Si a = p = y, on a
4 (as — df 1
Les paraboles divergentes à point de rebroussement (cuspidales) ont donc un seul point d'inflexion, qui est situé à l'infini.
152. En passant maintenant à l'étude de la disposition des points d'inflexion des paraboles divergentes, nous allons démontrer le théorème suivant:
La droite qui passe par deux points d'inflexion d'une parabole divergente coupe cette courbe à un troisième point d'inflexion.
Mettons l'équation (8) sous la forme
(9) x i + 2 — x* + ± — x-4^=°i v 7 a a ôa A
et représentons par ai, ag, #3 et a4 ses racines.
La condition pour que la droite correspondante à l'équation
y = Ax + B
passe par trois points de la cubique ayant pour abscisses a-2, «3 et «4, c'est que ces nombres vérifient l'équation
(10) aœ3 — A*œ a + (c — 2AB)a.+ <Z — B a -=0,
d c 2 , x / A 2 . . c-2AB , d — B*
as* ■ a? -f~ ■
et que, par conséquent, on ait, quelle que soit la valeur de a?,
Cette condition est donc exprimée par les relations
A 2 = - aa h c = — 2AB — aaj, 3cZ = - B 2 - cai + 2ai AB, c 2 = 3aa A (<Z - B 2 ).
Mais, en éliminant A et B de la deuxième de ces équations au moyen de la première et de la quatrième, on trouve
aî + 2-aî + 4-«,— £- = 0, a a ôa À
résultat qui coïncide avec celui qu'on obtient en éliminant AB et B 2 de la troisième au moyen de la deuxième et de la dernière ; cette égalité représente donc la condition pour que trois des points dont les abscisses sont a^, a% et a& soient situés sur la droite considérée.
Pour achever la démonstration du théorème énoncé, il suffit de remarquer que ai vérifie, par hypothèse, l'équation (9) et que le résultat qu'on vient d'obtenir coïncide avec celui qu'on trouve quand on remplace dans cette équation x par ai. Les six points de la cubique ayant pour abscisses «2, a% et go, sont donc situés sur deux droites dont les paramètres A et B sont déterminés par deux des équations écrites ci-dessus.
La démonstration précédente n'est pas applicable aux droites parallèles à l'axe des ordonnées passant par deux points d'inflexion. Mais il suffit de remarquer que ces droites coupent la cubique au point d'inflexion situé à l'infini, pour conclure que le théorème énoncé a encore lieu.
Les équations des droites qui lient les point d'inflexion de la courbe considérée trois à trois sont
œ=|A, ± 2 sj — a\Ly-\- 2a\ix-{- c -f a\i 2 — 0,
où (JL = ai, as, «3 et 0C4. Le nombre de ces droites est donc égal à 12. Deux des droites représentées par la première équation, correspondantes aux deux racines réelles, l'une positive et l'autre négative, de (9), et deux des droites représentées par la deuxième équation, correspondantes à la racine négative de (9), sont réelles; les autres sont imaginaires. Les droites passant par l'un ou l'autre des points où l'abscisse est, par exemple, égale à ai, sont déterminées par les équations qu'on obtient en remplaçant \i par ai dans la première des équations précédentes et par ccg, a3 et dans la deuxième; donc, par chaque point d'inflexion passent 4 droites, dont deux sont réelles quand ce point est réel. Les trois points d'inflexion réels sont situés sur la même droite.
153. On peut étudier au moyen des paraboles divergentes la nature et la disposition des
Hosted by
Goo
points d'inflexion de toutes les cubiques, en se fondant sur le théorème de Newton énoncé plus haut et sur les propriétés de la transformation homographique. On trouve ainsi que les cubiques non unicursales possèdent trois points d'inflexion réels et six imaginaires, et que les cubiques à noeud, à point isole et à point de rehaussement possèdent, respectivement, trois points d'inflexion réels, un point d'inflexion réel et deux imaginaires, un point d'inflexion réel.
Aux théorèmes sur Ja disposition de ces points dans les paraboles divergentes correspondent les propriétés suivantes de toutes les cubiques :
Les points d'inflexion des cubiques non unicursales sont situés, trois à trois, sur douze droites, quatre réelles et huit imaginaire?. Par chacun de ces points passent quatre de ces droites, dont deux sont réelles quand le point est réel. Les trois points d'inflexion réels sont situés sur la même droite.
Les trois points d'inflexion d'une cubique à noeud ou à point isolé sont situés sur une même droite.
L'étude de la disposition des points d'inflexion des cubiques a été ouverte par De Gua en 1740 dans l'ouvrage intitulé: Usage de l'Analyse de Descartes, où il a démontré que, si une droite passe par deux points d'inflexion réels, elle rencontre la cubique à un troisième point d'inflexion réel. Cette proposition a été retrouvée par Maclaurin, qui l'a énoncée en 1748 dans l'ouvrage intitulé : De Unearum geometricarum proprietatibus gmeralibus tractatus.
