IV
Le trident. La parabole de Descartes.
119. On donne le nom de trident à la courbe représentée par l'équation
xy = ax 3 -f bx^ + ex + d,
laquelle est une des quatre formes canoniques (n.° 108) auxquelles Newton a réduit l'équation générale des cubiques dans V Enumeratio linearum tertii ordinis, ouvrage déjà mentionné.
Pour déterminer la forme de cette courbe, supposons d'abord que les constants a et d soient positives. Alors elle est composée de deux branches qui ont, par rapport aux axes des coordonnées, la situation indiquée dans les figures 16 et 17. Ces deux branches ont pour asymptote
l'axe des ordonnées, et la branche située à droite de OY s'étend jusqu'au point (oo , go) et
Fig. 16 Fig. 17
l'autre jusqu'au point ( — co, oo). Cette asymptote est tangente à la cubique au point de rebroussement qu'elle a à l'infini.
La droite représentée par l'équation y = h coupe le trident en trois points réels ou en un point réel et deux imaginaires. Un de ces points réels est situé toujours à gauche de OY, les deux autres sont situés à la même branche, à droite au à gauche de OY. En effet, l'équation qui détermine les abscisses de ces points est
ax 3 -f + (p — x + à = 0,
et, puisque a et à sont positifs, elle a deux racines imaginaires et une racine réelle négative, ou trois racines réelles négatives, ou deux racines réelles positives et une négative.
Les abscisses des points où l'ordonnée y prend une valeur maxime ou minime sont données par l'équation
qui a deux racines imaginaires et une racine réelle positive, ou deux racines réelles négatives et une positive, puisque le produit des racines de cette équation est positif et la somme des produits de ces racines prises deux à deux est nulle. Donc l'un de ces points est placé sur la branche située à droite de OY, et les deux autres, quand ils sont réels, sont placés sur la branche située à gauche de cette droite. On voit au moyen de l'équation
„ 2(ax* + d)
que la cubique considérée a un point d'inflexion réel et deux imaginaires, dont les coordon-
nées sont données par les équations
Le point d'inflexion réel existe sur la branche située à gauche de OY.
Nous avons supposé dans ce qui précède que les quantités a et d sont positives. Si Tune de ces quantités est positive et l'autre négative, ou si Tune et l'autre sont négatives, on voit aisément que le trident conserve la même forme, et qu'il change seulement de situation par rapport aux axes des coordonnées.
12®. Nous avons vu au n.° 118 que le trident est un antihyperbolisme d'une conique; on peut donc tracer cette cubique et ses tangentes au moyen de cette conique et de ses tangentes, en appliquant la méthode indiquée au n,° 114. Pour trouver la conique qui correspond à un trident dont l'équation est donnée, transportons l'origine des coordonnées au point (h, 0) ? h représentant une racine réelle de l'équation
ce qui réduit l'équation de la cubique considérée à la forme
xy = ax d -f- (pah + 6) -j- (3a/i 2 -j- 2bh -j- c) x — hy,
et posons ensuite
?/ = XY, a? = X,
ce qui donne
(X + h) Y - aX 2 + (3a/z + b)X + 3afc 2 ~\- 2bk + c.
Cette équation représente une hyperbole dont le trident considérée est un antihyperbolisme.
121. Nous allons indiquer encore une autre méthode pour construire le trident, donnée par G. de Longchamps dans son Essai sur la Géométrie de la règle (Paris, 1890, p. 110), dans laquelle on fait usage d'une parabole.
Remarquons d'abord qu'on peut réduire l'équation de cette courbe à la forme
ax 3 + bot? + d
en transportant l'origine des coordonnées au point (0, c).
Cela posé, traçons la parabole (fig. 18) représentée par l'équation
VOL. IV
et signalons sur son plan un point B dont les coordonnées a et jî aient les valeurs
b Q ad a b
Traçons ensuite la droite AB, parallèle à l'axe des abscisses, la droite de direction arbitraire AC, la droite CM, parallèle à Taxe des ordonnées, et la droite BM, parallèle à AC. Le lieu décrit par M, quand la direction de AC varie, est la courbe demandée.
