Si P = y, et par suite

y* = a (x — ce) (x — P) 2 ,

y est réelle quand x > a. Alors la courbe est aussi unicursale, et a un point isolé B, dont les coordonnées sont (P, 0), et une branche infinie NAP (fig. 32).

4. ° Si les racines a et p sont imaginaires, on a, en posant a = p J r iq et P=^p — ^?

y^ = al(x — i?) 2 +î a ] 0* — ï).

La cubique a alors une branche infinie semblable à la branche infinie de la figure 30, et n'a pas de point double. Cette branche passe par le point (j, 0).

Fig. 31

Fig. 32

Fig. 33

5.° Si a=jj = f> la cubique a la forme indiquée dans la figure 33, comme on le voit au moyen des équations

Elle a dans ce cas un point de rebroussement, dont les coordonnées sont (a, 0). La courbe est alors nommée parabole semi-cubique et sera retrouvée et étudiée plus tard, quand nous nous occuperons des paraboles.

150. Les paraboles divergentes à noeud furent nommées cubiques de Tschirnhausen par M. Archibald, dans sa Dissertation sur la cardioïde (Strasbourg, 1900), pour avoir été rencontrées par l'inventeur de la théorie des caustiques comme solution du problème suivant : déterminer les caustiques par réflexion dans une parabole des rayons lumineux perpendiculaires à l'axe (Acta eruditorum, 1690, p. 63). Ce problème, considéré aussi par Jean Bernoulli (Opéra, t. ni, p. 471) et par L'Hospital (Analyse des infiniment petits, 1696, p. 109), peut être résolu de la manière suivante.

Considérons la parabole représentée par l'équation

2/ 2 = 2 p(^ + yP) 5

le foyer étant l'origine des coordonnées, et prenons sur cette courbe un point quelconque (a?, y) ; ensuite menons par ce point un droite D formant avec la normale à la parabole au

même point un angle égal à celui que cette normale forme avec l'axe des ordonnées. L'équation de la droite D est

ou, en tenant compte de l'équation de la parabole,

AphjY + 2 P (f -p*) X = Uf ;

et l'enveloppe des positions qu'elle prend, quand y varie, est déterminée par cette équation et par cette autre :

+jpy^ = y (y^ +jp 2 )

qui donnent

(7) "x-Vz*', Y = ^ppl.

v 7 2p 2jp À

Ces équations déterminent les coordonnées des points de l'enveloppe considérée, et par suite de la caustique mentionnée ci-dessus, en fonction du paramètre y, et font voir que cette courbe est unicursale. En éliminant maintenant y entre ces équations, on obtient enfin l'équation cartésienne de la même courbe, à savoir:

La caustique considérée est donc une parabole divergente, tangente à la parabole donnée à son sommet et ayant un noeud au point (4jp, 0). En mettant cette équation sous la forme

on voit aisément, en tenant compte de la relation

cos 6 = 4 cos 3 — — 3 cos — ?

que l'équation polaire de la cubique considérée est

2p cos 3 — = —p ; o

cette cubique appartient donc à la classe des courbes désignées par le nom de spirales sinusoïdes, laquelle sera étudiée plus loin.

On voit encore aisément, au moyen des formules (7), que la podaire de la cubique qu'on vient de considérer, par rapport au foyer de la parabole donnée, est cette même parabole.

151. Nous allons nous occuper maintenant de la détermination des points d'inflexion des paraboles divergentes, et, pour cela, nous considérerons d'abord celles qui ne sont pas unicur sales.

En formant l'équation y' 1 = 0, on voit que chacune de ces cubiques a huit points d'inflexion à distance finie, dont les abscisses sont déterminées par l'équation

(8) (3ax% + cf - 1 2 ax (ax* + ex + d) = 0,

et dont les ordonnées sont déterminées par l'équation (5). Elle a, en outre, un point d'inflexion à l'infini. Nous allons démontrer que deux des premiers points sont réels et que les autres six sont imaginaires.

En posant, pour cela, x= a et x-=co dans l'équation (8), on trouve des résultats de signes contraires, ce qui fait voir que, dans l'intervalle compris entre a et co, existe une valeur réelle de x qui satisfait à cette équation; à cette valeur de x correspondent par suite deux points d'inflexion réels N et P de la courbe (fig. 30 et 32).

En posant dans la même équation x = ^ et x = — oc, on voit qu'elle a une racine réelle entre ces deux nombres ; mais à cette racine correspondent deux points d'inflexion imaginaires, car y est imaginaire dans l'intervalle de x = ^ à x = — œ.

Les autres racines sont imaginaires, comme on le voit aisément en formant le discriminant de l'équation, et en remarquant que ce discriminant est négatif.

Donc, les paraboles divergentes non unicursales ont trois points d'inflexion réels et six imaginaires.

Considérons maintenant le cas où la cubique proposée est unicursale. Alors, comme les coordonnées du point double de la courbe satisfont aux équations

y=-0j 3ra 2 +c — 0,

l'équation (8) est satisfaite non seulement par les abscisses des points d'inflexion, mais encore par l'abscisse du point double. Mais on peut clans ce cas obtenir aisément une équation qui donne immédiatement les abscisses des premiers points, comme on va voir. l.° Supposons qu'on ait a=P, et par suite

Alors l'équation

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fait voir que la cubique considérée a un point d'inflexion à l'infini et deux à distance finie, dont les coordonnées sont données par les équations

En remarquant maintenant que gc>y, on conclut que les paraboles divergentes à noeud (crunodales) ont deux points d 1 inflexion imaginaires à distance finie et un réel à V infini.

2. ° Si P = Y? 011 a 5 P our déterminer les points d'inflexion, l'équation x = co et les équations suivantes :

dont il résulte que les paraboles divergentes à point isolé (acnodales) ont deux points d'inflexion réels à distance finie et un autre à l'infini.