AX 2 + BXY + CY 2 + DX + E Y + F

l'équation de l'hyperbolisme correspondant est celle-ci :

kxhf + Baxif + Ca V + Dctxy + Ea 2 ?/ + Fa 2 = 0,

qui représente une quartique ? quand A est différent de zéro, et une cubique quand A = 0*

CD

Dans ce dernier cas, en transportant l'origine des coordonnées au point ( -— ^ a i

on obtient encore une équation de la forme (3).

117. En appliquant cette doctrine à l'anguinea, on voit que cette cubique est l'hyperbolisme de chacun des cercles représentés par l'équation

±\/âb (X 2 + Y 2 + 2XY)-a 2 (X + Ycosco) sinco = 0,

par rapport aux droites Y = + •

sm o)

De même, la courbe considérée au n.° 113 est l'hyperbolisme de chacune des hyperboles équilatères définies par l'équation

Y 2 cos 2cd -f- 2XY cos o>) — a 2 (X + Y cos co) sin co =

par rapport aux droites Y= + ^ •

sm to

118. Une autre question qui se rattache à celle qu'on vient de considérer aux n. os précédents, est celle qui a pour but de chercher les courbes dont les coniques sont les hyperbolismes; nous nommerons ces courbes les antihyperbolismes des coniques. Pour la résoudre,

posons dans l'équation (6)

ax

On trouve ainsi l'équation suivante:

AaW + Baxif + Qtf + Baxy + Ez/ 3 + Fy» = 0,

qui représente une quar tique quand A et G sont différents de zéro, une cubique dans le cas contraire. L'équation de cette cubique est, quand C = 0,

?/ 2 (Baœ + E#) + Aa 2 + Da xy + Fy^ = ;

et, quand A=0,

C# 3 + Baxy + Dax + E?/ 2 + F?/ = 0;

cette courbe est donc unicursale, dans les deux cas, et a une asymptote à distance finie quand B n'est pas nul.

Si B n'est pas nul, la dernière équation qu'on vient d'obtenir peut être réduite à la forme

xy = my 3 + ny* -\-py -f* q>

en transportant l'origine des coordonnées au point ^0, — "^"^5 cette cubique sera considérée au n.° suivant. Si B = 0, la même équation représente une parabole cubique (n.° 108).