154. L'étude de la théorie générale des cubiques n'entre pas dans notre plan; toutefois, pour qu'on évalue l'importance du rôle que les paraboles divergentes jouent dans cette étude, nous allons indiquer encore quelques autres théorèmes importants de la même théorie qu'on déduit ; au moyen des propriétés de la transformation homographique, de quelques propriétés évidentes des paraboles considérées. Pour cela, remarquons d'abord: 1.° que le point d'inflexion que la parabole (5) possède à l'infini correspond au point d'inflexion M de la cubique représentée par l'équation (2), considéré au n.° 147, puisque les formules (3) donnent x = oo et y =oo quand zi = ; 2.° que l'axe de cette parabole correspond à la polaire harmonique de ce point, car on a y = quand yi = 0] 3.° que les droites perpendiculaires à l'axe de la même parabole correspondent aux droites passant par le point M de la cubique (2).
Cela posé, nous pouvons énoncer les théorèmes suivants :
1. ° Les tangentes à une cubique aux deux points A et B où elle est coupée par une droite passant par un point d'inflexion M coupent la polaire harmonique à un même point.
Ce théorème correspond à cette propriété évidente des paraboles divergentes: les tangentes aux extrémités d'une *corde perpendiculaire à son axe coupent cet axe au même point.
2. ° Les droites joignant deux à deux les points d'intersection d'une cubique avec deux cordes issues d'un point d'inflexion M se coupent à deux nouveaux points situés sur la polaire harmonique.
Ce théorème correspond à la propriété dont jouissent évidemment les quatre droites qui passent par les extrémités des cordes perpendiculaires à l'axe d'une parabole divergente, de se couper à deux points de cet axe.
VOL. IV R
3. ° Les polaires harmoniques de M et de deux autres points d'inflexion situés sur une droite passant par M s interceptent à un même point.
En effet, les polaires harmoniques de deux points d'inflexion d'une parabole divergente symétriquement situés par rapport à son axe coupent évidemment cet axe, c'est-à-dire la polaire harmonique du point d'inflexion situé à l'infini, à un même point; or, les polaires harmoniques de la cubique (2) mentionées sont les transformées de ces droites.
4. ° Les coniques oscidairices dune cubique aux points non singuliers ou elle est coupée par la polaire harmonique de M, ont un contact du cinquième ordre avec cette courbe.
En effet, le contact d'une cubique avec la conique osculatrice est, en générale, du quatrième ordre et ne peut pas être d'ordre supérieur au cinquième; or, aux sommets des paraboles divergentes ce contact est du cinquième ordre, et à ces points correspondent les points mentionnés dans la proposition énoncée.
155. La quadrature de l'aire comprise entre un arc d'une parabole divergente, l'axe des abscisses et deux parallèles à Taxe des ordonnées dépend, dans les cases 2.° et 3.° (n.° 149), des intégrales
f (x — a) (x — y) dx, f(x — d) [x — [3) dx,
qui sont égales aux quantités
dans le premier de ces cas l'aire A de la boucle est déterminée par la formule
Mais, si la cubique n'est pas unicursale, la quadrature de l'aire considérée dépend des intégrales elliptiques, comme on le va voir.
En effet, on a
A = f y dx = f \/ ax' d + cx-\-d. dx,
ou, en posant gi = — 4 — , g<2 = — 4 — >
Mais
1 f I2x* — ?>g { x-3gî S J t/4ce 3 — q\x—q%
ou, en faisant
Si Ton remarque maintenant qu'on a, en intégrant par parties,
f x^Jp\dx = 2x \/¥(x)-2 f \/¥(x)dx, u Jb \xj j
on trouve
f /F (x)dx = ^-x \/F(œ) — -§-f l/F (xj dx — \-Q\ Ç-^^ — g* f - > et par conséquent
J 5 ^ J \/F(x) 5 * J t/F (ce)
On voit donc que A dépend de deux intégrales elliptiques, Vune de première et Vautre de deuxième ordre, auxquelles on vient de donner la forme normale adoptée par Weierstrass. Quand c = ou d = 0, l'une de ces intégrales disparaît.
156. Quand la parabole divergente considérée n'est pas unicursale, on peut exprimer ses coordonnées (a?, y) par des fonctions elliptiques d'un paramètre u. En réduisant alors l'équation (5) à la forme
et en employant la fonction p (u) de Weierstrass, on trouve (11) sc = pw, y = -ïr^ a v' u *
En partant de cette représentation des coordonnées des paraboles divergentes non unicursales, on peut construire la théorie de ces courbes par une méthode très ingénieuse, inventée par Clebesch (Léçons sur la Géométrie, tome u), basée principalement sur le théorème suivant de la théorie des fonctions doublement périodiques :
Si f (it) est une fonction doublement périodique méromorphe, ayant dans un parallélogramme des périodes les zéros a\, a% } ... et les pôles . . . , on a
m\ ai -f m% a% + ... — (m b{ -f n% h + . . . ) = 2k{ toi + %k
2coi et 2t02 étant les périodes de la fonction, k{ et k% deux nombres entiers positifs, mi f ???2 7 • • • les degrés de multiplicité des pôles.
