La courbe définie par l'équation

■■ ax* -

a été nommée cubique mixte par G. de Longchamps clans son Essai sur la Géométrie de la règle et de Véquerre (Paris, 1890, p. 116). La forme de cette cubique peut être obtenue aisément au moyen des expressions

Ab — x

x -h ±(x-bf

Si a>0 et &>0, la cubique a la forme indiquée dans la figure 25. Elle a une asymptote AB, dont l'équation est x = b; et deux autres, parallèles à l'axe des abscisses, à l'infini; chaque branche de la courbe a donc la forme hyperbolique à l'une des extrémités et la forme parabolique à l'autre. Les ordonnées passent par une valeur maxime et minime aux points B et D, dont les coordonnées sont (2b, +2 \/ ab). La même cubique a deux points d'inflexion E et F, dont les coordonnées sont ^46, ^-s/'dab^J, un autre à l'infini, et un point isolé à l'origine 0.

Si a < et b > 0, la courbe a la forme indiquée dans la figure 26. Les points où l'or-

Fig. 25

Fig. 26

donnée est maxime et minime et les points d'inflexion situés à distance finie sont alors imaginaires, et, au lieu d'un point isolé, elle a un noeud à l'origine.

Quand on a a < et b < 7 ou a>0 et &<0, la cubique a la même forme que clans les cas précédents.

139. En appliquant la doctrine du n.° 22, on voit que la cubique mixte est la cissoïdale de la droite et de la parabole représentées par les équations

x = b, y- = — ax.

On peut donc construire la courbe considérée et ses tangentes au moyen de cette parabole. xy

En faisant x — ~ , y = Y, on voit aussi que la cubique considérée est un antihyperbo-

lisme de la conique représentée par l'équation

XY = X* + a5;

on peut donc construire encore la même cubique et ses tangentes au moyen de cette conique (n.° 114).

I40« La rectification de la cubique qu'on vient d'étudier dépend des intégrales elliptiques. En effet, en posant y = tx ; cette courbe peut être représentée par les équations

■bfi

■ht*.

et on a

ds = - 3 - \/b* i 6 — 2abt k -+ ak* + 4a 2 dt,

et par suite, en posant t^ = z ?

b*z-2ab-

ds = 4 . - Z — - — — dz.

* \/b* z' d — 2abz* + ciH -f 4a*

Mais

4a 2 dz

WF(z)

VF (s)

a 2 dz b l dz

Donc

F (z) = Wz*- 2abz* + cfiz H- 4a 2 .

En faisant maintenant

z = u + h, h = -—~i = \/4it 3 — giu — g<z,

l'expression de ds prend encore la forme

udu f 4 1 ,\ à a 2 du b / Ait

rfs = 6 ~ VT a ~ T 7 "AIT + ~2T ' '(« + h) A« ~ T rf \m+V '

Donc, la rectification de la cubique mixte dépend des intégrales elliptiques de première, deuxième et troisième espèce

c?w /* udu du

\/4u 3 — giu—g% J \/4u d — giu — g% (u + h) [/4u 3 — giu — g%

qui ont la forme normale adoptée par Weierstrass.

141. La cubique qu'on vient de considérer n'est pas la seule qui ait des branches de forme parabolique à l'une des extrémités et hyperbolique à l'autre. Cette propriété appartient aussi au trident, comme on a vu au n.° 119; et les cubiques exprimées par l'équation

xy* -f- ey = bx* -\-cx-\-d

jouissent de la même propriété en quelques cas que nous allons déterminer. En résolvant, pour cela, cette équation par rapport à x on voit aisément que la courbe correspondante est formée par deux branches infinies de forme parabolique à l'une des extrémités et hyperbolique à l'autre et par un ovale, quand les racines de l'équation

(f~-cY + 4b(ey-d) =

sont réelles et inégales, et que l'ovale disparaît mais les branches infinies subsistent, quand deux des racines deviennent imaginaires. Si toutes ces racines sont imaginaires, la courbe a encore deux branches infinies, mais l'une a la forme parabolique et l'autre la forme hyperbolique aux deux extrémités. Si cette équation a deux racines égales, la cubique est unicursale et on en peut réduire l'équation à la forme

xy 1 = Ma? 2 + Vxy + Q?/ 2 ,

par laquelle on voit que la courbe a encore dans ce cas deux branches hyperboliques à Tune des extrémités et paraboliques à l'autre.

