Considérons l'équation générale des cubiques

Ax 3 + Bx^y + Cœf + By 3 + Ex 2 + Fxy + Gh/ 2 + Hœ + Ky + L = 0.

En remarquant qu'on a

Ax 3 -f- Bx~y -f- Cxy^ + Y) y 3 =A(x— ai y) (x — a%y) (x — azy)j

U[, a% et «3 étant les racines de l'équation

At 3 + Btf + Ct+I) = 0,

on peut mettre l'équation considérée sous la forme

A(x — aiy) (x — a*>y) {x — a^y) + Eœ 2 + Fxy + Gr?/ 2 + Rx + Ky + L = 0,

ou encore, en remarquant qu'une, au moins, des racines considérées est réelle, «i par exemple, et en prenant une parallèle à la droite représentée par l'équation x = a[y pour axe des ordonnées,

(A) x (x 2 + mxy + ny-) = Eia? 2 + F\xy -f- Gri?/ 2 + ïi{X -f- Ki?/ + Li .

Transportons maintenant l'origine des coordonnées à un point (h, k) et prenons pour nouvel axe des abscisses une droite qui fasse avec l'axe primitif un angle égal à <d. En changeant pour cela x et y en

#coscd+/£, y-\-k-\-xsii\(n f

et en déterminant h, k et oo par les équations

2?i tang a) -f m = 0, nh - Gti = 0, + 2m Gq ~ nFi = 0,

qui expriment les conditions pour que soient nuls les coefficients de x 2 y, y % et xy dans la

nouvelle équation, on obtient un résultat de la forme

(i) xy* 4- ey = ax 3 + bx^ -\~cx-\-d.

Ce qui précède n'a pas lieu quand 7i = 0, ce qui arrive lorsque deux ou trois des racines ai, as, et a3 sont égales. On évite le premier de ces cas en représentant par ai la racine simple. Dans le second cas on a aussi m=0 et l'équation (A) prend la forme

x 3 = Eja; 2 + F 4 a?y + Gif + HiX + Kiy + Li ; or cette équation peut être réduite à la forme

(n) y^ = ax 3 + bx% -\-cx-\-d,

en faisant disparaître les termes dépendantes de xy et y au moyen d'un changement de l'origine des coordonnées et de la direction de l'axe des abscisses, quand Gri n'est pas nul ; et, quand Gi = 0, la même équation peut être réduite à la forme

(m) xy = ax 3 -f- Sa? 2 + ex + a 7 ,

si Fi est différente de zéro. Si Fi = et Gi—0, l'équation considérée a la forme

(iv) y = ax 3 + bx 1 -\-cx-\-d.

Les équations (i), (il), (ni) et (iv) sont les quatre formes canoniques auxquelles Newton a réduit l'équation générale des cubiques.

Cela posé, les cubiques représentées par l'équation (i) furent disposées par Newton en trois classes, à savoir: 1.° celles qui correspondent à a>0, c'est-à-dire celles qui ont trois asymptotes réelles non parallèles, qu'il a nommé hyperboles redondantes ; 2.° celles qui correspondent à a < 0, c'est-à-dire celles qui ont deux asymptotes imaginaires non parallèles, qu'il a nommé hyperboles défectives ; 3.° celles qui correspondent ha = et &<0, lesquelles ont une seule asymptote à distance finie, qu'il a nommé hyperboles paraboliques , et celles qui correspondent àa = 0et 5 = 0, dites les hyperbolismes des coniques, par un motif qu'on verra plus tard. Les cubiques circulaires et le folium de Descartes appartiennent à la deuxième classe.

La cubique représentée par l'équation (m) est connue par le nom de trident, et les cubiques représentées par l'équation (n) furent appellées par Newton paraboles divergentes; ces courbes seront étudiées bientôt.

A la cubique représentée par l'équation (iv) on a donné le nom de parabole cubique et celui de parabole de Wallis, et elle sera considérée plus loin.

100. Cela posé, pour chercher les cubiques quarrables algébriquement, nous allons examiner séparément les équations des quatre classes de cette énumeration.

l.° Les aires des cubiques représentées par l'équation (î) dépendent de l'intégrale

e \/Ax (ax 3 + bx^ -\-cx-\- d)-\- e°

J dx ;

on voit donc que, pour que le calcul soit indépendant des logarithmes et des fonctions elliptiques, il faut que la constante e soit nulle, et, en outre, qu'une, au moins, des racines de l'équation

ax^ + bx^ + ex + d =

soit égale à ou que deux de ces racines soient égales l'une à l'autre et différentes de zéro. Dans le premier cas, on a d = 0, et l'équation (i) représente un droite et une conique; dans le deuxième cas, U prend la forme

U = \/~a Jipe— ^)sj~^~~ dx, >

et, en faisant a — x = fîx, on trouve

s/ • r 2at / 1 r\ i \ t

{Y+t^f ~ ( 4 P + a ) + ( 4 P ~ a ) arctang-<

Cette formule fait voir que U est une fonction algébrique de x quand a = 4p et que, par conséquent, la courbe représentée par l'équation

est quarrable algébriquement. Cette équation peut être réduite à la forme

en transportant l'origine des coordonnées au point (J3, 0), et représente, quand a < 0, le folium de Descartes et les courbes affines.