En appliquant ce théorème à la fonction
Apw + Bp'u + C = 0,
et en remarquant que cette fonction a pour pôle unique le point 0, on conclut immédiatement que les valeurs u\, u% % 113 prises par u aux points d'intersection de la cubique avec la droite
Ax + Bij + C =
vérifient la condition
ti[ + u% + 113 = 2k { coi + 2fe
Réciproquement, si les valeurs que u prend à trois points de la même cubique satisfont à cette condition, ces points sont situés sur une droite. En effet, la droite passant par les points correspondants à u\ et u*i coupent la cubique à un point où u prend une valeur u! qui satisfait à l'équation
u' -f- it{ ~\- u% = 2k'i coi + 2/4 0^2 ;
et on a par conséquent la relation
113 = vl + 2 (ki — k'i) 03i + 2 (k% — 039,
qui exprime que 113 et u' diffèrent par des multiples des périodes, et d'où il résulte par suite que les valeurs prises par x et y quand on fait 11 = 113 ou u = ic' sont égales. Nous avons donc ce corollaire du théorème précédent:
C'est condition nécessaire et suffisante pour que les trois points de la cubique considérée correspondants aux valeurs u$ et U3 du paramétre u soient placés sur une même droite, qiion ait
(12) u 1 + ^2+^3 = 2k\ 0D1 + 2k% oj2 .
On déduit aisément du théorème énoncé ci-dessus d'autres corollaires analogues relatifs aux points d'intersection de la même cubique avec un cercle ou avec une conique.
On obtient au moyen de la proposition qu'on vient d'énoncer plusieurs propriétés des paraboles divergentes non unicursales, qu'on étend ensuite à toutes les cubiques non unicursales au moyen du théorème de Newton démontré plus haut. Nous en indiquerons ici deux, pour donner une idée succinte de cette manière d'étudier la théorie générale des cubiques.
I. En posant u\ = u% = 113 dans l'équation (12), pour exprimer que la droite considérée
Hosted by
coupe la cubique en trois points coïncidants, on obtient cette autre :
3ii[ = 2k \ oji -f- 2k% (02,
qui détermine les valeurs que u prend aux points d'inflexion de la cubique. Ces valeurs sont
y o>i, -g- 0)i + -g- (02, IT^ 1 "^!}
aux autres valeurs de u que la même équation détermine ne correspondent pas des points de la cubique différents de ceux qui correspondent à celles qu'on vient d'écrire.
En examinant ce tableau, on voit que la somme des nombres situés dans une même ligne est une quantité de la forme 2k{ toi --f- 2k% 0)2 ; donc les points correspondants sont situés sur une même droite. De même les points correspondants aux nombres placés sur une même colonne sont aussi situés sur une même droite, ainsi que les points correspondants à chacune des combinaisons de trois nombres appartenant à des lignes et à des colonnes différentes. Donc, le nombre des points d'inflexion des cubiques non unicursales est égal à neuf et ces points sont situés sur douze droites, dont chacune en contient trois; trois de ces points sont réels.
Nous venons de retrouver un théorème qu'on avait déjà obtenu par une voie plus élémentaire.
II. Comme deuxième application de la doctrine exposée, nous allons démontrer le théorème suivant, dû à Salmon, lequel a une importance considérable dans la théorie générale des cubiques :
Les quatre tangentes menées à une cubique non unicursale d'un point de la courbe, dijfér entes de celle qui a le point de contact à ce point, ont un rapport anharmonique constant.
Pour démontrer ce théorème, il suffit de considérer les paraboles divergentes; il se généralise ensuite à toutes les cubiques non unicursales au moyen de cette proposition bien connue: le rapport anharmonique de quatre droites conçu rrantes est égal à celui des transformées homographîques des mêmes droites.
