CHAPITRE III
QUARTIQUES REMARQUABLES.
Les spiriques de Perseus.
165. On désigne par le nom de spiriques de Perseus les courbes qu'on obtient en coupant le tore par des plans parallèles à Taxe, car, d'après Proclus ? qui en a fait mention dans son Commentai?^ sur le premier livre d'Euclides (éd. Taylor, p. 139 et 146), elles ont été considérées pour la première fois par Perseus, géomètre qui a vécu au deuxième siècle avant J. C. Ces courbes sont aussi mentionnées, d'après une Note de Chasles à son Aperçu historique (1875, p. 271), dans un ouvrage intitulé Nomendatura vocahulorum geomefricarum, plus ancien que celui de Proclus, attribué à Héron d'Alexandrie, mais on n'y indique pas le nom de leur inventeur.
On sait que le tore est représenté par l'équation
(l±\Zx* + z^^W-if,
quand on prend son centre pour l'origine des coordonnées et son axe pour l'axe de y, R représentant le rayon des cercles méridiens et l la distance des centres de ces cercles à Taxe de la surface.
Les courbes qu'on obtient quand on coupe cette surface par des plans parallèles à son axe et équidistants de cette droite, sont toutes égales ; il suffit donc de considérer celles qui sont situées sur les plans perpendiculaires à l'axe des z dans les points où cette coordonnée est positive. Comme l'équation de ces plans est z = c ? où c>0, l'équation de chacune des courbes mentionnées, rapportée à deux axes parallèles à celles de x et des y passant par le point où son plan est coupé par l'axe des z, est
VOL. IV
Les spiriques de Perseus sont donc des courbes du quatrième ordre, dont on détermine aisément la forme, comme on le va voir.
1CI6. Il résulte d'abord de l'équation de ces courbes, ou de leur définition géométrique, qu'elles n'ont pas de branches infinies et qu'elles sont symétriques par rapport aux axes des coordonnées.
On voit ensuite, au moyen des équations
(jf + x î p + £ „ K 2 ) x = 0, (?/ 2 + » a + l* + c 2 - R 2 ) y = 0,
qu'on obtient en difterentiant l'équation 2) par rapport à se et à ?/, que les courbes considérées ont un point double à l'origine des coordonnées, quand
et que, si cette condition n'est pas satisfaite, elles n'ont pas de point double à distance finie. Les équations (3) coïncident avec les conditions pour que les plans des spiriques soient tangents au tore, et ces courbes sont imaginaires quand c — Z-f-R. Dans les autres cas l'équation (2) prend la forme
oh
quand l -}- c = R ; ou la forme
ou
a* = Mc, Ô 2 = 4Z (Z — c) 5
quand l — c = R.
Dans ces deux cas singuliers, qui seront étudiés plus loin, les spiriques sont nommées lemnisc cites*
167, Les spiriques qui ne satisfont pas à la condition (3) sont formées par deux branches fermées, séparées l'une de l'autre. Pour déterminer la forme et la position de ces branches, nous allons chercher premièrement les points où les abscisses et les ordonnées ont une valeur maxime ou minime.
En différentiant pour cela l'équation (2), on trouve
(X e * + y* + P + c 2 - R s ) ydy + (x* + if - P -f c 2 - R 2 ) xdx = 0, d'où il résulte que y est maxime ou minime quand x = 0, et quand a? 2 + y 1 — Z â + c 2 — R 2 = 0.
Les coordonnées des points, réels ou imaginaires, qui satisfont à ces conditions sont
et
On voit au moyen de la même équation que x est maxime ou minime quand y = ; et quand + ?/ 2 -f- ^ 2 + -R 2 = 0. Les points qui satisfont à la première condition ont pour coordonnées
et peuvent être réels ou imaginaires; ceux qui satisfont à la deuxième condition sont imaginaires.
Cela .posé, nous allons considérer divers cas, correspondants aux différentes distances du plan de la spirique considérée à l'axe du tore; les trois premiers concernent le tore ouvert': (Z>R) ? et les autres le tore fermé (Z<R).
Cas. l. er Supposons qu'on ait Z>R (tore ouvert) et Z;>c<Z-j-R. Alors ■ la courbe possède deux points où l'ordonnée est maxime ou minime, dont les coordonnées sont
[0, ± t/R 2 -(Z-c)2], et deux points où l'abscisse est maxime ou minime, dont les coordonnées sont
La courbe a donc alors la forme d'un ovale (fig. 36), dont les axes DB et EC sont égaux à 2 \/& - (Z et 2 /(R + if^'ê.