En effet, en représentant par x' et y' les coordonnées du point C, et par x et y celles du point M, et en exprimant que M est situé sur la droite BM et que C est situé sur la parabole, on trouve
x = x', y' = ax ! % (y - p) x> = {y' - P) (x - a),
et par suite, en éliminant x 1 et y',
a(x^ — ax^)-\-cc^ aœ^ + bx^ + d
Fig. 18 Fig. 19
122* Considérons une parabole BAC variable (fig. 19) dont l'axe coïncide avec l'axe des abscisses, un point E de cet axe et un point D situé sur Taxe des ordonnées, et supposons que cette parabole varie de position de manière que son axe coïncide toujours avec OX et que E varie aussi de manière que la distance AE reste constante. La droite DE, qui passe par le point fixe D et par le point variable E, coupe la parabole NAC en deux points M et N qui, quand la parabole varie, décrivent une courbe considérée par Descartes dans sa Géométrie, publiée en 1637, où il a indiqué le rôle qu'elle joue dans la construction des courbes du 5. ème et du 6. ème degré, et nommée conchoïde parabolique par ce grand géomètre, à cause de l'analogie de sa définition avec une des manières de définir la conchoïde de Nicomèdes. A cette même courbe a été ensuite donné le nom de conchoïde parabolique de Descartes par Montucla dans son Histoire des mathématiques (t. n, p. 340), et celui de parabole de Descartes par Roberval dans ses Observations sur la composition des mouvements (Mémoires de V Académie des Sciences de Paris, t. vi, 1730), où il s'est occupé de la détermination de ses
tangentes, et par Newton dans quelques fragments sur rénumération des cubiques, publiées par M. Rouse Bail dans les Proceedings of the Lonclon Mathematical Society, t. xxir; cette dernière désignation fut aussi employée par Chasles dans son Aperçu historique (2. eme éd., p. 60).
Pour trouver l'équation de la courbe considérée, faisons
OA--5, AE = A, OD = -c, et supposons que les équations de la parabole NAC et de la droite DE sont
La condition pour que la droite coupe la parabole au point (œ, y) est
et, par conséquent, on trouve l'équation demandée en éliminant le paramètre h entre cette équation et celle de la parabole. Cette équation est donc
(y+ c ) (f— ah )
ay
ou, en transportant l'origine des coordonnées au point (S, 0),
axy = ?/ 3 -f- cy^ — ahc,
et elle fait voir que la conchoïde parabolique et le trident coïncident.
Quelques auteurs, comme, par exemple, A. Comte (Nouvelles Annales de Mathématiques, 1894, p. 414), donnent aussi le nom de conchoïde parabolique de Descartes à la courbe qu'on obtient en prenant sur les droites qui passent par le foyer d'une parabole, à partir du point où elles coupent cette courbe, des segments de longueur constante. Mais la courbe qu'on obtient de cette manière, dont l'équation polaire est
? ~2(l-costf) 1 ^
et dont l'équation cartésienne est
4 (x? + if + kxf = (a + 2k + 2xf (x^ + if) , ne coïncide avec celle qui a été considérée par le célèbre inventeur de la Géométrie analytique.
La rcrslcra.
123, Traçons un cercle (jîg. 20) de centre C et rayon égal à -i- a> une droite OA passant par ce centre et une tangente AK à cercle. Menons ensuite par la droite ON et par les points M et N où elle coupe le cercle et la droite AK, tirons les droites N??2 et MP, parallèles à OA et AK, Ces droites se rencontrent à un point m, qui, quand ON varie, en tournant autour de O, décrit une courbe dont l'équation, rapportée à comme origine des coordonnées et à OA comme axe des abscisses, résulte de la relation
???P a MP
en y posant OP = wP = ?y, et est donc celle-ci: (1) xy^ = a 2 (a — x) .
Cette courbe est nommée cubique d'Agnesi, pour avoir été étudiée par cette femme illustre dans ses Instituzioni analitiche ad uso délia gioventù iialiana (Milano, 1748, t. i, p. 380-381 et 391-393), où elle lui a donné le nom de ver siéra. Mais, la même cubique avait déjà été considérée par Fremat (Oeuvres, t. i, p. 279; t. m, p. 233), qui avait remarqué que sa quadrature dépend de celle du cercle, et par J. Gregory (Exercitationes geometricae, 1668), qui l'avait rencontrée dans le problème de la quadrature de la cissoïde de Dioclès. Elle avait été considérée, en outre, par Huygens (Oeuvres, t. x, p. 41 et 370), qui s'était occupé aussi de sa quadrature, et, d'après une Note de M. Vacca insérée au Bolletino di bïbliografia e storia délie scienze matemaîiche (t. IV, 1901), le nom par lequel elle a été désignée par Agnesi lui avait déjà été donné en 1718 par Guido Grandi.