Nous nous arrêterons un moment sur la courbe représentée par cette dernière équation, pour faire les remarques suivantes. Cette courbe est la cissoïdale (n.° 22) de la parabole et de la droite correspondantes aux équations

if + llx + Vy = 0, x = Q;

elle est aussi un antihyperbolisme de la conique ayant pour équation

xy = Mx 9 - + Psc + Q.

Si P = 0, elle possède un diamètre et coïncide avec Tune des solutions du problème étudié au n.° 109; et, si les axes des coordonnées sont orthogonaux, elle a un axe et coïncide avec la cubique étudiée ci-dessus.

Le folium parabolique. Les paraboles divergentes unieursales.

142. On a donné le nom de folium parabolique à la cubique représentée par l'équation (G. de Longchamps : Essai sur la Géométrie de la règle et de Véquerre, Paris, 1890, p. 120):

(1) x 3 — a (a? 2 — y 2 ) — bxy = 0.

Quand 5 = 0, cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des abscisses, et elle est nommée folium droit; quand b est différent de 0, elle est nommée folium oblique. En mettant l'équation précédente sous la forme

et en tenant compte de l'égalité

il = x ?

, b . 6 2 — 6ax 4- 4a 2

on voit que la courbe a la forme indiquée dans la figure 27. Elle est formée d'une seule VOL. IV P

branche, qui s'étend jusqu'à l'infini en deux sens différents, et elle n'a pas d'asymptotes à

distance finie. Elle a un noeud à l'origine 0, et ses tangentes à ce point sont déterminées par la formule

laquelle fait voir que ces droites se coupent orthogonalement. L'abscisse du point A, où la cubique coupe OX, est égale à a, et l'ordonnée AD du point D, correspondra 27 dant à cette même abscisse, est égale à b.

Les coordonnées du point B, où la tangente est parallèle à l'axe des ordonnées, sont données par les équations

143. Le folium parabolique est une cubique unicuvhale. En posant dans l'équation de cette cubique y = tx 1 on trouve ces autres:

x = a(l—ï 2 ) + bt, y = a(l — t*)t + lt*,

qui déterminent les coordonnées des points de la même courbe en fonction du paramètre t 9 et qui donnent

dy 3 ai 2 — 2bt — a dx 2at — b

On voit donc que la cubique considérée a deux points et E où l'ordonnée passe par une valeur maxime et minime, et que les coordonnées de ces points correspondent aux valeurs de t suivantes :

Les coordonnées du point B, que nous avons déjà déterminées, correspondent à £ = — < Le rayon de courbure de la cubique au point t est donné par la formule

[9a 2 <* - 1 2abfi - 2 (a 2 - 2¥) fi + a 2 + 5 2 ] 2 2(3a 2 £ 2 -3afo + a 2 + ^)

au moyen de laquelle on voit que cette courbe a deux points d'inflexion imag'naires à distance finie.

144. La cubique qu'on vient de considérer peut être construite par une méthode très simple que nous allons indiquer (Gr. de Longchamps, 1. c).