Cas 2". Si l'on a Z > R et Z-R<c<Z, les coordonnées des points où y est maxime ou minime sont
e |. ce p es c ] es points où x est maxime ou minime sont
[±\/jR^Jf^, 0].
La courbe a donc la forme indiquée dan.s la figure 37 ? où
FB = 2 /(R + Z/ c \ HD = 2 |/R-' — (Z - c)* 3 PQ = 2 \/^-c\ AC - 2R.
Cas 3 e . Si l> R et c</ — R, l'ordonnée y est maxime ou minime aux points
[il/i'-c», ±R]
et l'abscisse a; aux points
Donc la courbe a la forme indiquée clans la figure 38, où
£ — J E Al — tîr — W X
Fig. 38'
OA = l/(R- If - c 2 , OC = i/(R + Z) 2 - c 2 , DB = 2R, OL = - c 2 .
Cas Supposons maintenant qu'on ait 1<R (tore fermé) et Z<c<R+Z. Dans ce cas la variable y est maxime ou minime aux points
si c > R — / ; et elle est maxime ou minime à ces points et aux points
quand c<R — Z.
La variable ce est maxime ou minime aux points
[±V\R + lf-c\ 0], si c]>R — l' y et elle est maxime ou minime à ces points et aux points
quand c < R — Z.
Dans le premier de ces cas la courbe est formée par un ovale unique, dont les axes sont
égaux a
2 l/R 2 (Z - c 2 i/(R + Z) 2 - c 2 , et dans le deuxième cas elle est composée de deux ovales, dont les axes sont égaux à
2^~(l±c)\ 2V / (RÏpZ) 2 ~^ 2 T
Ces ovales ont la forme indiquée dans la figure 36, et l'un est à l'intérieur de l'autre. Cas 5 e . Si Z<R et R — Z<c<Z, les coordonnées des points où y est maxime ou minime sont
[±\/V-c\ ±R], [0, ±\fà-(l-c)*\; et celles des points réels où x est maxime ou minime sont
[±\/(&+lf-c\ 0].
La courbe a donc une forme semblable à celle qu'elle avait dans le second cas. Cas 6 e . Si, enfin, l < R, c<R — l et c < Z, les points où y est maxime ou minime sont déterminés par les coordonnées
[0, ±\/W-{l±cf] y [±S/W-^, ±R]; et les points où x est maxime ou minime par celles-ci :
La courbe est donc composée d'un ovale semblable à celui de la figure 37 et d'un autre semblable à celui de la figure 36, situé à l'intérieur du premier, dont les axes sont égaux à
2 v/R 2 - il ± c ) 2 , 2 t/(±R - lf - c\
168. En cherchant les asymptotes des spiriques par la méthode générale connue, on trouve que chacune de ces courbes a quatre asymptotes imaginaires, représentées par les équations
on voit ensuite que cette courbe a deux noeuds imaginaires, qui coïncident avec les points circulaires de l'infini.
Pour déterminer les foyers des spiriques, remarquons d'abord que les asymptotes, dont on vient d'écrire les équations, se coupent en quatre points, lesquels sont (n.° 85) les foyers
singuliers de la courbe considérée. Deux de ces foyers sont réels et leurs coordonnées sont (+Z, 0); les autres ont pour coordonnées (0, et ils sont donc imaginaires.
On détermine aussi aisément les foyers ordinaires de la même quartique par la méthode suivante.
Considérons la droite représentée par l'équation
y = ix J r k
et remarquons qu'elle coupe la courbe représentée par (2) en deux points dont les abscisses sont déterminées par l'équation
4 (7b 2 + P) x% - 4M (fc a + P + c 2 - R 2 ) x + 4P c 2 - (A; 2 + P + c 2 - R 2 ) 2 = 0.
La condition pour que cette droite soit tangente à la courbe considérée, c'est que ces deux points coïncident, et que, par conséquent, les racines de la dernière équation soient égales. Cette condition est donc exprimée par l'équation
JP (7b 2 + P + c 2 - R 2 ) 2 + (JP + P) [4P c 2 - (IP + P + c 2 - R 2 ) 2 ] = 0,
ou
(4* + pf 2 (À; 2 + P) (c 2 + R 2 ) + (c 2 - R 2 ) 2 = 0,
ou enfin
ip = (c±nf-P,
L'équation des tangentes à la spirique représentée par l'équation (2) ayant i pour coefficient angulaire est par suite
y - ix ± \/(c±nf-P.