On voit au moyen de l'équation de la courbe et au moyen de l'équation
J 2xy 2x*y
que la versiera a la forme A i A Ai indiquée dans la figure 21. Elle est symétrique par rapport à l'axe des abscisses et a pour asymptote l'axe des ordonnées; la tangente au point A est
Fig. 20
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parallèle à cet axe; et elle a deux points d'inflexion à distance finie, dont les coordonnées sont
, et un autre à l'infini. Elle a encore deux asymptotes imaginaires, représentées par l'équation y = + ai, et un point double à l'infini. En posant
dans l'équation
qui représente le cercle AMO (jig. 20)^ on trouve l'équation (1), Donc, la ver siéra est Vhyperbolisme du cercle AMO par rapport à la droite AK. La méthode qu'on a suivie précédemment pour construire cette courbe coïncide d'ailleurs avec celle qui résulte d'appliquer à ce cercle et à cette droite la doctrine générale exposée au n.° 114.
Il résulte encore de ce qui précède une manière facile de tracer les tangentes à la cubique considérée. En effet, la tangente à cette courbe au point m et la tangente au cercle AMO au point M coupent la droite PN au même point (n.° 114).
124. Le rayon de courbure de la versiera au point (a?, y) est déterminé par la formule
(a 4 + 4aœ 3 — 4ce 4 )'
2a <2 x^ (3 a — 4cc)
la valeur que cette quantité prend au point A est donc égale au rayon CA du cercle employé au n.° 123 pour construire la courbe.
125, L'aire limitée par un arc de la cubique d'Agnesi, par l'axe des ordonnées et par deux parallèles à l'axe des abscisses menées par les points dont les ordonnées sont égales à y et y\ est déterminée par la formule
* Vi dy
arc tang
En posant dans cette formule y Q = — oo et y\ = œ, on trouve
A = ira 2 .
Donc, Vaire comprise entre la cubique d'Agnesi et son asymptote est égale à quatre fois l'aire du cercle AMO.
Le volume du solide engendré par la versiera, quand elle tourne autour de son asymptote, est déterminé par l'égalité
V = tc a? 2 dy = % ^ •
126. On a rattaché au nom d'Agnesi deux autres cubiques, liées à celle qu'on vient de considérer par des relations simples, mais dont on ne trouve pas mention dans son ouvrage. L'une, représentée par l'équation
(2) xy 2 = a 2 (2a — œ),
a été nommée par plusieurs auteurs cubique d'Agnesi et ver siéra d'Agnesi, et par M. Loria pseudo-ver siéra (Bibliotheca mathematica, 1897, p. 7). L'autre, représentée par l'équation
(2x — a) (x- 2 + ?/ 2 ) = acc 2 ,
a été nommée par M. Peano visiera d'Agnesi dans ses Applicazioni geometriche del Calcolo infinitésimale (Torino, 1887, p. 87).
La pseudo -ver •siéra fut employée par Leibnitz pour obtenir le développement bien connu
comme on le voit par une lettre qui lui a été adressée par Huygens le 7 novembre 1674, publiée dans le tome vu, p. 394, des Oeuvres de ce dernier géomètre. Cette dernière courbe est affine de la versiera; on voit aussi aisément qu'elle est Thyperbolisme du cercle de rayon égal à a ayant le centre au point A, par rapport à la droite représentée par l'équation œ = tf, en supposant encore que l'origine est le point de la circonférence de ce cercle et que l'axe des abscisses est la droite OA passant par son centre.
Leibnitz a employé pour construire la courbe (2) un procédé différent de ceux qui résultent de ce qu'on vient de dire, et qui, d'après M. Aubry (Journal de Mathématiques spéciales, 1896, p. 180), avait été déjà suivi en 1668 par J. Gregory pour construire la même courbe dans l'ouvrage intitulé Geometriae pars univers alis ; nous allons indiquer ce procédé.