Considérons un point donné d'une parabole divergente non unicursale, où u prenne la valeur w , et représentons par it\, u% et ?u les valeurs que u prend aux points de contact des tangentes issues du point donné. On a, en vertu de la formule (12),
2u\ + u Q = 2k i (oi + 2fe (02, 2u% + u = 2k[ (oi + 2k% (02, . . . ,
d'où il résulte que les valeurs de U{, u% et iu sont
0)1, 1^3 = — -qp- + 0)3, = ™- + 0)| + 0)2,
Les valeurs Ai, A2, A3 et A4 des coefficients angulaires des mêmes tangentes sont donc déterminées par les formules
a 1 = i£ = ^l?JL \2" + m 7 ; , 3 y/q p V^ + W 2
Mais, d'un autre côté, si ei, e% et es représentent les racines de l'équation
4x 3 — gix — g% = 0, on a (Halphen: Traité des foliotions elliptiques, t. 1, p. 37 et 75),
et par conséquent
Donc
p (u -f to) = e{ + v ^ ?
pit — ei
h% = hi
On trouve de même
^3 = A] + ; A4 = Al
Un Un.
Donc
et par suite
A3 — Al A4 — h[ 62 — 6l
A3 — As * A4 — A2 63 — ei
Le théorème qu'on vient de démontrer a été publié pour la première fois en 1850 par Salmon dans le tome xlii du Journal de C relie et reproduit dans son ouvrage sur les Courbes planes (1884, p. 207, 284), où il en a donné une démonstration géométrique et une autre algébrique. M. Jamet a donné une autre démonstration algébrique du même théorème dans une Note publiée aux Comptes rendus du deuxième Congres de Mathématiciens (Paris, 1902, p. 339). La démonstration que nous venons d'exposer est peut-être nouvelle.
Nous ne nous arrêterons plus sur l'application de la théorie des fonctions elliptiques à la théorie des cubiques. Pour une étude plus développée de cette intéressante doctrine on doit consulter l'ouvrage de Clebesch mentionné plus haut et le tome il du Traité des fonctions elliptiques de G. Halphen. Dans le premier de ces ouvrages sont employées les fonctions elliptiques de Jacobi et dans l'autre celles de Weierstrass.
Les cubiques des Chasles.
157. Les paraboles divergentes ne constituent pas l'unique classe des cubiques qui puissent représenter la perspective de toutes les autres courbes du troisième ordre. De la même propriété remarquable jouit une classe de cubiques indiquée par Chasles dans son Aperçu historique (2. ème éd., p. 146 et 348), dont l'équation résulte de cette autre, considérée au n.° 147:
ax\ + bx\z { + cx^l + dz\ = y\z v
en y faisant
x\ aiX + ^iY + ci ^ Z[ ^ 3 x -I-63Y + C3
X yi «2 X + b% Y + C2 ' y yi a% X + 62 Y + c%
L'équation de ces cubiques est donc
( 1 ) y = ax 3 + bx*y -f- cxy 2, + dy 3 .
Les cubiques de Chasles et les paraboles divergentes sont liées d'ailleurs par une relation très simple. En appliquant, en effet, à l'équation (1) la transformation de Newton:
on obtient cette autre:
(3) Y* = aX\ + bX\ + cXi + d,
qui coïncide avec celle des paraboles divergentes. Il en résulte d'abord que le théorème de Chasles, qu'on vient d'établir directement, peut être déduit du théorème de Newton démontré auxn. os 147 et 148, en se basant sur cette propriété des transformations homographiques :
si deux courbes sont transformées homographiques d'une troisième, elles sont aussi transformées homographiques l'une de l'autre. Il en résulte, en outre, que les conditions auxquelles les coefficients de l'équation (1) doivent satisfaire pour que la courbe qu'elle représente ait un noeud ou un point de rebroussement, coïncident avec celles qui expriment que la parabole (3) a l'un ou l'autre de ces points, et que les coordonnées des points d'inflexion des cubiques de Chasles peuvent être obtenues au moyen des formules données au n.° 151, pour la détermination des points d'inflexion des paraboles divergentes, et des formules (2).
158. En représentant par a, [3 et y les racines de l'équation
at 3 + hfi + ct + d = 0,
on peut mettre l'équation (1) sous la forme :
(4) y = a(x- ay) (x - $y) (x — yj),
et déterminer ensuite la forme des cubiques de Chasles, en considérant les mêmes cas que dans l'étude analogue des paraboles divergentes. Mais on doit remarquer déjà que toutes ces cubiques ont un centre, qui coïncide avec l'origine des coordonnées, et qui est en même temps un point d'inflexion, et que la tangente à la cubique en ce point coïncide avec l'axe des abscisses.
1. ° Si les racines a, p et y sont réelles et inégales, la courbe est formée par trois branches distinctes (fig. 34). Les droites KL, KjLi et K2L2, représentées par les équations
x~ay = 0, x — fiy = 0, x — - s y =
sont les asymptotes de la courbe. La branche AOB a trois points d'inflexion, en A, et B, situés sur une même droite Les autres branches n'ont pas de points d'inflexion.
