La courbe représentée par l'équation

x d — - 3axy + y 3 = 0,

rapportée aux coordonnées cartésiennes orthogonales, a été considérée pour la première fois par Descartes (Oeuvres, t. I, p. 490 et t. n, p. 313) en deux lettres adressées au Père Mersenne le 18 janvier et le 23 août 1638. Dans la première de ces lettres le grand géomètre, qui croyait que la méthode des tangentes de Fermât était applicable seulement aux courbes exprimées par une équation simple, présente cette courbe comme un exemple dont les tangentes ne pouvaient pas s'obtenir par cette méthode ; dans la deuxième lettre il donne une manière de construire les tangentes de la même courbe qui forment des angles de 45° avec les axes des coordonnées. La solution de ce problème, proposé par Roberval, qui n'avait pas pu le résoudre, fut aussi donnée par Fermât (Oeuvres, t. il, p. 169), par deux méthodes différentes, dans une lettre adressée à Mersenne le 22 octobre 1638. Le problème de la détermination des tangentes au folium fut considéré aussi par Sluse dans une lettre à Huygens de 1662 (Oeuvres de Huygens, t. iv, p. 246) et par Barrow clans ses Lectiones geometricae ; ce géomètre ayant modifié la méthode de Fermât de manière à en rendre l'emploie plus facile, a mis la courbe de Descartes entre les exemples auxquels, dans la leçon x, il a appliqué cette méthode, sous sa nouvelle forme.

Quelques années plus tard Huygens détermina la forme de la courbe et l'expression de la valeur de se.s aires dans une lettre addressée au Marquis de l'Hospital en 29 décembre 1692 (Oeuvres de Huygens, t. x, p. 351 et 374). Ce dernier problème a été résolu de nouveau par L'Hospital, au moyen des méthodes du Calcul intégral, en deux lettres adressées à Huygens en 1693 (1. c, p. 390 et 453) et l'un et l'autre furent encore résolus par Jean Bernoulli

dans ses Lecciones mathematicae (Opéra, t. ni, p. 403), ouvrage qui contient les leçons qu'il a données en 1691 et 1692 à L'Hospital ; mais dans les lettres de ce dernier géomètre à Huygens qui se rapportent à ces questions, on ne fait pas mention des solutions de Bernoulli, et probablement elles auront donc été ajoutées plus tard au texte de ces leçons, qui a été publié seulement en 1715.

ÎOO. Comme l'équation du folium ne varie pas quand on change x en y et y en a?, on voit que la bissectrice de l'angle des axes des coordonnés est un axe de la courbe.

Il convient donc de faire une transformation des coordonnées, en prenant cette bissectrice pour nouvel axe des abscisses. Pour cela, on doit employer les formules

qui transforment la première équation de la courbe dans celle-ci:

cette substitution de l'équation (2) à l'équation (1) fut indiquée par Descartes dans la lettre à Mersenne du 23 août, dont a fait mention ci-dessus, et elle est le premier exemple connu, je crois, de la transformation de l'équation d'une courbe dans une autre rapportée à des nouveaux axes.

On voit aisément au moyen de cette dernière équation que la courbe considérée a la forme

indiquée dans la fig. 12, où est un point double, KL une asymptote, dont l'équation est

et A un sommet, dont la distance à O est

égale — a \/2\ le rayon de courbure à ce der-

nier point est égal à —a l/~2 ; c'est-à-dire à

En posant Y' = dans l'équation

et en éliminant ensuite Y au moyen de l'équation de la courbe, on trouve

Fig. 12

A la première de ces valeurs de X correspondent les points B ; et B /; , où les tangentes sont parallèles à OA; à la deuxième correspondent deux valeurs imaginaires de Y. Ces points furent déterminés pour la première fois par Descartes et Fermât, comme on a déjà dit pré cédemment.

L'équation (2) donne immédiatement

donc les tangentes à la courbe au point double forment des angles de 45° et —45° avec son axe, et coïncident, par conséquent, avec les axes auxquels l'équation (1) est rapportée.

Il est facile de voir que les rayons de courbure à ce point sont égaux h — a.

Roberval fut le premier géomètre qui a cherché la forme de la cubique considérée, à laquelle il a donné le nom de galand (ancien terme français, synonime de noeud de ruhan) et celui de fleur de jasmin. Il a déterminé la forme de la feuille OB'AB^O, mais ni ce géomètre ni Descartes ont pu déterminer la partie de la courbe qui est située à gauche de OY, ce qui indique, comme l'a remarqué P. Tannery (Intermédiaire des mathématiciens <, t. IV, p. 126), qu'ils ne possédaient encore la notion de coordonnée négative. La forme de cette partie de la cubique a été indiquée, comme on a déjà dit, par Huygens et par Jean Bernouilli.

lOl. Je vais indiquer maintenant quelques manières de tracer le folium de Descartes. On déduit un premièr procès pour faire cette construction de l'équation polaire de cette cubique :

3a (2 cos 2 0-1) P ~ t/2 (3 cos 0-2 cos 3 0)'

en la mettant sous la forme

26 cos

cos 6 \ cos 6

? = ôj " -i

—--26 cosfl cos u

où b = a \<2 .

Traçons, en effet, une circonférence de rayons égal à b ayant le centre au point C

(fig. 12), la tangente à cette circonférence au point A et la droite OS. Eu prenant ensuite sur cette droite un segment BU, égal à BS, et en représentant par 6 l'angle SOA, on trouve

OS = — 5—, OB = &cos0, cos

et par conséquent

OU = OB - (OS - OB) = 26 eos 6 °

OS + US = OS + 2 (OS — OB) = — — 2h costf.

cos 6

cosô

On a par suite