Soit OABC (fig. 28) un rectangle dont les côtés OA et OC sont égaux à a et b. En menant par le point la droite arbitraire OD, par D la perpendiculaire DE à cette droite, ensuite par E la perpendiculaire EF à DE, et enfin par F la perpendiculaire FM y1\ à OD, on obtient le point M, qui appartient à la cubique

3\ & \e considérée.

s \i En effet, en représentant par 6 et p les coordonnées

| F polaires MO A et OM du point M, on a les relations

FifJ ' 28 OD = — -, DB = DA — B A = a tang 6 - b :

cos

MD = FE = DE tang 6 = ^ tang 6 = at ^ 6 ~ b tang g

COSt/ cos0 07

p = OM = OD-MD,

d'où il résulte l'équation suivante:

a a tans; 6 — b

P = n — « tang 0,

1 cos0 cosfl 8 '

qui coïncide avec l'équation qu'on obtient en posant dans l'équation cartésienne du folium considéré x = p cos 0, y = p sin 0.

145. Prenons sur la droite OD (fig. 28) un point M' symétrique de M par rapport à D; on a, en représentant par (pi, d), les coordonnées polaires de M',

, ^n-x a , «tang# — b

pi - OD +MD = + tang 0.

k cos cos

On vient d'obtenir l'équation polaire du lieu décrit par M', quand M parcourt la courbe (1); l'équation cartésienne du même lieu est donc

(2) x* — a (x 2 + if) + bxy = 0.

Cette dernière courbe est formée, comme celle qui précède, d'une branche de forme parabolique aux deux extrémités, et a une boucle lorsque & 2 >4a 2 , un point isolé quand b" 2 < 4a 2 , un point de rebroussement quand 6 â = 4« 2 . Dans le premier cas, la somme des angles formés

par les tangentes au noeud avec l'axe des abscisses est égale à — •

Si 6 = 0, on a la courbe employée par Gr. de Longchamps (1. c, p. 93) pour résoudre le problème de la duplication du cube ; en effet, si l'on coupe cette courbe par le cercle défini par l'équation

on obtient deux points réels dont l'abscisse satisfait à la condition a? 3 = 2a 3 . L'équation polaire de la même cubique est pcos 3 = a; donc cette courbe appartient à la classe des courbes nommées par M. Haton de la Goupillière spirales sinusoïdes, lesquelles seront étudiées plus loin.

146, Les cubiques qu'on vient de considérer ne sont pas les seules qui aient une branche unique de forme parabolique aux deux extrémités avec une boucle. Cette propriété appartient à toutes les paraboles divergentes à noeud, c'est-à-dire aux cubiques correspondantes à l'équation (n.° 108)

ou, en coordonnées orthogonales,

(3) x*=Mx*+Fxy+Q,if,

quand h>0 ou P 2 > 4MQ. L'angle co formé par les tangentes à ces cubiques à leur noeud est alors déterminé par l'équation

p + t/p*4MQ ta °g ffla 2Q

d'où il résulte que le folium parabolique particulier considéré précédemment est le seul où ces tangentes sont perpendiculaires l'une à l'autre.

Quand P 2 = 4MQ ou P- < 4MQ, les cubiques représentées par l'équation précédente ont encore une branche infinie de forme parabolique aux deux extrémités, mais, au lieu dune boucle, elles ont alors un point de rebroussement ou un point isolé.

En posant en (3)

on obtient l'équation

o?x { = Ma* + Payi + ;

les cubiques qu'on vient de considérer sont donc les antihyperbolism.es des paraboles représentées par cette équation, par rapport à la droite x=a.

L'équation (3) représente les paraboles divergentes unicursales. En remarquant que cette

équation peut être réduite à la forme :

x 3 — a (a, 2 ip k % y-) IJI bxy = 0,

on voit que à toute parabole divergente unicursale correspond une autre, représentée par une équation de la forme (1) ou (2), telle que les deux cubiques sont affines. Il résulte de cette relation une méthode pour construire aisément ces paraboles.

Les paraboles divergentes droites.

147. Les cubiques représentées par l'équation (1) y® == ax 3 + bx^ + cx +

rapportée à des axes orthogonaux, sont comprises entre les cubiques nommées (n.° 108) paraboles divergentes par Newton dans son Enumeratio linearwn tertii ordinis, et sont dites paraboles divergentes droites. Ces courbes jouent un rôle très important dans la théorie générale des cubiques, à cause de ce beau théorème, donné par le grand géomètre dans l'ouvrage cité: l'équation (1) peut représenter la perspective de toutes les cubiques.