On voit de même que l'équation des tangentes à la même quartique ayant — i pour coefficient angulaire est
y — ix ± V (c ± R) 2 — 71
Les quatre droites représentées par cette équation coupent les quatre droites représentées par celle qui précède en sehe points, qui sont les foyers ordinaires de la spirique considérée. Quatre de ces points, correspondants aux intersections des droites de l'un de ces groupes avec les droites respectivement conjuguées de l'autre, sont réels ; nous allons déterminer leurs coordonnées.
l.° Si Z 2 <(R — c) 2 , les racines qui figurent dans les équations des deux groupes de droites sont réelles, et les coordonnées des quatre foyers réels de la spirique sont donc
2. ° Si Z 2 > (R-f-c) 2 , les racines mentionnées sont imaginaires, et, en écrivant les équations des droites considérées de la manière suivante:
y = i [»±/Z 1 — (c±R) 2 ], y= -i[x± ^ Z 2 - (c + Rj 2 ],
on voit que les quatre foyers réels ont pour coordonnées
3. ° Si (R — c) 2 < P < (R + c) ? , on voit de même que les coordonnées des foyers réels sont
169» ' Les résultats qu'on vient d'obtenir doivent être modifiés quand on a i = R + c, c'est-à-dire quand (n.° 166) la courbe a un point double à l'origine des coordonnées*
En effet, si Z = R — c, les droites qui coupent la courbe donnée en deux points coïncidents et qui ont pour coefficients angulaires i ou — i, sont représentées par les équations
y = ix 1 y = — ix, y = ix + 2 \/ Rc , y = — ix + 2 l/Rc.
Alors les deux premières droites se coupent au point double, et les autres déterminent par leurs intersections quatre foyers ordinaires, dont deux, définis par les coordonnées (0, +2v / Rc) ? sont réels.
Si Z=R + c, la courbe a aussi quatre foyers ordinaires, dont deux, déterminés par les coordonnées (:h2v/Rc, 0), sont réels.
170. Les spiriques de Perseus peuvent être construites par une méthode donnée par Sluse dans une lettre adressée à Huygens en 1657 {Oeuvres de Huygens, t. n, p, 52), que nous allons indiquer.
Posons dans l'équation des spiriques
(4) x = Xi, y = \/j2li—yi)y { .
On obtient l'équation
équivalente à cette autre:
\A - y\ + 2R yi + c 2 - Z* - R 2 ) 2 - 4Z 2 (R - y if =- 0,
et qui peut par suite être remplacée par ces deux autres :
(5) x] - y\ + 2 (R - l) y i + - P - R 2 + 2ZR = 0,
(6) œ^-f i + 2(R + l)yi + c^-r 2 -R^-2lR = 0,
qui représentent deux hyperboles équilatères, dont les axes sont égaux à 2c, la première ayant le centre au point (0, R— l) et l'autre au point (0, R + Z).
Il résulte de ce qui précède qu'on peut déduire chaque point (a?, y) d'une spirique du point correspondant d'une de ces hyperboles au moyen de la construction d'une moyenne géométrique entre y\ et 2R— yi. On peut même employer seulement la première de ces hyperboles, parceque, quand on remplace en (4) et (h) y\ par 2R — la valeur de y ne change pas et l'équation (5) se transforme dans l'équation (6).
Voici maintenant quelques remarques sur cette construction:
1. ° Il résulte des relations (4) que les points de l'hyperbole (5) auxquels correspondent les points réels de la spirique sont compris entre les droites représentées par les équations
Donc: si les deux droites coupent une même branche de l'hyperbole, la courbe est formée par deux ovales extérieurs l'un à l'autre ; si une seule de ces droites coupe l'hyperbole, la spirique se réduit à un ovale; si l'une des deux droites coupe la branche supérieure et l'autre la branche inférieure de l'hyperbole, la spirique est formée par deux ovales dont l'un est à l'intérieur de l'autre. Dans tous ces cas les sommets de la spirique correspondent aux points ou les droites coupent l'hyperbole, et aux sommets de cette conique compris entre les droites.
2. ° Si la spirique a deux points à ordonnée maxime non situés sur l'axe des ?/, l'hyperbole considérée passe par ces points. En effet, il résulte de la deuxième des équations (4) que ces deux courbes se rencontrent aux points où y{ = R, et que les points où les ordonnées de la spirique passent par une valeur maxime sont déterminés par l'équation
(Vi — R) yi = 0,
dont une solution est y{ = R.
