En écrivant l'équation (2) sous la forme
on voit que le folium de Descartes appartient à le classe de cubiques considérées aux n. os 22 et 23. En lui appliquant la doctrine exposée au n.° 22, on voit que cette courbe est la cis-
soïdale de l'ellipse et de la droite représentées par les équations
par rapport à l'origine des coordonnées, qui coïncide avec un sommet de l'ellipse.
Nous remarquerons encore que cette droite coïncide avec l'asymptote de la cubique et que
les demi-axes de l'ellipse sont égaux à as/2 et — c'est-à-dire à 20.D et à ~ de l'abscisse des points B' et B ;/ e
De ce qu'on vient de dire à ce n.° et au précédent résultent deux modes de construire la cubique de Descartes ; mais ils peuvent être rattachés l'un à l'autre, puisque les coordonnées de la circonférence dont la trisectrice considérée au n.° précédent est la cissoïdale et de la conique dont le folium est la cissoïdale sont liées par les mêmes relations x = ~K et y = \/3Y que ces deux cubiques»
104L Le folium de Descartes est une cubique unicursale. En posant en (1) y = tx, on obtient les expressions suivantes de x et y en fonction du paramètre t:
3at 3afi
On voit au moyen de ces équations, comme au n.° 50 ? que les valeurs que t prend aux points où la droite représentée par l'équation
ux -\-vy=l
coupe le folium, vérifient la condition
tihh + l = 0.
Si cette droite passe par un point d'inflexion de la courbe, on a à ce point ti = f 2 = f 3 • et, par conséquent, ^ + 1 = 0. Cette équation donne pour t{ trois valeurs distinctes, auxquelles correspondent trois points d'inflexion, un réel et deux imaginaires, situés tous à l'infini.
Si la droite considérée est tangente à la cubique, on a £i=f2, et l'équation précédente prend la forme
On détermine au moyen de cette équation la valeur que t prend au point de contact de la courbe avec la tangente qui passe par le point où ce paramètre a la valeur donnée h ;
VOL. IV L
-ou,, réciproquement, la valeur que t prend au point où la cubique est coupée par la tangente au point où le même paramètre prend la valeur donnée ti.
105. Pour déterminer l'aire comprise entre un arc du folium, l'axe de cette courbe et les parallèles à l'axe des ordonnées passant par les points dont les abscisses sont X et Xi, on peut employer la formule
qui, en posant
et en intégrant, donne cette autre:
(i+V 2 (i+Vj'
où z e Z{ représentent les valeurs que z prend aux points dont les abscisses sont égales à X et Xi. gl
En faisant X = et Xi = -g-aV // 2, et par suite £ = \/ S et z\ = 0, on trouve que la
valeur Ai de Taire de la boucle est celle-ci:
En posant X = et Xi = — — aV '2 , et par suite 2 = l/3 et z\ = co, on voit que la
valeur de l'aire comprise entre la courbe et l'a asymptote est aussi égale à — a 2 .
En partant de l'équation (1) on obtient aussi aisément la valeur de l'aire B comprise entre un arc du folium, l'une des tangentes au point double et deux droites parallèles à
l'autre. Q
oc
En posant, en effet, y = — ^ dans l'équation (1), on trouve
ce 3 -\- u 6 = 3ait 4 . 2ifî du -f- x^dx = 4a ifî du }
et, par conséquent,
j ydœ= j ~y dx — J (4au — 2u 3 ) du = 2a ifi ^
1 ce 2
y 2 f ~ 2 Xy + Y a Y'
Donc, en représentant par (a? , y ) et (sci, les coordonnées des extrémités de l'are considéré, on trouve le résultat suivant:
B = t (x 1 yi x ° yo) + ¥ a vpr - i;) '
obtenu par Huygens (1. c), par L'Hospital (1. c.) et par Jean Bernoulli (1. c).
106. Le volume du solide limité par la surface de révolution engendrée par l'arc du folium compris entre l'origine des coordonnées et le point (X, 0), quand il tourne autour de OX, et par un plan perpendiculaire à cet axe en ce point est exprimé par la formule
d'où résulte, en posant l'expression suivante le volume du solide engendré par
la feuille :
y^^ TO 3 log 2-| a 3 i /2.
Le problème qu'on vient de considérer a été résolu par Huygens, qui a communiqué sa solution à L'Hospital dans une lettre du 23 juillet 1693 (Oeuvres de Huygens, t. x, p. 461).
Les courbes quarrables algébriquement. Le trèfle.
107. On a vu au n.° 105 que le folium de Descartes est une courbe quarrable algébriquement, et ce résultat suggère l'idée de chercher toutes les cubiques qui satisfont à cette condition. Cette question a été étudiée par Maximiiien Marie dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (3. e série, t. x, 1890) par une méthode fondée sur une représentation géométrique des imaginaires, qui l'a amené aux courbes représentées par l'équation
rapportée à des axes orthogonaux ou obliques.
Mais cette solution du problème énoncé est incomplète; nous allons, en effet, démontrer >
qu'existent d'autres courbes qui lui satisfont. Mais, avant cela, nous dirons quelques mots sur la classification des cubiques donnée par Newton dans son Enumeratio linearum tertii ordinis, ouvrage publié en 1701, dans laquelle nous nous baserons pour étudier la question mentionnée.