On ne sait pas quelle voie a été suivie par Newton pour obtenir cette intéressante propriété, car il n'en a pas publié la démonstration. Cette démonstration a été donnée plus tard par Clairaut et ensuite par Nicole, en 1731, dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris.

Le théorème qu'on vient d'énoncer équivaut à cet autre, que nous allons démontrer d'abord: A toute cubique correspond une parabole divergente droite qui en dérive par une transformation homo graphique.

Pour démontrer cette proposition, remarquons d'abord que toute cubique a un point d'inflexion réel, au moins, à distance finie ou à l'infini. On voit cela immédiatement au moyen de la formule de Pliicker

où m représente l'ordre de la courbe, d le nombre de ses noeuds, v le nombre des points de rebroussement et t le nombre des points d'inflexion, laquelle fait voir que, dans le cas des cubiques, le nombre des points d'inflexion est impair, et que, par conséquent, un de ces points, au moins, est réel.

Cela posé, considérons une cubique quelconque (C), représentée par l'équation F (X, Y)=0,

et, dans le plan de cette cubique, un triangle dont les côtés A, À' et À 7 soient formés par une droite tangente à la cubique à un point d'inflexion réel M, par une autre droite de direction arbitraire passant par ce même point, et par une troisième droite dont nous déterminerons ensuite la position. En désignant par (X, Y) les coordonnées d'un point quelconque de la courbe considérée et par 21, x\ et yi les distances respectives de ce point aux côtés A, À' et À /; du triangle mentionné, c'est-à-dire les coordonnées trilinéaires du point (X, Y), rapportées à ce triangle, on a

Xi = ai X + 61 Y + ci, y\ =•■ a% X + b% Y + C2, z\ = ctQ X -f 63 Y+ C3,

où ai, b{ 7 ci, «2, c-2, #3, &3, C3 représentent des quantités indépendantes de X et Y, mais dépendantes des paramètres des droites A, A' et A ;/ , dont les expressions, indiquées aux traités de Géométrie analytique, nous n'écrirons pas ici.

En substituant dans l'équation de la cubique considérée les valeurs de X et Y qui résultent des équations qu'on obtient en divisant, membre à membre, les deux premières équations précédentes par la dernière, il vient une équation homogène par rapport à #4, yi et 21, du troisième degré, qui est l'équation de la courbe considérée en coordonnées trilinéaires, et dont nous allons déterminer la forme. Pour cela, remarquons que la droite A rencontre la cubique en trois points coïncidant avec l'intersection de A et A', dont les distances à A' sont par conséquent nulles; et que par suite l'équation en coordonnés trilinéaires de la cubique doit donner pour Xi trois valeurs égales à zéro, quand z\ = 0. Cette équation doit donc avoir la forme

ax\ = z\ (kx\ + Eœi^i + Gz\) -f y {Zi (yi + Dxi + Fzi). Remarquons maintenant que, en appliquant l'équation

qui représente la polaire du point (a? , y , z Q ) par rapport à la courbe f (xi, y\, 21) = 0, et en supposant que ce point coïncide avec l'intersection des droites A et A ; , où x = etz = 0, on obtient l'équation

y zi (2yi + Bxi + ¥z { ) = 0,

d'où il résulte que cette polaire est formée par les droites représentées par les équations Z{ = et 2y{ -f Dxi -f Fzi = 0, dont la première est tangente à la cubique et la deuxième a été nommée par Salmon polaire harmonique du point d'inflexion considéré.

Cette dernière équation doit se réduire à yi === 0, si l'on complète la détermination du triangle de référence de manière que A" coïncide avec cette polaire; et on a alors D = et F = 0.

Il résulte de tout ce qui précède que, si l'on choisit les droites qui forment le triangle de

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référence comme Ton vient de voir, l'équation de la cubique considérée prend la forme

(2) ax\ + bx\ Zi + cxi z\ -j- dz\ = y\z{.