Soit maintenant a = 0. On voit alors que, pour que le calcul des aires des courbes représentées par l'équation (1) soit indépendante des fonctions elliptiques, il faut que U prenne la forme

Ç dx

la courbe correspondante

/- x — P v as

est quarrable algébriquement, comme on le voit immédiatement.

Si Ton a a = et 6 = 0, les cubiques représentées par l'équation (i) sont quarrabies algébriquement lorsque c = 0, c'est-à-dire quand cette équation a la forme

xtp 1 = d.

Considérons maintenant les cubiques représentées par l'équation (a). Pour que le calcul de leurs aires ne dépende pas des fonctions elliptiques, il faut que l'équation

ax^ + hx % + ex + d —

ait des racines égales. On a alors

y a (x — P j Vx — a 7

et, comme l'intégrale fydx est exprimible par des fonctions algébriques, on conclut que les courbes représentées par cette équation satisfont au problème proposé.

On voit immédiatement que les cubiques (m) ne satisfont pas au problème, et que les courbes représentées par (iv) lui satisfont.

De tout ce qui précède il résulte que les courbes quarrabies algébriquement sont représentées par las équations

y = x S^J , y = ^ ~^r^ ' xy % = dj, y = (x — |3) sjx — a ; y = ax 3 + Z># 2 + ex -f- d.

HO. La première des équations qu'on vient d'écrire donne lieu à quelques remarques. Les autres seront retouvées dans cet Ouvrage plus tard.

Si a = — cette équation représente le folium de Descartes, quand les axes des coordonnées auxquels elle est rapportée sont orthogonaux; si ces axes sont obliques, la même équation représente une courbe dont la forme ne diffère pas de la forme de celle-là que par la circonstance de posséder un diamètre conjugé aux cordes parallèles à l'asymptote, au lieu d'un axe perpendiculaire à cette asymptote, et dont la théorie est une généralisation facile de celle du folium de Descartes. On pourrait nommer la nouvelle courbe folium obliquum. Si a est

un nombre négatif différent de — l'équation considérée représente une courbe affine des

précédentes ; la trisectrice de Maclaurin est comprise dans ce cas.

Les courbes correspondantes aux valeurs positives de a furent désignées par Maximilien

Marie par le nom de trèfles. Il est facile de voir que chacune de ces courbes est composée d'un point isolé, qui coïncide avec l'origine des coordonnées, et de trois branches infinies ayant pour asymptotes les droites représentées par les équations

où h = \/a 1 et qu'elle a trois points d'inflexion à V infini. Les droites représentées par l'équation ?/ = + -j- A coupent le trèfle en deux points dont les abscisses x' et x 11 satisfont à la A

condition x' -j- a/' — ip ; donc la courbe a deux diamètres conjugués aux cordes parallèles

aux asymptotes représentées par les deux dernières équations, et ces diamètres, dont les équations sont, respectivement, y — — hx et y = hx, passent par le point isolé. L'axe des abscisses est aussi un diamètre conjugué aux cordes parallèles à l'asymptote représentée par la première équation.

Supposons maintenant que les axes des coordonnées sont orthogonaux. Alors, en désignant par Li, L2 et L3 les distances des points où la deuxième et la troisième asymptote coupent l'axe des abscisses aux points où rencontrent la première, et la distance des points où le première coupe les deux dernières, on a

Li = L 2 = 3|B t/l + h\ L 3 = 6h$.

On voit donc que le triangle formé par les trois asymptotes est équilaûre quand h = \ / |r? c'est-à-dire quand l'équation de la cubique est

x — 3ft

et par ce motif cette courbe fut alors nommée tréfile equilatère par M. Cazamian [Nouvelles Annales de Mathématiques, 3. e série, t. xni, 1894).

Ce trèfle particulier fut étudié par G. de Longchamps en une Note insérée au Mathesis (t. vin, 1888, p. 5), où il a démontré que cette courbe est la polaire réciproque d'une quartique qui sera considérée plus loin sous le nom de hypocycloïde tricuspidale, et qu'elle est une trisectrice de l'angle. L'équation polaire de la courbe

p cos 30 = 3p

rend évidente cette propriété et fait voir que la cubique appartient à une classe de courbes que nous trouverons plus tard sous le nom à 9 épis. Nous ajouterons encore que le trèfle équilatère est compris dans une classe de cubiques remarquées par Euler dans le tome 11, n.° 351 ? de YIntroductio in Analysin infinitormn, lesquelles possèdent trois asymptotes formant un triangle équilatère.