Considérons un cercle de rayon égal à a, passant par l'origine des coordonnées et ayant le centre sur l'axe des abscisses, et prenons sur ce cercle un point quelconque (x\ y y\). Traçons ensuite la tangente en ce point et par celui où elle rencontre la droite représentée par l'équation x = 2a menons une parallèle à l'axe des abscisses. Cette dernière droite et la parallèle à l'axe des ordonnées passant par (a?i, yi) s'interceptent en un point qui appartient à la cubique (2). En effet, (ce, y) représentant les coordonnées de ce dernier point, on, trouve aisément les équations
xi = a? 9 yyi = a(2a — x { \ (an — a) 2 + y\= « 2 ,
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dont résulte, par l'élimination de œi et l'équation (2). Il convient de remarquer que la construction qu'on vient d'employer est un cas particulier d'une transformation dans laquelle à chaque point y\) d'une courbe C correspond un point d'une autre courbe déterminé par l'intersection de la parallèle à une droite donnée D, menée par (a?i, 3/1), avec la parallèle à une autre droite Di, menée par le point d'intersection de D avec la tangente à C au point (x{, 3/1) ; cette transformation fut considérée par Roberval, qui a donné un théorème par lequel on peut calculer l'aire d'une des courbes considérées, quand on connait celle de l'autre, et, par ce motif, la courbe C ; fut appelée par Torricelli rohervallienne de la courbe C.
127. La valeur  de l'aire comprise entre la courbe (2), les axes des coordonnées et une parallèle à l'axe des abscisses passant par le point (0, a) peut être calculée par la formule
ou par la série
dont résulte le développement de iz écrit ci-dessus. Cette démonstration de la formule (3) est équivalente à la démonstration employée par Leibnitz pour le même but, avant l'invention du Calcul intégral; il est arrivé à la première expression de A au moyen du théorème de Roberval mentionné au n„° précédent, retrouvé par lui même, et, pour obtenir la deuxième, il a développé x en série au moyen d'une division algébrique et a appliqué ensuite le théorème pour la quadrature des paraboles qui avait été donné par Fermât, Cavalieri et Wallis.
128. La visera A2AA2 (fig. 21) est une cissoïde acnodale (n.° 30) dont l'asymptote passe par le centre C du cercle AMO. Elle a été définie par M. Peano comme le lieu des points qu'on obtient en prenant sur chacune des droites qui passent par un point mi tel que Mrai=miN. Nous pouvons ajouter que cette cubique est un antihyperholisme (n.° 118) de la versiera. En posant, en effet, dans son équation
2XY ' u a
on trouve celle-ci:
(x-la)(a» + 4Y») = la»,
ou, en faisant X — — a = Xi,
XiY2 =4(ir- x ')'
laquelle représente une versiera qui a son sommet au point A et qui a pour asymptote la perpendiculaire à OA qui passe par C.
120. La pseudo-versiera est liée à la cissoïde de Diodes par une relation simple que nous allons indiquer.
Soient G un point fixe (fig. 22) situé sur Taxe des abscisses à la distance 2a de l'origine
et KL une droite passant par le milieu du segment OC.
En posant dans l'équation de la pseudo-versiera x=2a — Xi, pour rapporter la courbe à C comme origine des coordonnées et à CO comme axe des abscisses positives, cette équation prend la forme
M ml-"--' {
P L Fig. 22
et, en faisant
se transforme dans celle-ci :
yx {
qui représente la cissoïde de Diodes.
On conclut de ce qui précède que la cissoïde de Dioclès ayant son point double à C et ayant pour asymptote la droite OY est Y antihyperholisme de la pseudo-versiera considérée par rapport au point C et à la droite KL; et, par conséquent, si M représente un point de cette cissoïde et si MP et mB sont deux droites parallèles aux axes des coordonnées, le point m, où elles se coupent, est un point de la pseudo-versiera.
130. La transformation appliquée au n.° précédent peut être aussi employée pour dériver de la pseudo-versiera le folium de Descartes.
Soit 0' un point (fig. 28) situé sur Taxe des abscisses auquel est rapportée la pseudo-versiera, à distance ~ a de l'origine 0. En faisant dans l'équation de cette courbe x = — a + œij pour prendre O f pour nouvelle origine des coordonnées, on trouve l'équation
qui, en posant
Mi/
ai/3
Fig. 23
se réduit à cette autre:
«* / Sa-2x l an ./ Sb-\/2xi ✓3 V 2a, + a /3 V è + v^^ '
où & = -^L-, ( ï u * représente le folium de Descartes (n.° 100).