3. ° On peut déterminer la sous-normale de la spirique au point (a?, y), quand on connait la sous-normale de l'hyperbole au point (a?i, 2/1), au moyen de la relation
171. On peut encore construire les spiriques et leurs tangentes par une méthode plus facile que celle de Sluse que nous avons donnée dans une Note insérée aux Archiv der Ma-
Hosted by
thematik und Physik (3. e série, t. xi, 1906). En effet, si l'on pose dans l'équation (2)
on trouve
d'où ii résulte qu'on peut déduire chaque point (a?, y) de la spirique d'un point (x% } yi) des cercles représentés par cette équation au moyen de la construction d'une moyenne géométrique entre x% — c et a?2 + c. II suffit même d'employer, pour construire la spirique, un seul des cercles (8), puisque cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Nous ferons sur cette construction les remarques suivantes, qui se rapportent au cercle correspondant au signe supérieur de (8) :
1. ° Si ce cercle ne coupe pas l'axe des ordonnées et si la droite représentée par l'équation x — c est comprise entre cet axe et le cercle, la spirique est formée par deux ovales (fig. 38); alors les points A, C, E et G correspondent aux points où le cercle coupe l'axe des abscisses et les points D, B, H et F aux points où les tangentes au même cercle sont parallèles à cet axe.
2. ° Si le cercle ne coupe pas l'axe des ordonnées, mais coupe la droite œ = c, la spirique a la forme indiquée dans la figure 37, quand la droite coupe le demi-cercle plus prochain de l'axe des ordonnées, et la forme indiquée dans la figure 36, dans le cas contraire, Dans les deux cas les sommets de la spirique situés sur l'axe des abscisses correspondent aux points où le cercle intersepte cet axe, et les sommets de la même quartique situés sur l'axe des ordonnées correspondent aux points où la droite x = c coupe le cercle. Les points A, C, E et Gr de la figure 37 correspondent aux points du cercle où les tangentes sont parallèles à l'axe des abscisses.
3. ° Si le cercle considéré rencontre l'axe des ordonnées, la spirique est formée par deux ovales quand les droites x = c et x = — c coupent le cercle considéré, par un ovale unique quand l'une seule de ces droites coupe le cercle, et elle est imaginaire si ni l'une ni l'autre ne la coupent pas. On détermine les sommets et les points où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses comme dans les cas précédents.
4. ° Les sous-normales de la spirique et du cercle, par rapport à l'axe des ordonnées, sont égales, puisqu'on a
dx dx% X z = x% —j cly ay%
donc, les normales à ces deux courbes aux points correspondants passent 'par le même point de l'axe des ordonnées. Il résulte de cette proposition une manière facile de construire les normales et ; par suite, les tangentes aux spiriques.
VOL. IV U
172. Pour calculer la valeur du rayon de courbure Ri à un point quelconque de la spirique ; on peut employer la formule
Ri
fc' 2 + if 2 ) 2 [x] [R 2 - (X2 - Z) 2 ] + (xa - Z) 2 (x\ - c 2 )] 2
où ce' et y' représentent les dérivées de ce et y par rapport à a?2 ? dont les valeurs sont déterminées par les équations (7) et (8).
On en conclut, en donnant à x% les valeurs Z + R, c et Z, que les valeurs que Ri, prend aux sommets de la courbe situés sur les axes des abscisses et des ordonnées, et aux points de contact des bitangentes parallèles à Taxe des abscisses sont, respectivement,
on 2
R [(l ± R) 2 - c 2 ] À c [R 2 - (c - Z) 2 ] 1 rz 2
Une autre conséquence qui résulté de l'expression de Ri ? c'est que chaque spirique a douze points d'inflexion, réels ou imaginaires, dont les coordonnées sont déterminées par les formules (7) en y substituant les racines de l'équation
(9) R 2 (xl - c*l) - c 2 (a* - Z) 3 = 0.
On peut démontrer aisément que le nombre des points d'inflexion réels ne peut pas être supérieur à quatre, en remarquant que le discriminant
de l'équation précédente peut être mis sous la forme
En effet, en supposant premièrement Z>R (tore ouvert), on trouve les résultats suivants:
1. ° Si Z<c<Z + R, c'est-à-dire dans le premier des cas considérés au n.° 167, le discriminant est positif et l'équation (9) a trois racines réelles ; on voit au moyen des signes que prend le premier membre de cette équation quand on donne à x% les valeurs 0, l, c, R et ce, que ces racines sont comprises entre et l, l et c, Z + R et go. Les points réels de la spirique correspondent aux valeurs de x^ comprises entre c et Z-f-R, et par conséquent dans ce cas la spirique n'a pas de points d'inflexion réels.