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L'aiiguinea. Les hypcrbolismes des coniques.

111. Newton, dans son Enumeratio linearum tertii ordinis^ ouvrage publié en 1701, a donné le nom à'anguinea (anguinêe ou serpentine) à la courbe représentée par l'équation suivante, rapportée à deux axes formant un angle arbitraire to :

xhj + ah y — a?x — 0,

où ah > : courbe qui est une des soixante- douze espèces de cubiques énumerées par le grand géomètre dans ce travail célèbre. Cette cubique avait été considérée antérieurement par L'Hospital et par Huygens, en connexion avec la logarithmique, comme auxiliaire pour la rectification de cette dernière courbe, en des lettres adressées par l'un à l'autre en 1692, où sont étudiés les problèmes de sa quadrature et de la détermination du centre de gravité de ses aires {Oeuvres de Huygens, t. x, p. 314, 326 et 342). En mettant l'équation précédente sous la forme

et en tenant compte de l'égalité

ce 2 -}- ab

a 2 (ah — ce 2 ) (x^ + aby

on voit que la courbe (fig. 13) passe par l'origine des coordonnées et qu'elle s'étend jusqu'à

l'infini dans le sens des abscisses positives et négatives ; qu'elle a un centre en ; que ses ordonnées ont une valeur maxime et une valeur minime aux points A et B, ovLX = \/ab et x = — s/ah ; qu'elle a une asymptote réelle, laquelle coïncide avec l'axe des abscisses, et deux asymptotes imaginaires, dont les équations sont x = +i\/ab ; et qu'elle a un point double, situé à l'infini.

Fig. 13 On voit aussi, au moyen de l'équation

VOL. IV

2a* (g? 2 — 3ab)x (ce 2 + abf

que la cubique considérée a un point d'inflexion à l'origine des coordonnées, et deux autres dont les abscisses sont égales à \/3ab et — \^3ab. Au premier de ces points on a 7/ = -^-, et par conséquent la tangente à la cubique en ce point passe par le point (b, a); au point d'inflexion C on a y' — — et par conséquent la tangente à la cubique en ce point est parallèle

à la droite qui coupe les axes des coordonnées aux points (0, à) et (8b, 0). La tangente à la cubique donnée au point (se, y) a pour équation

aV Y — (ab — ce 2 ) y* 2 X = 2y % x 3 ; et l'expression du rayon de courbure est, quand o) = -

où N représente la longueur de la normale au point (œ, y).

112. L'aire A comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et une droite parallèle à l'axe des ordonnées est déterminée par la formule

C x a 2 A = sin co J ydx = — sin to log

x^-\-ab

En particulier, l'aire Ai comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et la parallèle AP à l'axe des ordonnées menée par le point où l'ordonnée est maxime, est déterminée par la formule

Ai = - ; -- sin o) log 2 ;

et l'aire A2 comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et la parallèle CR à l'axe des ordonnées qui passe par le point d'inflexion C, est donnée par la formule

A2 = a 2 sin to log 2.

On voit donc que Faire de OAP est égale à celle de ACRP.

113. Si a et & ont des signes contraires, la forme de la courbe est différente de celle qu'on vient de voir, et le nom d'anguinea ne lui convient pas. Alors elle a trois asymptotes réelles

représentées par les équations y = 0, x = \J — ab et x = — ab, un point d'inflexion réel au centre 0, et deux points d'inflexion imaginaires. Sa forme est indiquée dans la figure 14, où

Fig. U

114. Les courbes qu'on vient de considérer appartiennent à la classe des cubiques nommées par Newton les hyperholismes des coniques, que nous étudierons ici d'une manière succinte. Mais, d'abord, nous allons dire quelques mots sur la transformation qui fait correspondre à une courbe (C) une autre (C 7 ) telle que les coordonnées (ce, y) de la première soient liées aux coordonnées (X, Y) de la deuxième par les relations

Cette transformation fut employée par Newton, qui a nommé la courbe (C) Yhyperholisme de (C 7 ). On peut construire les points et les tangentes d'une de ces courbes au moyen des points et des tangentes de l'autre par une méthode très simple, que nous allons indiquer, laquelle a lieu quelle que soit la direction des axes des coordonnées auxquelles les courbes soient rapportées.

Soient (fig. 15) KL la droite représentée par l'équation y = OL = a, M et m deux points situés sur une parallèle MP à l'axe OX et Bw une parallèle à l'axe OY. Les triangles POM et LOB donnent les relations