Donc, le folium de Descartes ayant pour axe O'L, pour asymptote OY et pour point double ; est Y antihyperbolisme de la pseudo-versiera par rapport au point ; et à la droite KL, parallèle à OY, dont la distance à 0' est égale à al/3; et, par conséquent, si m est un point de la pseudo-versiera et si les droites mB et mP sont parallèles aux axes des coordonnées, le point M, où mP coupe O'B, est un point du folium.
131. De la pseudo-versiera on peut aussi dériver une anguinea au moyen de la transformation qu'on vient d'employer.
L'équation de la pseudo-versiera
et l'équation
2oP y {
qui représente une anguinea, montrent, en effet, que, à chaque point de la première de ces courbes, correspond un point de l'autre dont les coordonnées yi) sont liées à celles du premier par les relations
L'anguinea est donc l'antihyperbolisme de la pseudo-versiera par rapport à l'origine des coor-
données et à la droite représentée par l'équation y = ~^ ; et, par conséquent, si KL (fig. 15,
n.° 114) est la droite représentée par cette équation et m un point de la pseudo-versiera, et sj les droites ???B et mM sont parallèles aux axes des coordonnées, M est un point de l'anguinea correspondante.
132. Il convient d'approcher de la versiera la courbe qu'on obtient quand on remplace dans la construction donnée au n.° .123 le cercle par une hyperbole équilatère ayant pour axe OA (fig. 20) et pour centre le point C, c'est-à-dire par l'hyperbole dont l'équation, rapportée au point comme origine et à OA comme axe des abscisses, est
VOL. IV O
La cubique qu'on obtient de cette manière, qui est clone l'hyperbolisme de la conique mentionnée par rapport à la droite AK, a pour équation
xy^ = a? (x — a) ;
elle est formée d'une branche symétrique par rapport à Taxe des abscisses qui s'étend depuis îe point {a, 0) jusqu'aux points ( co, + ci) et qui a pour asymptotes les droites représentées par l'équation y = + a; et par deux branches situées symétriquement par rapport au même axe, qui ont pour asymptotes les droites correspondantes aux équations x = et ?/= + a, et qui s'étendent, respectivement, de (0, go) à (— go, a) et de (0," — go) à (— co, — a). La même courbe possède deux points d'inflexion imaginaires, un autre réel à l'infini, où elle est tangente à l'axe des ordonnées, et un noeud à l'infini.
La courbe qu'on vient de définir fut considérée par Huygens et Leibnitz en des lettres qu'ils se sont adressées l'un à l'autre en 1691 (Oeuvres de Huygens, t. X, p. 9 et 17), ayant été amenés à en chercher la quadrature par le problème du mouvement des graves dans un milieu résistant. Ils s'y rapportent à l'expression de son aire par un logarithme et par un série, à la série qui résulte de la comparaison de ces expressions, et à la relation de cette dernière série avec celle de Mercator. On a, en effet, A représentant l'aire comprise entre la courbe, Taxe des ordonnées et les points dont les ordonnées sont égales à et y.
et, en intégrant par séries,
d'où il résulte
y a 3 a 2 ci~\-y
2 2«3/ = -ô- lo g — 9
log JL±JL = 2 a-y
133. Avant de terminer cette doctrine, nous remarquerons encore que les équations de la versiera et de la pseudo-versiera sont des cas particuliers de l'équation
(4) xy % = b 2 (a — ce),
considérée par M. Wieleitner dans le Monatshefte fur Mathematih (t. XVIII, p. 132). La courbe représentée par cette équation est l'hyperbolisme du cercle considéré au n.° 123 par rapport à la droite dont l'équation est x=-h, comme on le voit immédiatement en posant dans l'équation xu
du cercle X = œ, Y = —~ ; elle peut donc être construite par la méthode employée au n.° 123,
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en remplaçant la droite AK (fig. 20) par une parallèle à cette droite passant par le point
De même, l'équation considérée au n.° 132 est un cas particulier de celle-ci: (5) xy 2 = b^(x — a),
qui est l'hyperbolisme de l'hyperbole équilatère mentionnée en cet endroit, par rapport à la droite qui a pour équation x=b.