2. ° Si a = [3 et a>~f, la cubique a encore trois asymptotes réelles, dont deux sont parallèles. Les équations de ces droites sont
x = Ty, x = ai/ + \ / — — — • Ce cas correspond au second des cas considérés dans l'étude des paraboles divergentes
Hosted by
n.° 149) ; la cubique a donc un point d'inflexion réel, deux points d'inflexion imaginaires et un noeud à l'infini. Sa forme est indiquée dans la figure 35.
Fig. 34 Fig. 35
3. ° Si a = p et # <| ; la courbe a une asymptote réelle et deux imaginaires, un noeud à l'infini et trois points d'inflexion réels. Elle a alors une seule branche, de forme semblable à la branche AOB de la figure 34.
4. ° Si a = p = y, la courbe n'a pas d'asymptotes à distance finie, et a un point de rehaussement à l'infini et un point d'inflexion à l'origine. Elle a alors une seule branche, semblable à la branche. AOB de la figure 35.
5. ° Si a et p sont imaginaires, la courbe a une asymptote réelle, représentée par l'équation x~~[y, et deux imaginaires. Elle a une branche avec trois points d'inflexion réels, situés sur une même droite, comme la branche AOB de la figure 34, et elle n'a pas de point double.
159. On pourrait obtenir aisément au moyen des cubiques de Chasles les théorèmes généraux de la théorie des courbes du troisième ordre qu'on a trouvés précédemment au moyen des paraboles divergentes, en remarquant qu'au point d'inflexion considéré au n.° 147 correspond maintenant le centre et qu ; à la polaire harmonique du premier point correspond une droite située à l'infini. Mais nous ne nous arrêterons pas à cette application, ni à l'indication des exemples instructifs de la manière comme on considère les points et les droites situées k l'infini dans l'étude des propriétés projectives des courbes, qui résultent de la comparaison vol. iv s
des formes que prennent les paraboles divergentes et les cubiques de Chasles correspondantes à chacun des cinq cas considérés.
Aux cinq formes des cubiques de Chasles qu'on vient de considérer et aux cinq formes des paraboles divergentes considérées au n.° 149 correspondent cinq cônes distincts sur lesquels, d'après les théorèmes de Newton et de Chasles démontrés précédemment, peuvent être placées toutes les cubiques. Les propriétés de ces cônes furent étudiées par Mobiûs dans le volume correspondant à 1853 des Abhand. der K. Sachs Ges. zu Leipzig, et par Cayley dans le volume correspondant à 1866 des Transactions of tke Cambridge Philosophical Society.
Généralisation de la théorie des cubiques circulaires,
160. Les cubiques circulaires peuvent jouer dans la théorie générale des cubiques un rôle analogue à celui des paraboles divergentes et des cubiques de Chasles. Elles peuvent, en effet, représenter, et d'une infinité de manières différentes, la perspective des autres cubiques.
Envisageons une cubique quelconque, rapportée à un triangle de référence arbitraire, et supposons que son équation soit celle-ci:
(1) Ax\ + Bx\ y, + Cx, y\ + Dy\ + Ex* z { + Fx, y, z t + Gy? z t + Hx l z\ + Ky, z\ + Ls? = 0.
L'équation de la polaire du point (xi = 0, z\ = 0) est
Bx\ + 2Cxi y { + 3Dyl + Fx { z { + 2Gy { z { + Kz\ = 0.
Cela posé, supposons qu'on prenne pour côté des zi la tangente à la cubique considérée à un point M, pour côté des xi une droite passant par M et par deux points quelconques Ai et As de la même cubique, et pour côté des yi la tangente à la polaire de M au point N où cette conique, dont l'équation a été écrite ci-dessus, coupe la droite Ai As. Alors les équations de la cubique et de la conique doivent donner pour x\ deux valeurs égales à zéro, quand on fait dans la première 3i=0 et dans l'autre yi = 0. On a donc dans ce cas D = 0, C = 0, F = 0, K = 0; et l'équation de la cubique prend par suite la forme
Zi (Gyï + Laf) + Axî + Bx] yi + Fx\ z { + Hx { z\ = 0,
où G et L ont les signes contraires quand les points Ai et A2 sont réels et les mêmes signes quand ces points sont imaginaires.
Remarquons maintenant que cette équation fait voir que, quand Gr = 0, le point M, où Wi--=0 et zi = 0, est double et que, quand L = 0, les points A { et Ag, où la droite X{ = coupe la cubique, coïncident. Donc, si la droite AA1A2 ne coupe pas la cubique donnée en des points coïncidants, on peut poser
yi zi I G-
sci ' ^ au y L
et on a une équation de la forme
laquelle représente une cubique circulaire (n.° 76) qui est donc une perspective de la cubique donnée. L'asymptote réelle de la cubique circulaire correspond à la tangente à la cubique donnée au point M.
