AL BL CD BD OD
T ~~ BO ~ OD ? LC ~~ 00 '
et par conséquent, en représentant par x% et y% les coordonnées AK et LC du point A par rapport aux axes 0'œ% et 0'?/2, et par X2 et Y2 les coordonnées OD et BD du point B par
rapport aux axes OX2 et OY2, et en posant OP = e et OC = -r- ?
e Aâ y%
Ces équations coïncident avec les équations (4) ? et, par conséquent, la courbe qui résulte de l'intersection du cône considéré avec le plan X2 Y2 coïncide avec (C').
VOL. IV Q
La transformation définie par les équations (4) a été considérée déjà au n 85. Elle fut donnée par Newton dans le lemme xxn du livre I des Principia mathematica. La transformation définie par les équatious (2) fut indiquée par Waring dans sa Miscellanea analytica. On vient de voir que cette dernière transformation est équivalente à une transformation de Newton et à des changements des axes des coordonnées auxquels sont rapportées les deux courbes. Cette proposition a été établie par Chasles dans son important Mémoire sur deux principes généraux de la science: la dualité et l'homographie, où les transformations homographiques sont étudiées d'une manière profonde. Nous venons d'employer, pour démontrer la même proposition, une méthode très élémentaire que nous avons publiée au volume correspondant à 1906 du Mathesis.
149. Pour étudier les courbes représentées par l'équation (1), nous transporterons d'abord
l'origine des coordonnées au point (—77-, oV en réduisant ainsi l'équation de ces cubiques
r 1 n \ z>a J a la forme
(5) y^ = ax 3 + ex -\- d.
Pour déterminer la forme des courbes représentées par cette équation, nous allons considérer divers cas, en supposant, pour fixer les idées, que a > 0. On peut toutefois remarquer déjà que, en tous les cas, l'axe des abscisses est un axe de la cubique, et que la courbe n'a pas d'asymptotes à distance finie.
l.° Supposons que les racines oc, p et y de l'équation
soient réelles et inégales et que a > [3 > y.
La courbe coupe alors Taxe des abscisses en trois points (fia. 30) A, B et G, dont les y| abscisses sont égales à a, [3 et (, et l'ordonnée y est
/ réelle et croît indéfiniment avec x quand x > a, est
ax 3 -\~ ex ~{- d =
imaginaire quand x est comprise entre a et [3, est réelle et finie quand x est comprise entre [3 et 7, et est imaginaire quand x < 7 . Donc, la courbe est formée par un ovale CLBM et par une branche infinie NAP.
On voit au moyen de l'équation
3ax^ -f c
/•»/. so
que les tangentes aux points A, B et C sont perpendiculaires à l'axe de la courbe, et que
les abscisses des points où la tangente est parallèle à cette axe sont données par l'équation,
3acc 2 -j- c == 0,
qui, en vertu du théorème de Eolle, doit avoir une racine entre P et a, à laquelle correspond une valeur imaginaire de y, et une autre entre p et y, à laquelle correspondent les points L et M de la courbe.
Remarquons encore que, en mettant l'équation de la cubique sous la forme
on trouve
a[3cc 2 -2.(a+p + T )^ + aP + ar+p T ]
et que par conséquent l'abscisse des points L et M vérifie l'équation
3cc 2 — 2 (a + p + T ) x + aP + ay + py = 0.
En remplaçant au premier membre de cette équation x par y et ensuite par ~ (p -f- y), on
obtient des résultats de signes contraires, ce qui indique que les points L et M se projettent sur l'axe de la cubique à un point compris entre le milieu U de CB et le sommet C.
