
Nous avons donné ce théorème dans un article inséré aux Nouvelles Annales de Mathématiques (4. e série, t. Vl), où nous avons même démontré que les cubiques circulaires sont les seules cubiques qui puissent être les cissoïdales d'elles mêmes et d'un cercle.
93. Nous allons indiquer maintenant une manière de construire les cubiques circulaires. Considérons l'équation
(20) x (x* + y") + ax* + bxy + 1- y* = 0,
qui représente (n.° 30) la podaire de la parabole
(21) (y + bf = 2p(x + a)
par rapport à l'origine des coordonnées, et faisons x = çcosd, ?/=sin0 ? pour rapporter cette cubique aux coordonnées polaires. On trouve
p cos 6 -f a cos 2 6 -}- b sin 6 cos 6-\-~r- sin 2 6 = 0.
Eliminons maintenant p entre cette équation et celle-ci:
p 2 = (pi — p) 2 + ™ 2 ,
ce qui donne
P? + ™ 2 r 2pi
et faisons ensuite cc' = picos0, y' = pjsin0. On trouve l'équation
(22) x 1 (ce' 2 + y 2 ) + 2 ( ax^ + bx f y r + y y*) + m^x f = 0,
rapportée aux mêmes axes que l'équation (20), qui représente une cubique circulaire coïncidant avec celle qui est représentée par l'équation (16), quand on détermine a, b et p
au moyen des équations
(23) 2a=-(A + 3A), h = ~'^T h ^ i> = -(A' + ft).
On peut donc construire cette cubique en traçant d'abord la cubique unicursale représentée par l'équation (20), et prenant ensuite sur chaque droite qui passe par l'origine, à partir du point L où elle coupe cette dernière courbe, en les deux directions, des segments égaux à f/p 2 — m 2 ? p désignant le vecteur de ce point. On obtient ainsi deux points M et M 7 de la cubique (22).
Les vecteurs de ces points vérifient la condition OM . OM' = w 2 , et ils sont par suite inverses l'un de l'autre.
94, La méthode pour la construction des cubiques circulaires qu'on vient d'indiquer,
est due à Oasey (Transactions of thé Royal Irish Academy of Dublin, 1867, t. xxiv). Nous venons de l'exposer d'une manière différente de celle suivie par cet illustre géomètre, de mode à rendre explicite le rôle qui y joue la cubique représentée par l'équation (20), laquelle peut être construite au moyen de la parabole dont elle est la podaire, comme fait implicitement Oasey, ou au moyen de la circonférence et de la droite dont elle est la cissoïdale, ce qui est plus simple. Quand on veut construire la cubique représentée par l'équation (16), les équations de cette circonférence et de cette droite sont
œ>* + y>* +\k - -~AJ d + -~ h y' = 0, x' = ± (A' + h),
comme on le voit au moyen des formules (9) du n.° 30 et des formules (23) du n.° 95. L'équation de la parabole employée dans cette construction se réduit à la suivante:
(^-Â 7 TÂ) , = - 2(A ' + A) [ aî -T (A + 3A) }
quand on veut obtenir la cubique (3). Pour comparer cette parabole à celle qui est représentée par l'équation (7), rapportons la dernière aux mêmes axes auxquels est rapportée la première, c'est-à-dire aux axes auxquels sont rapportées les cubiques (16) et (20).
Qf
En changeant, pour cela, dans équation (7) a en a — A et p en p — , on voit que
ces paraboles coïncident.
La cubique (3) peut donc être construite par la méthode précédente au moyen de la podaire d'une des paraboles représentées par l'équation (7), rapportée au centre du cercle directeur correspondant.
Il résulte encore de ce qui précède que, si par le centre d'un cercle directeur on trace une droite quelconque OL, la perpendiculaire à cette droite, menée par le milieu L de la
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corde MM 7 comprise entre deux points de la cubique inverses l'un de l'autre, est tangente à la parabole (7) correspondante ; et cette parabole est donc l'enveloppe des droites qu'on obtient ainsi.
95* Les normales à la cubique circulaire (3) aux points M et M 7 où elle est coupée par une droite passant par le centre d'un cercle directeur, se rencontrent au point de la parabole (7) correspondante où cette dernière courbe est tangente à la perpendiculaire à MM' conduite par le milieu de ce segment.
En effet, comme par les points M et M 7 passe un cercle tangente à la cubique considérée en ces deux points (n.° 82), les normales à cette cubique aux mêmes points passent par le centre de ce cercle, et le point où elles se coupent est donc situé (n.° 78) sur la parabole considérée. Mais, d'un autre côté, ce point doit être situé sur la perpendiculaire à MM' qui passe par le milieu de ce segment. Donc il coïncide avec le point où cette droite est tangente à la parabole.
Il résulte de ce théorème une manière facile de construire les normales à la cubique (22), quand on emploie, pour construire cette courbe, la parabole (21).
96« On peut construire aisément le cercle osculateur des cubiques circulaires en tenant compte du théorème suivant:
Si un cercle coupe une cubique circulaire en quatre points A, B, G et D, les droites AB et CD (ou AO et BD, ou AD et BC) coupent la même courbe à deux autres points E et F, tels que la droite EF est parallèle à V asymptote réelle.