Il convient de remarquer que, si Gr et L ont les signes contraires, aux points réels de la cubique proposée correspondent des points imaginaires de sa transformée. On doit remarquer encore que, si M est un point d'inflexion, le côté des Z{ doit couper la cubique en trois points coïncidants, et qu'on a donc B = et par suite Bi = ; la cubique circulaire est par conséquent alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Dans ce cas le côté des y\ dans le triangle de référence est (n.° 147) la polaire harmonique du point M.
IOI. Nous avons exposé quelques conséquences de celte doctrine dans un article inséré aux Niemo Archief voor Wiskunde (2. e série, t. vu). Nous allons les transcrire ici et joindre quelques autres, qui n'ont été pas encore données, croyons-nous.
Ainsi, en tenant compte de la correspondance entre les points Ai, Ag et M de la cubique donnée et les points de la cubique (2) situés, respectivement, à l'infini sur les deux asymptotes imaginaires et sur l'asymptote réelle, en remarquant qu'à un cercle quelconque du plan de la cubique (2) correspond une conique située dans le plan de la cubique donnée et passant par Ai et A2 et qu'au centre de ce cercle correspond le point d'intersection des tangentes à cette conique aux points Ai et Ag, et en se fondant sur les propriétés des courbes (2) et sur celles de la transformation homographique, on obtient les théorèmes suivants :
1. ° Une cubique non unicursale quelconque (C) peut être considérée de quatre manières différentes comme V enveloppe d'une série de coniques bitangentes passant par deux points fixes Ai et A2 de la même cubique.
Cette proposition correspond au premier théorème du n.° 78.
2. ° A chacun de ces systèmes de coniques correspond une autre conique qui est le lieu des points d'intersection des tangentes en Ai et A2 à chaque conique du système considéré.
Cette proposition découle du deuxième théorème du n.° 78. Aux asymptotes de chacun des cercles dont la cubique circulaire est l'enveloppe correspondent les tangentes à la conique qui en est la transformée aux points Ai et A2, et par conséquent au centre de ce cercle
correspond le point d'intersection de ces tangentes, et aux quatre lieux (n.° 78) des centres -des systèmes de cercles dont la cubique est l'enveloppe correspondent quatre coniques.
Nous représenterons les quatre coniques qu'on obtient ainsi par Ki, Kg, K3 et K4.
Si M est un point d'inflexion de la cubique considérée., la cubique circulaire correspondante possède un axe (n.° 161), qui correspond à la polaire harmonique de M. Alors, comme l'un des lieux des centres des cercles bitangents à la cubique circulaire est l'axe de cette cubique, l'une des coniques correspondantes est remplacée par la polaire harmonique de M.
3. ° Les droites passaiit par les points de contact des coniques bitangentes de chaque série se rencontrent à un même point ? et les quatre points Bi, B2, B3 et B4 qu'on obtient ainsi, coïncident avec les points d'intersection de la cubique avec la 'polaire du point M.
La première partie de cette proposition découle du premier théorème du n.° 82. Les points Bj, B2, B3 et B4 correspondent aux centres des cercles directeurs de la cubique circulaire, et, comme ces centres coïncident (n.° 83) avec les points de contact des tangentes parallèles à l'asymptote réelle de cette cubique, les points correspondants de la cubique donnée coïncident avec les points de contact des tangentes à cette cubique issues de M.
4. ° Si la cubique (C) est unicursale, le nombre des séries de coniques bitangentes dont elle est l'enveloppe se réduit à deux, si elle a un noeud, à un, si elle à un point de rebroussement. Dans ce cas, elle est, en outre, l'enveloppe d'une série de coniques simplement tangentes passant par le point double et par les points Ai et A2.
Cette modification que subit le théorème l. er quand la cubique donnée est unicursale, est une conséquence de ce qu'on a dit au n.° 84 à Y égard des cubiques circulaires unicursales.
5. ° Les tangentes à une cubique non unicursale aux points A] et A2 déterminent 'par leurs intersections 16 points situés sur quatre coniques Hi ; H2, H3 et H4 passant par Ai et K%, et chaque conique en contient 4,
Les points qu'on vient de mentionner sont aussi situés sur les coniques Ki, K2, K3 et K4, et chacune de ces coniques en contient aussi quatre.
Si M est un point d'inflexion, quatre de ces points sont situés sur la polaire harmonique de M, qui remplace l'une des coniques H; et Vune des coniques K t -.
Ces théorèmes résultent de ce qu'on a dit aux n. os 86 et 87. Les coniques Hi, Ha, H3 et H4 correspondent aux cercles directeurs de la cubique circulaire.
6. ° Les tangentes en Ai et A2 à chacune des coniques Hi, H2, H3 et H4 déterminent par leur interjection quatre points coïncidant avec les points (Bi, B-2, B3, B4) de contact des tangentes à la cubique issues du point M.
7. ° Les points de contact des tangentes à la cubique (C) issues des points Bi, B2, B3 ; B4 sont situés, respectivement, sur les coniques Hi, H2, H3, H4.
