AX. 2 + HY 2 + KX + LY

et les axes des coordonnées auxquels la conique et la cubique sont rapportées, sont alors parallèles à un diamètre de la conique et aux cordes conjuguées correspondantes.

2. ° Voyons, en second lieu, si la même cubique (3) peut être un hyperbolisme d'un cercle, et, par cela, considérons l'équation

(5) X 2 + Y 2 + 2XY cos o) — 2 (a?i + yi cos co) X - 2 (yi + œ L cos a>) Y = 0,

qui représente un cercle passant par l'origine des coordonnées et ayant le centre au point Les équations (4) donnent alors les relations

K = — 2 (ça + yi cos co) a, H = a 2 sin 2 to, L = — 2c; 2 y- L sin 2 co,

qui déterminent a, xi et y\, quand les constantes H, K et L sont données. On peut donc déterminer, et de deux manières différentes, un cercle dont la cubique (3) soit un hyperbolisme ; ce cercle est réel quand la constante H est positive, et les axes auxquels son équation (5) est rapportée sont parallèles à ceux auxquels l'équation de la cubique est rapportée et passent par le point ayant pour coordonnées, dans ce dernier système d'axes, (ce cos co, 0). On voit de même que l'hyperbole équilatère représentée par l'équation

X 2 + Y 2 cos 2co + 2 XY cos co — 2 (xi + yi cos co) X — 2 (x{ cos co + 2/1 cos 2o>) Y =

est un hyperbolisme de la cubique (3), lorsque a, X{ et y\ vérifient les relations K = — 2 (xi + y\ cos ça) a, H — — a 2 sin 2 co, L = 2a 2 yi sin 2 œ ;

cette hyperbole est réelle quand H < 0.

Il résulte de tout ce qui précède cette proposition, qui n'a pas encore été remarquée^ croyons-nous :

La cubique représentée par V équation (3) est, et de deux manières différentes, un hyperbolisme réel d'un cercle quand H>0, et d'une hyperbole équilatère quand H<0.

On doit encore remarquer que, si dans l'équation (2) on a A = 0, l'hyperbolisme correspondant est une autre conique; et que, si l'origine des coordonnées n'est pas située sur la conique, c'est-à-dire si l'équation de cette courbe a la forme