En transportant l'origine des coordonnées au sommet (a, 0) de chacune des deux courbes qu'on vient de mentionner, et en rapportant ensuite ces courbes aux coordonnées polaires, ce sommet étant pris pour pôle, on obtient les équations
p 2 cos 6 sin 2 6 + ap sin 2 6 + 5 2 cos 6 = 0,
d'où il résulte qu'une droite arbitraire passant par le sommet d'une quelconque de ces cubiques rencontre la même courbe à deux autres points Ai et A2 tels que, si p', p /; et pi représentent, respectivement, les vecteurs de ces points et du point où la droite coupe l'asymptote, on a
1 1 cos k
Donc, les cubiques représentées par les équations (4) et (5) sont cissoïdales d'elles-mêmes et de leur asymptote.
Il résulte de cette proposition et du théorème démontré au n.° 21 que les tangentes à ces cubiques aux points Ai et A2 coupent V asymptote à deux points équidistants de celui où cette droite est rencontrée par la droite A1A2.
On voit aisément, au moyen de l'analyse employée au n.° 109, que les courbes dont l'équation peut être réduite à la forme (4) ? en prenant pour axes des coordonnées deux droites perpendiculaires ou obliques convenablement choisies, sont les seules cubiques dont la quadrature dépend seulement des fonctions circulaires.
Courbe de Rolle.
134. On donne le nom de courbe de Rolle à la cubique représentée par l'équation (1) " xy^ = a(y-\-xf, a>0 ;
ou
ax
ax
La forme de cette cubique peut être obtenue aisément au moyen de cette équation et de ces autres :
On voit d'abord que la courbe a un point de rebrousseraient à (fig. 24), où la tangente
forme un angle de (—45°) avec Taxe des abscisses. Au signe supérieur de l'expression de y correspond une branche OC ? où les ordonnées croissent indéfiniment, en valeur absolue, quand x varie depuis jusqu'à a, et une branche EGM, où les coordonnées sont positives, et qui s'étend x depuis (a, oo) jusqu'à ( oo, oo). Ces deux branches ont pour asymptote la droite AB, représentée par l'équation œ=a, et la deuxième branche a un point Gr. dont les coordonnées sont (4a, 4a), où l'ordonnée acquiert une valeur minime, et un point d'inflexion, dont les coordonnées sont (sa, a Au signe inférieur de l'expression de y correspond une branche OL de la courbe qui s'étend jusqu'au point ( oo, — oo) et qui coupe l'asymptote au point (a, — ^- aj . Dans cette
branche il n'existe aucun point où l'ordonnée ait un valeur maxime ou minime. L'équation de la tangente à la courbe de Rolle est
Fig. 24
et il en résulte que cette droite coupe l'axe des ordonnées à un point dont l'ordonnée a pour expression
ax
135. En appliquant à l'équation (1) la doctrine exposée au n.° 22, on voit que la cubique considérée est la cissoïdale de la parabole et de la droite représentées par les équations
?/ 2 -f- ax -f- 2ay — 0, x = a.
Il en résulte une manière de construire cette cubique et ses tangentes.
En posant dans l'équation de la même cubique x = — — , y = yi } on trouve celle-ci:
#i i/i ==(a J rx\y 2 1
et on voit donc que la courbe de Rolie est Vantihyperbolisme de l'hyperbole représentée par cette équation, par rapport à la droite y = a. On peut donc construire la même cubique et ses tangentes au moyen de cette conique.
136. L'aire comprise entre la courbe de Rolle, l'axe des abscisses et les parallèles à l'axe des ordonnées menées par les points dont les abscisses sont égales à x et sci, est déterminée par la formule
a log — ~=r
137. L'équation (1), qu'on vient de considérer, est un cas particulier de celle-ci :
xy^ = a [y — mx)^,
étudiée par M. Elgé dans une Note Sur la courbe de Rolle insérée au Journal de Mathématiques spéciales (1896, p. 32). Cette courbe est la cissoïdale de la droite x = a et de la parabole
y^ + am (mx — 2 y) = ; elle est aussi l'hyperbolisme de la conique
x\ y\ — (a — mx[) % ,
par rapport à la droite y = a.
La cubique mixte.