Cette proposition et celle qui suit correspondent à deux propriétés des cubiques circulaires démontrées au n.° 82.
8. ° Les points où une conique passant par Ai et A 2 a avec la cubique un contact du troisième ordre coïncident avec les points d'intersection de la cubique avec les coniques Hi,
H 3 , Bi.
Si M est un point d'inflexion, une de ces coniques est remplacée par la polaire harmonique
de M.
équation des asymptotes imaginaires de la cubique circulaire (2) est
ces droites coupent donc l'axe des ordonnées au point (0, — En remarquant mainte-
nant que cet axe correspond au côté yi = du triangle de référence, on conclut que les tangentes à la cubique donnée aux points Ai et A$ coupent à un même point la tangente à la polaire de M au point où cette ligne rencontre la droite Ai As. Le théorème l. er du n.° 154 est un corollaire de ce qui précède,
102e Si les tangentes à la cubique donnée (C) aux points Ai et As se rencontrent à un point U situé sur cette courbe, les asymptotes de la cubique circulaire correspondantes à ces tangentes se rencontrent aussi à un point situé sur cette dernière courbe, et elle appartient donc alors à la classe des cubiques circulaires considérées au n.° 52.
Donc, le focales de Van Eees peuvent représenter la perspective de toutes les cubiques non unicursales et de celles qui ont un noeud ou un point isolé.
En particulier, la strophoïde peut représenter la prespective de toutes les cubiques qui ont un noeud ou un point isolé.
Il résulte de ce théorème et de la doctrine exposée aux n. os 54 à 58 et au n.° 65, en tenant compte de la correspondance entre le point U et le foyer singulier de la cubique circulaire et entre le point M et le point de cette cubique situé à l'infini sur l'asymptote réelle, les conséquences suivantes :
1. ° Si par le point U on mené deux droites quelconques et si Von représente, respectivement, par P, P' et par Q, Q/ les points où elles coupent la cubique; et si par M on mène les droites MP et MQ' et Von représente par Pi, Qi les nouveaux points où elles coupent la même cubique: le point Si où les droites PQ et PiQt se rencontrent est situé sur la cubique, ainsi que le point S d'intersection des droites PQi ei PiQ (n. cs 54 et 57). La droite AS coupe la cubique à un point placé sur USi (n. os 54 et 57). Les tangentes aux points P, Q, et S coupent, respectivement, les tangentes aux points Pi, Qi et Si en des points placés tur la cubique (n.° 58).
Si, en particidier, les points P et Q sont situés sur une droite passant par M, la droite P'Q/ passe aussi par M (n.° 55).
2. ° Si de U on mené deux tangentes à la cubique, différentes de UAi et UA^ les points de contact Bj et Bâ sont placés sur une droite passant par M (n.° 58).
Le point d'intersection des tangentes aux points M et U est situé sur la cubique (n.° 58).
En changeant le rôle des quatre tangentes qu'on peut mener à une cubique non unicursale d'un point de la courbe, et en tenant compte de ces théorèmes, on conclut que les droites passant par les quatre points de contact des tangentes menées à une cubique d'un de
ses points U se coupent à trois nouveaux points de la courbe, et que les tangentes à la cubique en ces points coupent la tangente en U à un même point de la courbe.
3.° La cubique donnée est le lieu des tangentes menées du point U aux coniques qui passent par Ai et A 2 et par les deux autres points où cette cubique est coupée par le polaire de U (n.° 65).
Les deux premiers théorèmes se rapportent à la théorie des points correspondants des cubiques, fondée par Maclaurin dans l'ouvrage intitulé: De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus ; et on vient d'indiquer une nouvelle voie pour aborder l'étude de cette théorie. Nous avons publié le dernier théorème dans le travail mentionné ci-dessus.
J63. Ces théorèmes sont applicables aux cubiques non unicursales et aux cubiques à noeud ou à point isolé (cubiques nodales). On peut déduire, par la même méthode, des propriétés de la strophoïde d'autres propriétés applicables seulement aux dernières classes de cubiques.
Ainsi, par exemple, on déduit des théorèmes 3 e , 5 e et 6 e du n.° 50 les propriétés suivantes des cubiques nodales.
1. ° Supposons que d'un point U d'une cubique nodale on mène deux droites tangentes à cette courbe aux points Ai et A2 et que la droite Ai A2 coupe la cubique à un autre point M; supposons encore que B et Bi sont, respectivement, le nouveau point où la même courbe est interseptée par MU et le point où elle est interseptée par la tangente en M. Cela posé, les tangentes à la cubique en les points B et Bi se rencontrent à un même point de cette courbe.