2. ° Si Z — R<c <Z, c'est-à-dire dans le second des cas considérés au n.° 167, l'équation (9) a trois racines réelles comprises entre — co et 0, et c, c et l, si c<R, ou entre et c, c
et l, l et œ, lorsque c>R. La spirique a donc alors quatre points d'inflexion réels, correspondants à la racine comprise entre c et l. Quand c = l, deux de ces points sont réunis au point D et deux autres au point H; D et H sont alors des points d'ondulation.
3,° Si c<^l — R, c'est-à-dire si la courbe est formée de deux ovales, deux des racines de (9) sont imaginaires, et l'autre est comprise entre et — ce, si c<R ? ou entre Z + R et go, si c>R. La spirique n'a pas donc de points d'inflexion réels.
On démontre de la même manière que, si Z<R (tore fermé), la spirique n'a pas aussi de points d'inflexion réels ou elle en a quatre.
Il est à remarquer encore que ce qu'on vient de dire n'est pas applicable au cas où R — c. Alors l'équation (9) se réduit à celle-ci :
et par conséquent la spirique a seulement huit points d'inflexion à distance finie. On pourrait voir aisément, par une analyse semblable à celle qu'on vient d'employer précédemment, que la spirique a encore quatre points d'inflexion réels au deuxième des cas considérés au n.° 167, c'est-à-dire lorsque c < Z <^ 2 c, et que dans les autres cas elle n'a pas de points d'inflexion réels ; mais les spiriques qui satisfont à la condition R — c seront spécialement étudiées bientôt.
173. Les problèmes de la quadrature des spiriques et de la cubature de leurs solides de révolution autour des axes des coordonnées peuvent être résolus aisément au moyen d'une des transformations considérées aux n. os précédents.
Ainsi, en appliquant la transformation considérée au n.° 171, on trouve que l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et deux parallèlles à l'axe des ordonnées passant par les points (a, 0) et (b, 0) est déterminée par l'égalité
A= C ydx = f lœ %\/~~ — ^—<f-—dx%,
où a et p représentent les valeurs de x% correspondantes aux valeurs a et h de x. On voit donc que A dépend des fonctions élémentaires quand ^ + c = + R, c'est-à-dire dans le cas des lemniscateSj et des fonctions elliptiques dans les autres cas.
Le volume du solide engendré par l'aire qu'on vient de considérer en tournant autour de l'axe des abscisses est donné par la formule
y* dx = z I — j—^ * — ax%
= xj Vxl-c* | R 2 -— £ 2
-§- c 2 -f lx% — \- x\
•c 2 ZIog(tf 2 + l/^-c 2 )P
En particulier, pour obtenir le volume du solide engendré par un ovale en tournant autour de Taxe des abscisses, on doit poser a = Z — R, (3 = Z + R dans le cas de la figure 38, a = c, [3 = Z-f R dans les cas des figures 36 et 37.
Le volume du solide engendré par l'aire comprise entre la courbe, Taxe des ordonnées et les parallèles à Taxe des abscisses passant par les points (0, u) et (0, v) est donné par la formule
1"!-. Ze fo'eu, des points par lesquels on 'peut mener à une conique à centre deux tangentes formant un angle donne a est une spirique.
Soit
l'équation de la conique. L'équation du lieu considéré, donnée par Grarlin dans une Note insérée aux Nouvelles Annales de Mathématiques (1854, p. 415), est
(ce 2 + iff — 2 (a + b + 2a cot 2 a) œ 2 - 2 (a + b + 2b cot 2 a) f + (a + 6) 2 + 4aô cot 2 a = 0,
et les conditions pour qu'il soit identique à une spirique sont donc
P + R 2 — c 2 = a + b + 2a cot 2 a, R*c 2 -Z a = a-f6 + 2i cot 2 *,
(p + <? R2)2 4^ c 2 ( fl L 5)2 + cot 2 a>
En éliminant maintenant a+ Z> entre les deux premières équations et Z 2 + c 2 — R 2 entre les dernières, on obtient deux nouvelles équations qui, en tenant compte de la deuxième, donnent les relations suivantes:
p = (a J) cot 2 a, c 2 = r — -r-â- ? R 2 = rr-^"ô— '
(a — o)sm z a (a — ô)sm z (X
par lesquelles on détermine les paramètres 7, c et R de la spirique, quand les paramètres a et b de la conique et l'angle a sont donnés. Les valeurs qu'on obtient par l, c et R sont réelles lorsque a — &>0.