Pour démontrer ce théorème, prenons pour axes des abscisses et des ordonnées, respectivement, les droites AC et AB, et remarquons que l'équation de la cubique, rapportée à ces axes, prend la forme
(» a + y~ + K»y) (px + qy) = A^ 2 + B { xy + (V + Diœ + E 4 y,
et que, si l'on pose AC = a et AB = 5, cette équation doit donner x = et quand on fait y = 0, et y = et y = S, quand on fait x = ; ses coefficients doivent donc satisfaire aux conditions
px 3 — Ai a? 2 — Dix =px (x — a) (x — X), qy 3 - CV - Ejy = qy(y- b) (y - h),
et on peut donc mettre l'équation considérée sous la forme
[x (x — a) + Kxy + y (y — b)] ( px + qy) = A 2 a? (œ — a) + B%xy+C<2y(y~b).
Le cercle considéré passe aussi par les points A, B et C, et son équation, rapportée aux mêmes axes, prend la forme
VOL. IV
x (x ~ a) + mxy ~j- y (y — b) = 0.
Cela posé, en éliminant y (y — b) entre ces deux équations, on obtient l'équation œ = 0, qui représente la droite AB, et l'équation
( A 2 - C 2 ) (x - a) + (B* - KC 2 ) y = 0,
qui doit représenter la droite CD; et, en substituant dans l'équation de la cubique à B$y la valeur donnée par celle qu'on vient d'écrire, on obtient l'équation du cercle donné, et, en outre, l'équation
px + qy = Cz,
qui représente une droite. Ce cercle et cette droite doivent donc passer par les trois points d'intersection de CD avec la cubique, et, comme le cercle passe par D et C, la droite doit passer par le troisième point F.
En posant maintenant x = dans cette dernière équation et dans celle de la cubique, on voit que la droite qu'elle représente passe aussi par le point E où la droite AB coupe cette courbe ; et, comme son coefficient angulaire est égal à celui de l'asymptote de la cubique, elle est parallèle à cette dernière droite. Le théorème est donc démontré.
Pour construire au moyen de ce théorème le cercle osculateur de la cubique donnée à un quelconque de ses points, remarquons que, si les points B et C coïncident avec A, le cercle considéré ci-dessus devient osculateur et la droite AB devient tangente à cette cubique au point A; et que alors cette tangente et la droite CD coupent la cubique en deux autres points E et F tels que la droite EF est parallèle à l'asymptote. En traçant donc d'abord la tangente à la cubique au point A, ensuite par le point E où elle coupe cette cubique une droite parallèle à l'asymptote, et par le point F où cette dernière droite coupe la même cubique la droite AF, on obtient le point D où le cercle osculateur demandé intercepte la courbe.
Nous ajouterons à ce qui précède que, en appliquant à l'équation (16) l'analyse employée au n.° 25, on voit que la valeur du rayon de courbure des cubiques considérées aux points où la tangente est parallèle à l'asymptote réelle est donnée par la formule
Voici encore une autre conséquence du théorème énoncé au commencement de ce paragraphe qu'il est utile de remarquer. Supposons que le point B coïncide avec A et D avec C; alors les droites AB et CD deviennent tangentes à la cubique et le cercle ABCD devient bitangente à la même courbe, et on a ce corollaire du théorème considéré:
Les tangentes à la cubique circulaire aux points de contact d'un cercle bitangent coupent la courbe en deux points situés sur une parallèle à l 'asymptote réelle.
Il résulte de cette proposition une méthode pour construire les cercles bi tangents passant par un point donné de la cubique.
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97o La longueur des arcs des cubiques circulaires unîcursales peut être obtenue an moyen des intégrales elliptiques, et, en quelques cas particuliers, au moyen des fonctions élémentaires.
En posant, en effet, y = tx, dans l'équation
x (a* + tf) - Piœ a + Qi»y + Ri?/ 2
F(*) = Pi + Qi* + Ri* 2 ;
ds* [F (t)f — 2tF (t) F' (t) + (1+* 2 ) [gW -^ r - - + 1)2
On voit donc que ds dépend de la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré par rapport à t } et que s dépend donc des intégrales elliptiques. On a fait précédemment (n. os 43 f*t 73) la réduction de l'intégrale dont s dépend aux intégrales normales de Legendre dans le cas de la strophoïde droite et de la trisectrice de Maclaurin.
Si deux des racines du polynôme dont ds dépend sont égales, la valeur de s peut être obtenue au moyen des fonctions élémentaires. C'est ce qu'il arrive, par exemple, au cas de la cissoïde droite, comme on a déjà vu (n.° 9).
98* La cissoïde, les cubiques de Sluse, les strophoïdes, la trisectrice de Maclaurin et les focales de Van Rees sont les premières cubiques circulaires qui ont été étudiées.
La théorie générale de ces cubiques fut initiée par Bjerknes en 1858 dans un mémoire publié au t. lv du Journal de Crelle, où il a donné une méthode pour les construire par des droites et des cercles, et où il a indiqué quelques rélations de ces cubiques avec l'hyperbole dont on a fait usage précédemment pour en démontrer quelques propriétés. Ensuite elle a été considérée en beaucoup de travaux (dont quelques-uns ont été mentionnés dans les pages précédents) principalement en connexion avec celle des quartiques bicirculaires et quelquefois avec celle des cycliques sphériques, courbes qui seront étudiées plus tard.
on trouve
où
et par suite
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