En posant maintenant

X{ aiX + 6iY + cj y\ a^X + iâY + Câ

si a 3 X + 6 3 Y + c 3 ? ^ 21 a 3 X + 6 3 Y+c 3

et en remarquant que l'équation (2) se réduit à l'équation (1) quand on remplace dans la première — par x et par y, on conclut que, à chaque point (X, Y) de la cubique (C)

Zi Z\

correspond un point (ce, y) d'une des cubiques représentées par l'équation (1) dont les coordonnées sont liées à celles du premier point par les relations (3), c'est-à-dire par les relations .qui définissent la transformation homo graphique.

Si le point d'inflexion par lequel passe A est à l'infini, il faut modifier cette démonstration. Alors, si l'on suppose que l'équation de la cubique (C) est Fi(Xi, Yi) = 0, on doit y faire 1 Y

(n.° 85) Xi=-^- et Yi = - v -, ou, si l'asymptote qui passe par ce point est parallèle à Taxe

des ordonnées, Yi = ^ , Xi=-^. On obtient ainsi une transformée qui a un point d'inflexion réel à distance finie et à laquelle on peut appliquer la doctrine précédente. En éliminant enfin X et Y entre les équations précédentes et les équations (3), on obtient les relations qui lient x et y avec Xi et Yi, lesquelles ont encore la forme qui définit les transformations homographiques.

148. Pour compléter la démonstration du théorème de Newton, nous allons entrer quelques moments dans le domaine de la Géométrie générale, pour établir la proposition suivante : toute transformée homo graphique d'une courbe représente une perspective de la même courbe.

Considérons deux courbes (C) et (C) telles que les coordonnées (a?, y) et (X, Y) de ses points soient liées par les relations

aX + bY + c a'X + b'Y + c 1

""X+pY + q 1 V ' X+pY + q '

et remarquons d'abord que ces relations peuvent être mises sous la forme suivante :

"X cos a — Y sin a-\-h 1 . X+pY + q + * J '

"X sin a + Y cos a-\-k

X+pY + q

En effet, les conditions pour l'identité de ces formules et des précédentes sont

(a) (3 (cos oc + oo ) = a , [3 (p x q — sin oc ) = h ,

(b) p (sin a + y Q ) = a', |B (jpjr + cos a) = 6',

Or les quatre premières donnent les relations

ap — b = (3 cos oc + sin oc), a'jt? — 6' = |3 (jp sin oc — - cos a),

qui déterminent a et (3 ; ensuite les équations (a) ou (&) déterminent œ et ?/ , et enfin 1 équations (c) donnent les valeurs de h et

Cela posé, je change les axes auxquels la courbe (C') est rapportée, en posant

h + X cos a — Y sin a = Xi h + X sin a + Y cos a = Yi ,

et je trouve des expressions de la forme

a / Xi + 6 / Yi + c / 1 uv * a / Xi+èTi+c / Posons encore

a' = X cos ai, &'=)isinai ? c r = ke,

Xs = Xi cos ai + Yi sin ai + e } Y2 = Yi cos a j — Xi sin ol\ , ce qui correspond à un second changement d'axes pour (C f ). On trouve

(Xg — e) cos ai — Y^sinaj

(X2 — e) sin ot{ + Y2 cos ai , ,

Changeons maintenant les axes auxquels la courbe (C) est rapportée, en faisant

, . cos ai

x = œo + — x% cos ai — m sin ai,

, . sin ai .

y = yo + — ^2 sm ai + ^2 cos ai ;

il vient

Fig. 29

sur l'axe OZ2 et qui passe par la courbe (0), située au plan x%0 , y^ et supposons que A est un point de cette courbe, que B est le point où la génératrice PA du cône coupe le plan X2 que O'C est égal à OP, que Q'x% et KL sont parallèles à OZ2 et que O'yz et BD sont parallèles à OY2. On a