2. ° Les coniques qui passent par deux points Ai et A2 d'une cubique nodale et qui ont un contact du deuxième ordre avec cette courbe en trois points situés sur une droite, coupent la cubique en trois nouveaux points situés sur une conique passant par Ai et A2 et par le point où la cubique est coupée par la tangente au point d'intersection de cette courbe avec la droite Ai Aa.
3. ° Les coniques passant par deux points A j et A 2 d'une cubique nodale et ayant un contact de deuxième ordre avec cette courbe en quatre points situés sur une conique passant par Ai et A2 coupent la même courbe en quatre nouveaux points, situés sur une conique passant aussi par Ai et As.
Si la cubique donnée a un point de rebroussement (cubique cuspidale) la cubique circulaire correspondante est la cissoïde considérée au n.° 13. On peut donc étendre à tous les cubiques à point de rebroussement les propriétés projectives de cette cissoïde.
On trouve ainsi, par exemple, au moyen des théorèmes donnés au n.° 17, la propriété suivante des cubiques cuspidales:
Le lieu des points d'où Von peut mener à une cubique cuspidale quelconque trois tangentes dont les points de contact soient sur une même droite, est une droite qui passe par son point de rebroussement. Les droites qui passent par les points de contact coupent toutes la tangente à la cubique au point de rebroussement à un même point.
On voit encore, au moyen des théorèmes 5 e et 6 e du n.° 16, que les propriétés 3 e et 2 e des cubiques nodales démontrées ci-dessus appartiennent aussi aux cubiques cuspidales.
Notice succiiîte sur la bibliographie de la théorie générale des cubiques.
164. Nous venons de terminer la partie de ce travail consacrée aux cubiques spéciales remarquables. L'exposition de la théorie générale des courbes de troisième ordre est incompatible avec le plan de cet ouvrage ; toutefois il ne sera peut-être inutile de donner ici quelques indications bibliographiques succintes sur ce sujet.
Les fondements de cette théorie ont été posés par Newton dans son Enumeratio linearum tertii ordinis (1706), dont on a déjà fait mention précédemment, où ce grand géomètre a donné une énumeration et classification des courbes représentées par l'équation générale du troisième degré à deux variables, sur laquelle nous avons déjà dit quelques mots au n.° 308, et où il a indiqué les formes des 72 espèces de cubiques y considérées. Ce travail célèbre a été ensuite commenté et continué par Stirling, dans un écrit intitulé: Lineae tertii ordinis newtonianae (1717), et par Nicole dans son Traite des lignes du troisième ordre (1720 et 1731), qui ont complété rénumération donnée par Newton et ont démontré les théorèmes relatifs à cette énumération, que ce grand géomètre avait énoncés, sans indiquer la voie qu'il avait suivie pour les obtenir. La théorie des cubiques a été continuée par Maclaurin, dans l'ouvrage intitulé De linearum geometricarum proprietatibus tractatus (1720), qui l'a enrichie de nouveaux et importants théorèmes ; par Euler, qui lui a consacré un chapitre de son Introductio in analysin infinitorum (1748); par Cramer, dans son Introduction à V Analyse des lignes courbes (1750); etc. On peut voir dans l'ouvrage magistrale de M. M. Cantor: Vorlesungen ilber Geschichte der Mathematik (Leipzig, t. ni, 1898) quelle est la partie avec laquelle chacun de ces géomètres éminents a contribué pour le développement de ce beau et important chapitre de la Géométrie des courbes planes.
Plusieurs années plus tard, en 1835, une nouvelle et plus parfaite classification des cubiques, où les propriétés projectives de ces courbes jouent un rôle plus étendu, fut donnée par Plûcker dans son System der analytischen Géométrie; cette classification fut étudiée de nouveau par Cayley dans un important mémoire intitulé : On the Classification of cubic Curves (Mathematical Paper s, t. v, p. 354). Ensuite diverses questions relatives à ces courbes ont été considérées par Steiner, Cayley, Salmon, Sylvester, Chasles, Hesse, Clebesch, etc; mais le nombre des travaux qui ont été consacrés à ces questions, dès lors jusqu'à présent, est très considérable et nous ne pouvons pas les mentionner ici; on en peut voir le titre et l'objet dans l'ouvrage historique et bibliographique de M Loria intitulé : Il passato ed il présente délie principale teorie geometriche (Torino, 1896, p. 61). Nous nous bornerons à indiquer, pour l'étude générale de la théorie de ces courbes, l'ouvrage classique de Salmon, Courbes planes (Paris, 1884); celui de Durege, Die ebene Curven dritter ordenung (Leipzig, 1871); lus remarquables Leçons de Géométrie de Clebesch (Paris, 1879-80-83). Dans le premier de ces ouvrages est consacré à la théorie des cubiques un long chapitre, et dans la dernière une grande partie du second volume; l'autre ouvrage est spécialement consacré à cette théorie.
Hosted by