Za?2 -
■ R 2 Z arc sen
Garlin, à qui est dû le théorème qu'on vient de démontrer, n'a pas examiné la question inverse de la précédente ; mais on voit aisément que les équations qu'on vient d'écrire donnent les relations
a 2 cos 2 a = R 2 V 1 sin 4 a, a — b = P tang 2 ce, a + b = (R 2 — c 2 ) sin 2 a, d'où résultent ces autres
(10) a = g-p-; tang 2 a, & = j- ^-j— tang 2 a, tang 2 a =
qui déterminent a, 6 et a, quand les quantités R, l et c sont données. On a donc le théorème suivant, qui complète celui de Garlin :
Si les paramètres d'une spirique vérifient la condition R-f-c>Z, il existe une hyperbole réelle auquelle on peut mener par chacun de ses points deux tangentes formant un angle constant a. Les demi-axes a et b de cette conique et l'angle a sont déterminés par les équations (10).
Si ces paramétres vérifient aussi les conditions R > c et R — c > l, il existe, en outre, une ellipse réelle auquelle on peut mener par chacun des points de la spirique deux tangentes formant un angle constant.
175. Les spiriques de Perseus font partie d'une classe plus générale de quartiques, nommées aussi spiriques, laquelle comprend toutes les sections planes du tore. Ces courbes furent étudiées par Pagani dans un Mémoire couronné en 1824 par l'Académie des Sciences de Bruxelles, et ensuite par M. Darboux (Nouvelles Annales, 1864, p. 156), par La Gournerie {Journal de Liouville, 1869, p. 9), etc. La classe des spiriques est encore comprise dans une autre classe plus générale de courbes dont nous nous occuperons bientôt.
Les cassiniennes.
176. Le lieu des points d'un plan dont le produit des distances à deux points fixes, situés dans le même plan, est constant, est une courbe qui appartient à la classe des spiriques de Perseus, et que nous allons étudier spécialement. On la désigne par le nom d'ovale de Cassini, ellipse de Cassini ou courbe de Cassini, pour avoir été considérée par J. Dominique Cassini, qui a prétendu substituer cette courbe à l'ellipse dans la représentation appro
chée du mouvement de la Terre autour du Soleil (Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, t. vin, p. 43). On fait mention de cette tentative dans le Dictionnaire mathématique de Ozanan et dans les Eléments d'Astronomie de son fils Jacques Cassini. La même courbe fut étudiée plusieurs années après, au moyen des méthodes de la Géométrie pure, par Malfatti dans un travail intitulé: Délia curva cassiniana (1781); et plus tard Vechtmann en a abordé la théorie analytique dans une Dissertation intitulée: De curvis lemniscatis (1843). Soient 21 la distance des points fixes considérés F et F 7 (fig. 39), m une constante donnée
et M un point quelconque de la courbe qu'on vient de définir .. On a
MF. MF = m,
et par suite, en prenant la droite FF ; pour axe des abscisses et le milieu du segment FF' pour origine des coordonnées^
ou, en faisant m 2 = 4Z 2 c 2 ,
(1) (ce 2 + if + Z 2 ) 2 = 4Z 2 (ce 2 + c 2 ).
177. En comparànt cette équation à l'équation (2) du n.° 165, on voit que les courbes de Cassini coïncident avec les spiriques qu'on obtient en coupant le tore par un plan parallèle à son axe, dont la distance à cet axe soit égale au rayon du cercle générateur de la surface.
En posant donc R=c dans les résultats obtenus au n.° 165 pour les spiriques, on en con dut que les courbes de Cassini sans point double à distance finie ont trois formes différentes.
Cas 1 er . Si l>2c (cas 3 e des spiriques), la courbe est formée par deux ovales, comme dans la figure 33.
Cas 2 e . Si 2c > l > c (cas 2 e des spiriques), la courbe a la forme indiqué dans la figure 32 Cas 3 e . Si Z<c (cas 4 e des spiriques), la courbe a une forme semblable à celle d'une ellipse (fig. 36).
Si l-=2c ? la courbe a pour équation
et sera spécialement étudiée bientôt sous le nom de lemniscate de Bernoidli.
